（机构适用）7.5正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解正态分布中的概率计算
2.理解正态曲线的特点
3.掌握正态分布的实际应用
1．正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，
所得的曲线依然是正态曲线
函数，其中,为参数.
显然对于任意x∈R，，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
若随机变量X的概率密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为X～，特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x=对称:
(2)曲线在x=处达到峰值
(3)当lxl无限增大时，曲线无限接近x轴.
3．正态分布的期望与方差
若,则,
4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)
(2)
(3)
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则
1.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
（1）已知此次问卷调查的得分
服从正态分布
，
近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求
；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于
的可以获赠
次随机话费，得分低于
的可以获赠
次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
赠送的随机话费/元
20
40
概率
现市民甲要参加此次问卷调查，记
为该市民参加问卷调查获赠的话费，求
的分布列及数学期望．
附：
，若
，则
，
，
.
【答案】
（1）解：由题意可得
，
易知
，
，
，
；
（2）解：根据题意，可得出随机变量
的可能取值有20、40、60、80元，
，
，
，
.
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
20
40
60
80
所以，随机变量
的数学期望为
.
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（1）以每组数据的中间值为代表值，以每组数据频率为权加权平均得到
，
结合36和79.5的值根据原则处理即可；
（2）
随机变量??的可能取值有20、40、60、80，
分别求出对应概率，列出分布列求期望即可。
2.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩
（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩
服正态分布
，其中
，
分别取考生的平均成绩
和考生成绩的方差
，那么该区
名考生成绩超过
分（含
分）的人数估计有多少人？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取
名考生，记成绩不超过
分的考生人数为
，求
.（精确到0.001）
附：①
，
；②
，则
，
；③
.
【答案】
（1）解：由题意知：
中间值
45
55
65
75
85
95
概率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
∴
，
∴
名考生的竞赛平均成绩
为70.5分.
（2）解：依题意
服从正态分布
，其中
，
，
，∴
服从正态分布
，而
，∴
.∴竞赛成绩超过
分的人数估计为
人
人.
（3）解：全市竞赛考生成绩不超过
分的概率
.而
，∴
.
【考点】众数、中位数、平均数，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（1）根据平均数公式计算
；（2）根据正态分布的对称性计算P（z≥84.81），再估计人数；（3）根据二项分布的概率公式计算P（ξ≤3）．
3..每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满30棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满50棵获得一次乙箱内摸奖机会，每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中
个红球，
个黄球，5个黑球，乙箱内有4个红球和6个黄球，每次摸一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．
（1）经统计，每人的植树棵数
服从正态分布
，若其中有200位植树者参与了抽奖，请估计植树的棵数
在区间
内并中奖的人数（结果四舍五入取整数）；
附：若
，则
，
．
（2）若
，某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会，求中奖金额
（单位：元）的分布列；
（3）某人植树100棵，有两种摸奖方法，
方法一：三次甲箱内摸奖机会；
方法二：两次乙箱内摸奖机会；
请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大．
【答案】
（1）解：依题意得
，
，得
，
植树的棵数
在区间
内有一次甲箱内摸奖机会，
中奖率为
，植树棵数在区间
内人数约为：
人
中奖的人数约为：
人．
（2）解：中奖金额
的可能取值为0，50，100，150，200．
；
；
；
；
；
故
的分布列为
0
50
100
150
200
0．25
0．3
0．29
0．12
0．04
（3）解：
，
甲箱摸一次所得奖金的期望为
，
方法一所得奖金的期望值为
；
乙箱摸一次所得奖金的期望值为
，
方法二所得奖金的期望值为140，
的值可能为1，2，3，4，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（1）甲箱内摸奖一次中奖的概率为0.5，利用正态分布，
在区间
的概率为
，
即可求解；
（2）由已知得到中奖金额
的可能值，求出对应值的概率，即可得到分布列；
（3）
由
，先求出甲摸一次所得奖金的期望，并用
表示，从而得到方法一所得奖金的期望，再求出方法二所得奖金的期望值，两种方法期望值对比，即可得出结论.
4.某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中1道多选题，2道单选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.
附：P（μ-σ（1）通过分析可以认为学生初试成绩x服从正态分布N（u，o2），其中u=66，02=144，试估计初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为
，多选题的正答率为
，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望。
【答案】
（1）解：因为σ2=144，μ=66，所以u+2σ=66+2×12=90，
所以P（X≥90）=P（X=σ+2σ）=
（1-0.9544）=0.0228
所以估计不低于90分的人数为0.0228×5000=114（人）
（2）解：Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7.
则P（Y=0）=
P（Y=2）=
P（Y=3）=
P（Y=4）=
P（Y=5）=
P（Y=7）=
故Y的分布列为
Y
0
2
3
4
5
7
P
所以数学期望E（Y）=0×
+2×
+3×
+4×
+5×
+7×
=
【考点】离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（1）由已知可得
，
求得
P（X≥90）=P（X=σ+2σ）=??（1-0.9544）=0.0228
，进而得出不低于90分的人数。
（2）由已知得出
的所有可能取值为0，2，3，4，5，7
，
然后分别算出概率，得出的分布列，再利用数学期望公式算出数学期望期望值。
1.设随机变量
服从正态分布
，函数
没有零点的概率是
，则
等于（???
）
A.?1???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?不能确定
2.已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
（???
）
A.?0.8????????????????????????????????????????B.?0.6????????????????????????????????????????C.?0.4????????????????????????????????????????D.?0.2
3.已知随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(﹣2＜Z＜2)＝（???
）
A.?2a??????????????????????????????????B.?2a﹣1??????????????????????????????????C.?1﹣2a??????????????????????????????????D.?2(1﹣a)
4.某班有60名学生，一次考试后数学成绩
，若
，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（?
）
A.?9???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?6
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
由题意，当函数
没有零点时，
，解得
，
根据正态曲线的对称性，当函数
没有零点的概率是
时，
所以
。
2.【答案】
B
【解析】
由题可知，
，
由于
，所以，
，
因此，
，
3.【答案】
B
【解析】
∵随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，∴P(Z≥2或Z≤﹣2)＝2﹣2a，
∴P(﹣2＜Z＜2)＝1﹣(2﹣2a)＝2a﹣1，
4.【答案】
A
【解析】
因为数学成绩
，
所以由
可得：
，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为：
，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：
（人）