（机构适用）第7章随机变量与全概率公式总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

理解复数的概念
掌握复数的四则运算
认识复数的三角表示
【知识解读】
一、条件概率与全概率公式
1.条件概率
（1）条件概率的概念
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B
,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式.
（3）条件概率的性质
设P(A)>0，则
①
②如果B与C是两个互斥事件，则
③设和互为对立事件，则
2、全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件,有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一
贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有==，
二、离散型随机变量及其分布列
1.随机变量
定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称X为随机变量
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集
4.离散型随机变量的分布列及两点分布
（1）.离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（2）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xn我们称X取每一个值xi的概率,为X的概率分布列，简称为分布列
（3）可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
P
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
（4）离散型随机变量的分布列的性质
（1），
（2）
（5）两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义
如果=p，则=1-p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1-P
P
我们称X服从两点分布或0-1分布
三、离散型随机变量的数字特征
1.离散型随机变量的均值
（1）离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变
量X的分布列为
X
P
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
（2）两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
（3）离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为，
一般地，下面的结论成立:
3.离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
P
考虑X所有可能取值与的偏差的平方,，…,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为
①几个常见的结论
②
③如果随机变量X服从两点分布，那么
4.二项分布与超几何分布
1.二项分布
（1）n重伯努利实验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验
（2）我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验，验，显然，n重伯努利实验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次
②各次试验的结果相互独立
（3）二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜P＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作
（4）二项分布的均值与方差
若，则，
4.超几何分布
（1）超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k=m,m+1,m+2,…，r
其中n，N，M,,,,,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布
（2）超几何分布的期望
（P为N件产品的次品率）
5.正态分布
（1）正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，
所得的曲线依然是正态曲线
函数，其中,为参数.
显然对于任意x∈R，，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
若随机变量X的概率密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为X～，特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
（2）由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x=对称:
(2)曲线在x=处达到峰值
(3)当lxl无限增大时，曲线无限接近x轴.
（3）正态分布的期望与方差
若,则,
（4）正态变量在三个特殊区间内取值的概率
①
②
③
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则
1.某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案
是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案
是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：
市场销售状态
畅销
平销
滞销
市场销售状态概率
预期平均年利润（单位：万元）
方案
700
400
方案
600
300
（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？
（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为
（万件），通过核算，实行方案
时新产品的年度总成本
（万元）为
，实行方案
时新产品的年度总成本
（万元）为
．已知
，
．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价
（元）分别为60，
，
，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当
取何值时，新产品年利润
的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．
【答案】
（1）解：∵
，解得
．
，
，
；
；
．
∴当
时，应选择方程
；当
时应选择方程
；
当
时，根据（1）的结果，应选择方案
，所以新产品的年度总成本为
．
（2）解：设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为
，
和
，
则
，
，
，
∴
的分布列为
0.4
0.4
0.2
．
设
，
，
∴
．
，
．
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴当
时，
取得最大值，即年产量为10万件时，
取得最大值，
此时
（万元）．
由（1）知，预期平均年利润的期望
（万元）．
因为
，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．
【考点】利用导数研究函数的单调性，离散型随机变量及其分布列
【解析】（1）根据表格数据计算出两种方案的平均年利润的期望值，比较可得；（2）求出方案A，按市场销售状态的新产品的年利润
的分布列，求出期望值，再用导数的知识求得最大值即可．
2.某班级60名学生的考试分数x分布在区间
内．设考试分数x的频率分布为
，且满足
，考试成绩采用“6分制”，规定：考试分数在区间
，
，
，
，
，
内的成绩依次记为1分，2分，3分，4分，5分，6分．在60名学生中用分层抽样的方法从成绩为1，2，3分的学生中随机抽取6人，再在这6人中随机抽查3人，记这3人成绩之和为
．
（1）求t的值；
（2）求
的分布列及数学期望．
【答案】
（1）解：依题意“6分制”得分及其频率关系为下表
得分
1
2
3
4
5
6
频率
所以
解得
（2）解：在60名学生中用分层抽样的方法从成绩为1，2，3分的学生中随机抽取6人，则成绩为1分的抽取1人，2分的抽取2人，3分的抽取3人；
所以
的可能取值为5，6，7，8，9
则
，
，
，
，
的分布列如下：
?
????
5
?6
?7
?8
?9
?
?
?
?
?
【考点】分层抽样方法，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）
依题意，“6分制”得分及其频率关系得出表格，再利用频率之和为1，从而求出t的值。
（2)
在60名学生中用分层抽样的方法从成绩为1，2，3分的学生中随机抽取6人，则成绩为1分的抽取1人，2分的抽取2人，3分的抽取3人
，
所以
的可能取值为5，6，7，8，9
，进而求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量的数学期望。
3.在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活?新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植某新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：
该农作物亩产量(
)
900
1200
概率
0.5
0.5
该农作物市场价格(元/
)
30
40
概率
0.4
0.6
（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为
元，求
的分布列；
（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率.
【答案】
（1）解：由题意知：
，
，
，
.
所以
的所有可能值为：25000，34000，46000.
设
表示事件“作物亩产量为
”，则
；
表示事件“作物市场价格为30元
”，则
.
则：
，
，
，
所以
的分布列为：
25000
34000
46000
0.2
0.5
0.3
（2）解：设
表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于30000元”，
则
.
设这三年中有
年的纯收入不少于30000元，
则有：
所以这三年中至少有两年的纯收入不少于30000元的概率为：
【考点】离散型随机变量及其分布列，超几何分布
【解析】(1)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列即可。
(2)根据题意由已知条件代入数值计算出计算出P（C）的值，再结合代入数值计算出结果即可。
4.年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在
的企业数为X，求X的分布列与数学期望
（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布
其中
近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数
，
近似为样本方差
，经计算得
，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?（结果保留整数）.
附参考数据与公式：
则
，
.
【答案】
（1）解：由题意，这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
（分）,
由频率分布图可知
内，所以
，
解得
分.
（2）解：根据题意，这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有:
（家），
其中考核成绩在
内的企业有
（家），
所以X可能取值有0，1，2，3，4
则
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以
.
（3）解：由题意得
，所以
，
所以
，所以
（家），
所以500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有79家.
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这50家食品生产企业考核成绩的平均数和中位数；
（2）由已知得到考核成绩在
内的企业有5家，得出随机变量
的可能取值，分别求出相应的概率和分布列，求得数学期望；
（3）根据题意得
，由此估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的企业个数.
5.已知
，
，则
等于（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.已知随机变量
和
，其中
，且
，若
的分布列如下表，则m的值为（?
）
ξ
1
2
3
4
P
?
m
n
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
7.已知随机变量
，
满足：
，
，且
，则
（???
）.
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布
，若
在
内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（?
）
A.?0.25??????????????????????????????????????B.?0.1??????????????????????????????????????C.?0.125??????????????????????????????????????D.?0.5
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
由条件概率公式得
.
2.【答案】
A
【解析】
且
，则
即
?
解得
3.【答案】
C
【解析】
因为
所以
，解得
所以
4.【答案】
C
【解析】
由题意得，区间
关于
对称，
所以
，
即该生成绩高于115的概率为
．