4.2.1 提公因式法 课件（共21张PPT）

第2节 提公因式法
（第1课时）
第四章 因式分解
2021年春北师大版八年级数学下册
1 理解公因式的意义。（重点）
2 会用提公因式法因式分解。（重、难点）
学习目标
1 因式分解：把一个多项式化成____________ 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
几个整式的积
2 最大公约数：n个数的最大的_________，叫做这n个数的最大公约数.
公共约数
新课导入
公因式
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2
⑵ 2πR＋2πr
⑶ ma＋mb
⑷ cx－cy＋cz
⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2
⑵ 2πR＋2πr
⑷ cx－cy＋cz
公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式
⑶ ma＋mb
探究新知
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
am + bm = m(a + b)
如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？
am + bm = m(a + b)
怎样确定多项式各项的公因式？
系数：公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；
例1 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y； (2) xy3－ x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解：(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；
有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y.
例题讲解
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是 ；两项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，所以公因式是
(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
提公因式法
确定一个多项式的公因式时，要从____________
和_______________分别进行考虑 .
数字系数
字母及其指数
（1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？
2x2
（2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？
2x2 + 6x3 = 2x2(1+3x)
议一议
探究新知
公因式可以是单项式，也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式.
一个多项式各项的公因式由两部分组成：系数部分和字母部分.
注意
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
解：(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2);
(2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3);
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
例2 把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3； (2)7x3－21x2;
(3)8a3b2－12ab3c＋ab； (4)－24x3＋12x2－28x.
例题讲解
(4)－24x3＋12x2－28x
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝ －4x(6x2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系?
例3 利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8；
(2)已知2x－y＝ ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
解：(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.
(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．
当2x－y＝ ，xy＝2时，原式＝23× ＝
例题讲解
1 式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(　　)
A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a) D．以上均不正确
课堂练习
2 下列各组式子中，没有公因式的是(　　)
A．4a2bc与8abc2
B．a3b2＋1与a2b3－1
C．b(a－2b)2与a(2b－a)2
D．x＋1与x2－1
3 将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是(　　)
A．3a－b B．3(x－y)
C．x－y D．3a＋b
4 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是(　)
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
5 如果多项式－ abc＋ ab2－a2bc的一个因式是－ ab，那么另一个因式是(　　)
A．c－b＋5ac B．c＋b－5ac
C．c－b＋ ac D．c＋b－ ac
1 确定公因式的方法：
2 用提公因式法分解因式的步骤：
3 提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏项;
（3）提负要变号。
找出公因式； 提公因式；
把多项式化成因式乘积的形式。
（1)定系数 （2)定字母 （3)定指数
（4）结果要化简
课堂小结