（机构适用）第8章立体几何初步总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1、了解基本立体图形
掌握简单几何体的表面积与体积
认识空间点、直线、平面之间的位置关系
【知识解读】
一、成对数据的统计相关性
1.变量的相关关系
（1）相关关系
两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系
（2）正相关、负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也星现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关;如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关
（3）线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近,
我们就称这两个变量线性相关
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关
2.样本相关系数
（1）相关系数r的计算
注意:相关系数是研究变量之间线性相关程度的量
假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用，分别除和（和分别为和的均值），得，，，为简单起见把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下:
（2）相关系数r的性质
①当r>0时，称成对样本数据正相关;当r<0时，成对样本数据负相关；当r=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.
样本数据间没有线性相关关系.
②样本相关系数r的取值范围为
当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;
当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
（3）样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
（其中=（），=（），，为向量和向量的夹角）
二、一元线性回归模型及其应用
1.第一课时一元线性回归模型
（1）一元线性回归模型
我们称
为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数;e是
Y与bx+a之间的随机误差
（2）线性回归方程与最小二乘法
回归直线方程过样本点的中心(x，y)，是回归直线方程最常用的一个特征
我们将称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(lastsqures
estimate),
其中
2.第二课时非线性回归模型及其应用
（1）残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
（2）刻画回归效果的方式
①残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好.
②残差平方和法
残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.
③利用R2刻画回归效果
决定系数R是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力.
，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差
三、列联表与独立性检验
1.分类变量与列联表
（1）分类变量
这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如:性别变量，其取值为男和女两种
我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示
（2）2X2列联表
在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常技研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2X2列联表，2X2
列联表给出了成对分类变量数心的交叉分类频数.
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2X2列联表为
y1
y2
合计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
（3）等高堆积条形图
等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量问是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果
2.独立性检验
（1）临界值
统计量也可以用来作相关性的度量，越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关
.忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准.
（2）独立性检验
基于小概丰值的检验规则是:
当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过;
当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立
这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验
下表给出了产独立性检验中几个常用的小概车值和相应的临界值
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（3）应用独立性检验解决实际问题的大致步骤
(1)提出零假设H0:X和Y相互独立，并给出在问题中的解释;
(2)根据抽样数据整理出2X2列联表，计算的值，并与临界值比较:
(3)根据检验规则得出推断结论;
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的顿率，分析X和Y间影响规律
1.学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到
列联表的部分数据如下表：
自律性一般
自律性强
合计
成绩优秀
40
成绩一般
20
合计
50
100
参考公式及数据：
.
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（1）补全
列联表中的数据；
（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
【答案】
（1）解：因为总人数为100，可填写列联表如下：
自律性一般
自律性强
合计
成绩优秀
10
30
40
成绩一般
40
20
60
合计
50
50
100
（2）解：根据表中数据，得
，
所以有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.
【考点】两个变量的线性相关
【解析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；
（2）计算的K的观测值K2
，
对照题目中的表格，得出统计结论。
2.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
P（k2＞k）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
?
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.83
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
【答案】
解：（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
（Ⅱ）==5，
==50
又已知
．
于是可得：==
=-=50﹣6.5×6=17.5
因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5
（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
=6.5×10+17.5=82.5（万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5万元
【考点】两个变量的线性相关
【解析】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法，
（1）根据表中数据描点即可得到散点图．
（2）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．
（3）将预报值10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额。
3.某地区脐橙近几年的产量统计如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码
1
2
3
4
5
年产量
（万吨）
7
7．1
7．2
7．4
7．8
参考公式：
，
，
，
．
（1）求年产量
（万吨）关于年份代码
的线性回归方程
；
（2）根据（1）中所求的回归方程预测该地区2021年脐橙的年产量．
【答案】
（1）解：由题意可得
，
，
，
，
，
．
故年产量
（万吨）关于年份代码
的线性回归方程
（2）解：由题意可知2021年对应的年份代码为7，即
，
则
（万吨），
即该地区2021年脐橙的年产量约为8.06万吨
【考点】线性回归方程
【解析】（1）求得样本中心点和回归系数，利用最小乘法即可求得线性回归方程。
（2）由（1）
线性回归方程，计算
时，该地区2021年脐橙的年产量。
4为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：
使用手机
不使用手机
总计
学习成绩优秀
5
20
学习成绩一般
总计
30
50
（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有
的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为
，试求
的分布列与数学期望.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.6935
10.828
【答案】
（1）解：
列联表如下表所示：
使用手机
不使用手机
总计
学习成绩优秀
5
20
25
学习成绩一般
15
10
25
总计
20
30
50
假设学生的学习成绩与使用手机无关，
，
所以，没有
的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2）解：9人中学习成绩优秀的人有
人，学习成绩一般的有
人，
可能的取值有0、1、2、3，
，
，
，
.
所以，随机变量
的分布列为
0
1
2
3
.
【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）利用已知条件补充完整所给的列联表，再利用列联表结合独立性检验的方法，进而得出没有
的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关。
（2)利用已知条件结合分层抽样的方法求出
9人中学习成绩优秀的人数和学习成绩一般的人数，进而得出随机变量
可能的取值
，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
1.在建立两个变量
与
的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数
判断，其中拟合效果最好的为（???
）
A.?模型1的相关指数
为0.85????????????????????????????????B.?模型2的相关指数
为0.25
C.?模型3的相关指数
为0.7??????????????????????????????????D.?模型4的相关指数
为0.3
2.2019年10月1日上午，喜悦的豪情在北京天安门广场倾情绽放，新中国以一场盛大阅兵庆祝70岁生日，同时文都桐城也以自己的方式庆祝祖国七十华诞，此时发生在桐城的下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(??
)
A.?出租车车费与出租车行驶的里程?????????????????????????B.?商品房销售总价与商品房建筑面积
C.?铁块的体积与铁块的质量????????????????????????????????????D.?人的身高与体重
3.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程
，
x（次数/分钟）
20
30
40
50
60
y（℃）
25
27.5
29
32.5
36
则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（???
）
A.?33℃???????????????????????????????????B.?34℃???????????????????????????????????C.?35℃???????????????????????????????????D.?35.5℃
4.为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到
列联表如下：由此得出的正确结论是（??
）
选择物理
不选择物理
总计
男
35
20
55
女
15
30
45
总计
50
50
100
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
A.?在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”
B.?在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关”
C.?有99.9%的把握认为“选择物理与性别有关”
D.?有99.9%的把握认为“选择物理与性别无关”
参考答案
1.【答案】
A
【解析】
解：根据相关指数R2越大，模型拟合的效果越好判断：模型1拟合的效果最好．
2.【答案】
D
【解析】
对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；
对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；
对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；
对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，
因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
3.【答案】
B
【解析】
解：由题意，得
，
，则
；
所以
当
时，
．
4.【答案】
A
【解析】
因为
，
根据临界值表可知，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”.