（机构适用）7.3离散型随机变量的数字特征-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解离散型随机变量的均值
2.理解求离散型随机变量的平均值与方差
3.掌握离散型随机变量的方差
一、离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变
量X的分布列为
X
P
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为，
一般地，下面的结论成立:
二、离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
P
考虑X所有可能取值与的偏差的平方,，…,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为
2.几个常见的结论
（1）
（2）如果随机变量X服从两点分布，那么
1.某商超为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案∶方案①∶一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案②∶一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3
（1）现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；
（2）如果某顾客获得一次抽奖机会.那么他选择哪种方案更划算.
【答案】
（1）解：在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案一，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为
.
设“这位顾客获得180元返金券”为事件A，则
.
故这位顾客均获得180元返金券的概率
（2）解：若选择抽奖方案①，则每一次摸到红球的概率为
，每一次摸到白球的概率为
.设获得返金劵金额为X元，则X可能的取值为60，120，180，240.
则
所以选择抽奖方案①，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
(元)
若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则
，故
.
选择方案②，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
(元)
从而有
，所以应选择方案①更划算
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（1）在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案一，求解概率，然后利用独立重复实验求解概率即可；
（2）求出X可能的取值为60，120，180，240．求解概率得到期望；若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，得到
?
，求解期望，判断E（X）＞E（Z），所以应选择方案①更划算．
2.为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求所抽取的样本平均数
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于
内的支数为
，求
的分布列和数学期望.
【答案】
（1）解：根据频率分布直方图可得各组的频率为：
的频率为：
；
的频率为：
；
的频率为：
；
的频率：
；
的频率为：
，
∴
（2）解：根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于
内的概率为
，
所以
，
的可能取值为：0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
∴
的分布列为：
0
1
2
3
4
∴
【考点】频率分布直方图，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（1）根据频率分布直方图的性质，可以直接计算出结果；
（2）由题意可知X的取值可以是0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可解出．
3.某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布
.
参考数据：若
，则
.
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，
，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?
【答案】
（1）解：因得分
，所以标准差
，所以优秀者得分
，
由
得，
，
因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为
（万人）
（2）解：设抽奖一次获得的话费为X元，
则
，
所以抽奖一次获得电话费的期望值为
，
又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，
所以抽奖总次数为
万次，
因此，估计这次活动所需电话费为
万元
【考点】概率的基本性质，离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（1）Z～N（71，81），由此能求出P（Z≥μ+σ）≈0.16的值，即可求出对应的人数；
（2）根据设抽奖一次获得的话费为X元，求出数学期望的值，即可求出电话费总额；
4.某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记
表示抽取的3名工人中男工人数，求
的分布列及数学期望.
【答案】
解：（I）按照抽取的比例
，甲组和乙组抽取的人数分别为
，
所以应在甲组抽取2人，在乙组抽取1人.
（II）设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A,则P(A)=
.
（III）依题意
由
,
,
得
的分布列如下表：
0
1
2
3
P
所以
的数学期望
【考点】简单随机抽样，分层抽样方法，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）利用分层抽样的性质求解；
（2）利用对立事件概率计算公式能求出甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）
的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出
?的分布列及数学期望。
1.随机变量
的分布列如表：
1
2
4
若
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.已知随机变量
的取值为
.若
，
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.随机变量
的取值为0，1，2.若
，
，则下列结论正确的是（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
4.已知随机变量
（???
）
A.?9???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?3
参考答案
1【答案】
A
【解析】
由分布列的性质以及期望公式可得
，解得
.
.
2.【答案】
C
【解析】
由题意，设
，则
，
又
，解得
，
所以
，
，
则
，
所以
.
3.【答案】
C
【解析】
解：设
，
，
则由已知得
，
，
解得
，
，
所以
．
4.【答案】
B
【解析】
因为随机变量
所以
,
所以
.