（机构适用）第6章计数原理总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1、了解平面向量的概念
2、掌握平面向量的运算
3、理解平面向量的应
【知识解读】
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类加法计算原理
基本原理
N=m+n
原理推广
N=+...+
2.分数乘法计算原理
基本原理
N=m×n，原理推广
N=·...·
二、排列与组合
1.排列
排列的定义
般地，从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的
顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
2.排列数
排列数的定义
从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示
排列数公式
（1）排列数公式：=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）
（2）全排列：=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1
（3）阶乘：=n！规定0！=1
（4）排列数的性质：=n，=m+
3.组合
（1）组合的定义
一般地，从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
（2）组合数的定义
从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表
组合数公式
①组合数公式：==还可以写成
=
规定=1
②组合数的两个性质
性质1：=
性质2：=+
二项式定理
（1）二项式定理：（a+b）=++...+，n∈N
.
（2）二项式展开式：二项式定理右边的多项式叫做（a+b）的二项式展开式，它共有n+1项.
（3）二项式系数：各项的系数（k=0，1，2，...，n）叫做二项式系数.
（4）二项展开式的通项：二项展开式中第k+1项叫做二项展开式的通项.
1.某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
【答案】
解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：
第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．
第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．
第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．
所以共有3+18+16=37种选法
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】分三类，2人全部选中，只选中一个人，2人全被选中，运用加法原理，即可得出答案。
2.某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?
【答案】
解：第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.
【考点】分步乘法计数原理，计数原理的应用
【解析】依次计算“从01至10的三个连号的个数”、“从11至20的两个连号的个数”“从21至30的单选号的个数”“从31至36的单选号的个数”，进而由分步计数原理，计算可得答案．
3.盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
（1）从中取出3个黑球、4个白球排成一列且4个白球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球且白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
【答案】
（1）解：首先从5个白球中取出4个进行排列，然后3个黑球插在中间三个空内，
则4个白球两两不相邻的排法有
种；
（2）解：从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，则共有
种取法.
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）由题意先将白球选出4个进行排列，再用黑球插空即可得解；（2）由题意将满足要求的情况分为三种：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，再结合分步乘法、组合的知识即可得解.
4.对任意
，定义
，其中
，
为正整数.
（1）求
，
的值；
（2）求证：
；
（3）设
是否存在实数
，使得
对任意
恒成立？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）解：
，
所以
，所以
，
，
所以
，
；
（2）解：
，
所以
，
，
所以
，
所以
；
（3）解：由（2）知，
，设
，
则
，
可以发现
会随着n的增大而增大，
所以
会随着n的增大而减小，并且会越来越接近与1，
所以
会无限趋近与
，且比
要大；
当
时，
则
，
同理可以确定
会随着会随着n的增大而增大，会无限趋近与
，
从而可以得出满足
的
的值为
.
【考点】二项式定理的应用
【解析】（1）分别令
和
，将
和
展开，求得
的值，进而求得结果；（2）分别列出
和
的值，列出关系，得到
，从而证得结果；（3）假设存在实数
，满足条件，根据题意找关系，确定出
的极限，求得结果.
1.某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（???
）
A.?21种????????????????????????????????????B.?23种????????????????????????????????????C.?25种????????????????????????????????????D.?27种
2.从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（???
）
A.?7??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?16
3.天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲?乙?丙?丁?戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（???
）
A.?54种????????????????????????????????????B.?60种????????????????????????????????????C.?72种????????????????????????????????????D.?96种
4.二项式
的展开式的常数项为60，则
的值为（???
）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?-2?????????????????????????????????????????C.?±2?????????????????????????????????????????D.?±3
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，
故报考A大学的选择方案有
种；
B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，
故报考B大学的选择方案有
种；
该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，
那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有
种.
2.【答案】
C
【解析】
解：根据题意分两步完成任务：
第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：
种，
3.【答案】
A
【解析】
由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有
种情况，
利用分步相乘计数原理知有
种情况。
4.【答案】
C
【解析】
，令
，所以
.
令
，解得
，