（机构适用）7.4二项分布与超几何分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解二项分布问题
2.理解超几何分布应用
3.掌握超几何分布问题
一、二项分布
n重伯努利实验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验，显然，n重伯努利实验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次
②各次试验的结果相互独立
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜P＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作
二项分布的均值与方差
若，则，
二、超几何分布
1.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k=m,m+1,m+2,…，r
其中n，N，M,,,,,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布
超几何分布的期望
（P为N件产品的次品率）
1.某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，
课
程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
合格的概率
（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（2）记
表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求
的分布列（只需列式无需计算）及期望
.
【答案】
（1）解：分别记甲对这四门课程考试合格为事件
，则“甲能修得该课程学分”的概率为
，事件
相互独立，
（2）解：
，??
，
，?
因此，
的分布列如下：
0
1
2
3
因为
～
所以
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件
，则“甲能修得该课程学分”的概率为
，由独立事件的概率公式可计算出概率．（2）由（1）知每个人获得复赛资格的概率是
，
的取值依次为
，
～
，由二项分布概率公式计算了概率得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望．
2.在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率均为
，乙队中3名同学答对的概率分别是
，
，
，且每名同学答题正确与否互不影响.用
表示乙队的总得分.
（1）求随机变量
的分布列；
（2）设事件
表示“甲队得2分，乙队得1分”，求
.
【答案】
（1）解：由题意知，随机变量
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以随机变量
的分布列为
X
0
1
2
3
P
?
?
?
?
（2）解：设甲队得分为Y，则
，
，
.
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】(1)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出
的分布列
并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(2)根据题意由分布列中的数据结合正态分布的公式代入数据计算出结果即可。
3.近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行
工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息
小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费．消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式．对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行
工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别（单位：百元）
频数（人数）
2
250
450
290
8
（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布
，若该集团共有员工4000，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；
（Ⅲ）已知样本数据中期望补贴数额在
范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：若
，则
，
，
．
【答案】
解：（Ⅰ）设中位数为x，则
，
解得
，因此，所得样本的中位数为
（百元）；
（Ⅱ）
，
，
，
加班补贴在
元以上的概率为：
，
，
因此，估计有91名员工期待加班补贴在8100元以上；
（Ⅲ）由题意可知，随机变量
的可能取值有0、1、2、3，
，
，
，
.
的分布列为：
Y
0
1
2
3
P
．
【考点】频率分布表，离散型随机变量的期望与方差，超几何分布
【解析】（Ⅰ）设样本的中位数为x，根据频率分布表中的数据可得出关于x的等式，进而可求得x的值；（Ⅱ）由题意可得
、
的值，可计算得出
，将所得概率乘以4000可得结果；（Ⅲ）由题意可知，随机变量
的可能取值有0、1、2、3，利用超几何分布的概率公式可求得随机变量
在不同取值下的概率，进而可得出随机变量
的分布列，并利用数学期望公式可计算出随机变量
的数学期望.
4.我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生.在研究性学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响.
（1）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
（2）设X为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.
【答案】
（1）解：记“两次回报活动都是由小组成员甲发言”为事件A.由题意，得事件A的概率
，即两次汇报活动都是由小组成员甲发言的槪率为
.?
（2）解：由题意，X的可能取值为2，0，每次汇报时，男生被选为代表的概率为
，女生被选为代表的概率为
.
；
，所以，X的分布列为：
?X
P
X的数学期望
.
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】第一次汇报甲发言与第二次汇报甲发言是相互独立的，故可以计算各次甲发言的概率，它们的乘积就是两次汇报甲发言的概率.
又随机变量的X的取值为0.2，在计算
和
，我们可以利用二项分布来计算.
1.袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为
，则
（???
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.设
，其中
，且
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
3.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.已知随机变量
的分布服从
，记
，记
在
上的最大值为
，若正整数
，
满足
，则
和
的大小关系是（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?无法确定
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
有放回的抽取时，取到黑球的次数
的取值可能是0,1,2,3，
由于每次取到黑球的概率均为
，3次取球可以看成3次独立重复试验，则
,
,
,
.
2.【答案】
D
【解析】
3.【答案】
D
【解析】
因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为
．从中取3次，
为取得次品的次数，则
,
。
4.【答案】
B
【解析】
，
，
设
，
，
，
当
时，
，故
，
当
时，
，
，
，故
，
所以
在
上递增，所以
.
故
，所以
，