（机构适用）8.2一元线性回归模型及其应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解一元线性回归模型
2.理解一元线性回归模型参数的最小二乘估计
3.掌握一元线性回归模型的应用
一、一元线性回归模型
1.一元线性回归模型
我们称
为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数;e是
Y与bx+a之间的随机误差
2.线性回归方程与最小二乘法
回归直线方程过样本点的中心(x，y)，是回归直线方程最常用的一个特征
我们将称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(lastsqures
estimate),
其中
二、第二课时非线性回归模型及其应用
1．残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
2．刻画回归效果的方式
⑴残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好.
（2）残差平方和法
残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.
(3)利用R2刻画回归效果
决定系数R是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力.
，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差
1.某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价
(单位：万元/吨)对月销售量
(单位：吨)有影响.对不同定价
和月销售量
数据作了初步处理，
0.24
43
9
0.164
820
68
3956
表中
.经过分析发现可以用
来拟合
与
的关系.
（1）求
关于
的回归方程；
（2）若生产
吨产品的成本为
万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的月利润.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线线
的的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
【答案】
（1）解：令
，则
，
则
，
，
∴
,
答：
关于
的回归方程为
；
（2）解：利润
(当且仅当
即
时取等号)
答：预计价格定位
万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为
万元.
【考点】最小二乘法，线性回归方程
【解析】（1）
令??，则??，?由已知数据求得
的值，可得??关于??的回归方程；
（2）写出月利润T关于的数关系式，利用基本不等式求最值。
2.2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某市从2020年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y(人)的近5天的具体数据，如表：
第x天
1
2
3
4
5
新增的新型冠状病毒肺炎人数y(人)
2
4
8
13
18
已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有相关关系.
参考公式：回归直线方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，
为样本平均值.
（1）求线性回归方程
；
（2）预测哪天该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人？
【答案】
（1）解：由题意，
，
，
，
，
则
，
，
所以线性回归方程为
.
（2）解：在
中，取
，得
；取
，得
.
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人.
【考点】线性回归方程
【解析】(1)首先根据题意求出样本中心点的坐标，代入到线性回归方程求出与的值由此即可得出线性回归方程。
(2)结合题意把数值代入方程计算出结果即可。
3.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.
参考公式：
，
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间
（单位：小时）与年龄
（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄
20
30
40
50
每周学习诗词的平均时间
3
3.5
3.5
4
由表中数据分析，
与
呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.
【答案】
（1）解：设污损的数字为
，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得
，
，即
，
（2）解：
，
，
，
又
，
，
，
，
，
时，
.
答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时.
【考点】线性回归方程
【解析】（1）由题，列出不等式
，解得x的取值范围，即可得到本题答案；（2）由
，
，求得线性回归方程，然后令
，即可得到本题答案.
4.某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式：
，
.
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程.
（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
【答案】
（1）解：根据表格中的数据，得到点
，
画在坐标系中，得到散点图：
.
（2）解：由表格中的数据，可得
，
，
则
，
于是所求的线性回归方程是
（3）解：当
时，
（百万元），
即广告费支出为一千万元，预测销售额大约为
百万元
【考点】散点图，最小二乘法，线性回归方程
【解析】（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图.（2）先求出
的平均数，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程.（3）将
代入回归直线方程求出y的值，即可得到广告费支出一千万元时的销售额的估计值.
1.根据如下样本数据，得到回归直线方程
，则（???
）
3
4
5
6
7
8
-3.0
-2.0
0.5
-0.5
2.5
4.0
A.?
，
?????????????????B.?
，
?????????????????C.?
，
?????????????????D.?
，
2.已知变量
，
之间的线性回归方程为
，且变量
，
之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（??
）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A.?变量
，
之间呈现负相关关系????????????????????????B.?
的值等于5
C.?变量
，
之间的相关系数
??????????????D.?由表格数据知，该回归直线必过点
3.对具有线性相关关系的变量
，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归方程为
，据此模型来预测当
时，y的估计值为（???
）
A.?210????????????????????????????????????B.?210.5????????????????????????????????????C.?211????????????????????????????????????D.?211.5
4.已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由上表可得线性回归方程
，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（?
）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
从整体上看这些点大致分布在一条直线的周围，且该回归直线的斜率为正，在
轴上的截距为负则
，
2.【答案】
C
【解析】
解：由题意，根据上表可知
，
即数据的样本中心为
，
把样本中心代入回归直线的方程，可得
，解得
，
则
，即数据的样本中心为
，
由上表中的数据可判定，变量
之间随着
的增大，
值变小，所以呈现负相关关系，
由于回归方程可知，回归系数
，而不是
，所以C是错误的，
3.【答案】
D
【解析】
根据表中数据可得
，
，
，解得
，
则当
时，
.
4.【答案】
C
【解析】
由已知表格得：
，
，
由于线性回归直线恒过样本中心点
，所以有：
，解得：
，
所以线性回归方程
，
由
得：
解得：
，
由于
，
所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9。