（机构适用）7.2离散型随机变量及其分布列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解离散型随机变量的分布列及性质
2.理解两点分布
3掌握离散型随机变量的分布列的求法
一、离散型随机变量及其分布列
1.随机变量
定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称X为随机变量
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集
二、离散型随机变量的分布列及两点分布
1.离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（1）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xn我们称X取每一个值xi的概率,为X的概率分布列，简称为分布列
可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
P
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
2.离散型随机变量的分布列的性质
（1），
（2）
3.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义
如果=p，则=1-p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1-P
P
我们称X服从两点分布或0-1分布
1.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
【答案】
（1）解：X可能的取值为10,20,100,－200.
根据题意,有
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
（2）解：设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3),则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝
.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－
＝1－
.
因此,玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率为
【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】（1）利用已知条件求出随机变量X的可能的值，再利用二项分布求概率公式，进而求出随机变量X的分布列。
（2）利用独立事件乘法求概率公式结合对立事件求概率公式，进而求出玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率。
2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数
的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
某商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.
表示经销一件该商品的利润.
（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率
；
（2）求
的分布列
【答案】
（1）解：由
表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
，
.
（2）解：
的可能取值为200元，250元，300元．
的分布列为
200
250
300
0.4
0.4
0.2
【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】（1）由题意知至少有1位采用1期付款的对立事件是3位中无人采用1期付款，利用对立事件的概率公式求解.（2）根据顾客采用的付款期数X的分布列对应的Y的可能取值为200元，250元，300元，得到变量对应事件的概率，写出变量的分布列.
3.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P0=0，P8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2，…，7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假设α=0.5，β=0.8。
(i)证明：
（i=0,1,2，…，7）为等比数列；
(ii)求P4
，
并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。
【答案】
（1）解：
所以X的分布列为：
X
-1
0
1
P
（2）（i）证明：
则
利用等比数列的定义证出：数列
（i=0,1,2，…，7）为等比数列。（ii）
表示在初始4分的情况下，甲药累计得分为4时，认为甲药比乙药更有效的概率仅为
而事实上确实如此，因为乙药的治愈率大于甲药
故这种试验方案是合理的。
【考点】等比数列，离散型随机变量及其分布列
【解析】（1）利用实际问题的已知条件求出离散型随机变量的分布列。(2)（i）利用实际问题的已知条件结合离散型随机变量的分布列，将实际问题转化为等比数列的问题，再利用等比数列的定义证出：数列
（i=0,1,2，…，7）为等比数列;
(ii)由（i）证出的数列
（i=0,1,2，…，7）为等比数列求出等比数列
的通项公式，再利用累加法变形结合等比数列前n项和公式求出
的值,再利用
的值结合甲药比乙药更有效的概率仅为
得出乙药的治愈率大于甲药
故这种试验方案是合理的。
4.现有一批产品共10件，其中8件为正品，2件为次品，从中抽取3件：
（1）恰有1件次品的抽法有多少种；
（2）求取到次品数X的分布列.
【答案】
（1）解：恰有一件次品的抽法：
，即有56种
（2）解：次品数X的可能取值为0,1,2
,
，
取到次品数X的分布列为
X
0
1
2
P
【考点】离散型随机变量及其分布列，排列、组合的实际应用
【解析】（1）由已知利用组合列式，即可求出恰有1件次品的抽法种数；
（2）先写出次品数X的可能取值，再分别求出概率，即可得到取到次品数X的分布列
.
1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（???
）
A.?至少取到1个白球????????????B.?取到白球的个数????????????C.?至多取到1个白球????????????D.?取到的球的个数
2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（???
）
A.?至少取到1个白球????????????B.?至多取到1个白球
???C.?取到白球的个数????????????D.?取到的球的个数
3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a
,i=1,2,3,则a的值为（??
）
A.?1????????????????????????????????????????B.?
?C.?????????????????????????????????????????D.?
4.已知随机变量
服从的分布列为
1
2
3
…
n
P
…
则
的值为（??
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?3
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
根据离散型随机变量的定义可得B是随机变量，其可以一一列出，
其中随机变量X的取值0,1,2。
2.【答案】
C
【解析】
根据离散型随机变量的定义可得C是离散型随机变量，其可以一一列出，
其中随机变量
的取值
。
3.【答案】
C
【解析】
∵设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝a?（
）i
，
i＝1，2，3，
∴a
＝1，
解得a＝
．
4.【答案】
A
【解析】
解：由概率和等于1可得：
，即
.