（机构适用）8.1成对数据的统计相关性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解变量的相关关系
2.理解散点图
3.掌握样本相关系数
一、变量的相关关系
1.相关关系
两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系
2.正相关、负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也星现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关;如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关
3.线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近,
我们就称这两个变量线性相关
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关
二、样本相关系数
1.相关系数r的计算
注意:相关系数是研究变量之间线性相关程度的量
假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用，分别除和（和分别为和的均值），得，，，为简单起见把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下:
2.相关系数r的性质
(1)当r>0时，称成对样本数据正相关;当r<0时，成对样本数据负相关；当r=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.
(2)样本相关系数r的取值范围为
当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;
当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
（其中=（），=（），，为向量和向量的夹角）
1..习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：
敬老院
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
满意度x（%）
20
34
25
19
26
20
19
24
19
13
投资原y（万元）
80
89
89
78
75
71
65
62
60
52
参考数据：
，
，
，
，
.
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
.线性相关系数
.
（1）求投资额
关于满意度
的相关系数；
（2）我们约定：投资额
关于满意度
的相关系数
的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额
关于满意度
的线性回归方程（系数精确到0.1）
【答案】
（1）解：由题意，根据相关系数的公式，可得
.（2）解：由（1）可知，因为
，所以投资额
关于满意度
没有达到较强线性相关，
所以要“末位淘汰”掉K敬老院.
重新计算得
，
，
，
，
所以
，
.
所以所求线性回归方程为
.
【考点】变量间的相关关系
【解析】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得
的值，即可求解；（2）由（1）可知，得投资额
关于满意度
没有达到较强线性相关，利用公式求得
的值，即可得出回归直线的方程.
2.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示：
根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？
【答案】
解：由已知数据得到如下2×2列联表
由公式K2=≈13.11，
由于13.11＞10.828，
故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【考点】两个变量的线性相关
【解析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的。
3.下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系．
【答案】
解：在直角坐标系中描出数据的散点图，直观判断散点不在一条直线附近，故不具有线性相关关系．
【考点】相关系数
【解析】在直角坐标系中描出数据的散点图，直观判断散点不在一条直线附近，即可的得出结论．
4.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）．
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
棉花产量y
330
345
365
405
445
450
455
（1）画出散点图；
（2）判断是否具有相关关系．
【答案】
解：（1）根据已知表格中的数据可得施化肥量x和产量y的散点图如下所示：
（2）根据（1）中散点图可知，
各组数据对应点大致分布在一个条形区域内（一条直线附近）
故施化肥量x和产量y具有线性相关关系．
【考点】散点图
【解析】（1）根据已知中表中7块并排、形状大小相同的试验田上，施化肥量x和产量y所得的数据，描点后可得散点图；
????????????
（2）根据（1）中散点图中的点大致分布在一个条形区域内（一条直线附近）可得两个变量具有相关关系．
1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（?
?）
A.????????????????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????????????????D.?
2.在一组样本数据
，
，
，
，
，
，
，
，
，
不全相等）的散点图中，若所有样本点
，
，2，
，
都在直线
上，则这组样本数据的样本相关系数为（???
）
A.?-1?????????????????????????????????????????B.?0?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?1
3.如图是根据
，
的观测数据
得到的点图，由这些点图可以判断变量
，
具有线性相关关系的图（???
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?③④
4.设
，
，
为空间的三个不同向量，如果
成立的等价条件为
，则称
，
，
线性无关，否则称它们线性相关．若
，
，
线性相关，则
(??
)
A.?9???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?3
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，则
，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，则
，
图3和图4的点相对更加集中，所以相关性较强，所以
接近于1，
接近于
，
图1和图2的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以
和
比较接近0，
由此可得：
.
2.【答案】
A
【解析】
因为回归直线方程是
，
所以这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，
又所有样本点
，
，2，
，
都在直线上，
所以
，
所以相关系数
．
3.【答案】
B
【解析】
由题图知，②③的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；
①中y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关；
④中y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，y与x正相关．
4.【答案】
A
【解析】
依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数
，
，
，使得
成立．故
由
得
，
，代入
，得
，由于
，
，
不全为0，故
，则
．