2.1 椭圆
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文档简介
2.1 椭圆
【知识点总结】
1. 定义椭圆：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
2.椭圆标准方程的推导：
以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系.设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别为，，又设与的距离之和等于，根据椭圆的定义，则有，用两点间的距离公式代入，画简后的，此时引入要讲清楚. 即椭圆的标准方程是. 根据对称性，若焦点在轴上，则椭圆的标准方程是.两个焦点坐标.
通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：和
3．范围
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式即x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．
4．对称性
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或
把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，
方程有变化吗？这说明什么？
椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是椭圆的对称轴．
原点是椭圆的对称中心．
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
5．顶点
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，
得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、
A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.
长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的
长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．
在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，
即c2＝a2－b2．
正确的图形.
6．离心率
椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．
EMBED Equation.3
7、（1）椭圆的准线方程
1）对于，相对于左焦点对应着左准线；
相对于右焦点对应着右准线
2）对于，相对于下焦点对应着下准线；
相对于上焦点对应着上准线
（2）准线的位置关系：
焦点到准线的距离（焦参数）
8、椭圆的焦半径公式：设是椭圆的一点,和分别是点与点,的距离.那么，左、右焦半径,,其中是离心率
推导方法：
，
同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：
【经典例题】
已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 经过点P(－3, 0)、Q(0,－ 2);
例3、.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程
例4．中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程．
【随堂练习】
选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．）
1．椭圆的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5． 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A． B． 2 C． D． 1
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
7． 已知＜4，则曲线和有（ ）
A． 相同的短轴 B． 相同的焦点 C． 相同的离心率 D． 相同的长轴
8．椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ）
A．9 B．12 C．10 D．8
9．椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，那么是的（ ）
A．4倍 B．5倍 C．7倍 D．3倍
10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
12．过点M（－2，0）的直线M与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线M的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．－
填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）
13．椭圆的离心率为，则 ．
14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 ．
15．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 ．
16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）
17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．
18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
【知识点总结】
1. 定义椭圆：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
2.椭圆标准方程的推导：
以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系.设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别为，，又设与的距离之和等于，根据椭圆的定义，则有，用两点间的距离公式代入，画简后的，此时引入要讲清楚. 即椭圆的标准方程是. 根据对称性，若焦点在轴上，则椭圆的标准方程是.两个焦点坐标.
通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：和
3．范围
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式即x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．
4．对称性
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或
把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，
方程有变化吗？这说明什么？
椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是椭圆的对称轴．
原点是椭圆的对称中心．
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
5．顶点
只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，
得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、
A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.
长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的
长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．
在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，
即c2＝a2－b2．
正确的图形.
6．离心率
椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．
EMBED Equation.3
7、（1）椭圆的准线方程
1）对于，相对于左焦点对应着左准线；
相对于右焦点对应着右准线
2）对于，相对于下焦点对应着下准线；
相对于上焦点对应着上准线
（2）准线的位置关系：
焦点到准线的距离（焦参数）
8、椭圆的焦半径公式：设是椭圆的一点,和分别是点与点,的距离.那么，左、右焦半径,,其中是离心率
推导方法：
，
同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：
【经典例题】
已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 经过点P(－3, 0)、Q(0,－ 2);
例3、.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程
例4．中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程．
【随堂练习】
选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．）
1．椭圆的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5． 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A． B． 2 C． D． 1
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
7． 已知＜4，则曲线和有（ ）
A． 相同的短轴 B． 相同的焦点 C． 相同的离心率 D． 相同的长轴
8．椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ）
A．9 B．12 C．10 D．8
9．椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，那么是的（ ）
A．4倍 B．5倍 C．7倍 D．3倍
10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
12．过点M（－2，0）的直线M与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线M的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．－
填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）
13．椭圆的离心率为，则 ．
14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 ．
15．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 ．
16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）
17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．
18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．