上海市十校2012届高三下学期第二次联考 数学理

上海市十校
2011—2012学年度高三第二学期考试
数 学 试 题（理）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若函数的反函数为，则 ．
2．若复数是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则_________．
3．已知不等式的解集为，则实数的值为__________．
4．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组解为，则实数___．
5．若向量、满足，且与的夹角为，则=________．
6．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________．
7．在中,已知,则 ．
8．已知直线的参数方程是，则在轴上的截距为________．
9．若实数、{，， ，，}，且，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是__________．
10．已知是奇函数, 则的值域为 ．
11．数列中，，对于任意，都有，Sn是的前n项和，则________．
12．已知双曲线的两个焦点分别为，该双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，，则的大小为______．（结果用反三角函数表示）
13．毛毛的计算器中的“开根号”键最近“感冒”了，输出的结果千奇百怪．细心的毛毛在复习资料上发现有一个真命题：已知对于任意正数，则一定在和之间；并且比更接近．毛毛自己编制了一个算法来求的近似值（如图）．请你在①中填上适当赋值语句：_______．．
14、下图展示了一个区间（0，k）（k是一个给定的正实数）到实数集R的对应过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB弯成半圆弧，圆心为H，如图2；再将这个半圆置于直角坐标系中，使得圆心H坐标为（0，1），直径AB平行x轴，如图3；在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的圆弧AM的长度，直线HM与直线相交与点N，则与实数m对应的实数就是n，记作．给出下列命题：
（1）；（2）函数是奇函数；（3）是定义域上的单调递增函数；（4）的图象关于点对称；（5）方程的解是．
其中正确命题序号为_______．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．“”是“直线与直线平行”的 （ ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
16．设事件A，B，已知=，=,=，则A，B之间的关系一定为（ ）．
（A） 互斥事件； （B）两个任意事件； （C）非互斥事件； （D）对立事件；
17．若为所在平面内一点，且满足，则ABC的形状为 （ ）
（A）正三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形
18．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中O为坐标原点．对于下列结论：
（1）符合的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
（2）设点P是直线：上任意一点，则；
（3）设点P是直线：上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；
（4）设点P是椭圆上任意一点，则．
其中正确的结论序号为 （ ）
（A） （1）、（2） 、（3） （B） （1）、（3） 、（4）
（C） （2）、（3）、（4） （D） （1）、（2）、（4）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分；第2小题满分4分；第3小题满分4分．
如图所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．http
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求二面角的大小．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．
如图,有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为（其中点P，Q分别在边BC，CD上）,设．
（1）用t表示出PQ的长度,并探求的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域阴影部分的面积S最大为多少（平方百米）
21．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知数列的前项和，．
（1）求的通项公式；21世纪教育网
（2）若对于任意的，有成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知过点的动直线与圆相交于两点，是中点，与直线相交于．
（1）求证：当与垂直时，必过圆心;
（2）当时，求直线的方程;
（3）探索是否与直线的倾斜角有关 若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数，设函数．
（1）求证：函数必有零点
（2）若在上是减函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21世纪教育网
参考答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若函数的反函数为，则 ．
2．若复数是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则_________．
3．已知不等式的解集为，则实数的值为_____1_____．
4．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组解为，则实数___．
5．若向量、满足，且与的夹角为，则=___2______．
6．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________．
7．在中,已知,则 ．
8．已知直线的参数方程是，则在轴上的截距为_________．
9．若实数、{，， ，，}，且，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是__________．
10．已知是奇函数, 则的值域为 ．
11．数列中，，对于任意，都有，Sn是的前n项和，则___2_____．
12．已知双曲线的两个焦点分别为，该双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，，则的大小为______．（结果用反三角函数表示）
13．毛毛的计算器中的“开根号”键最近“感冒”了，输出的结果千奇百怪．细心的毛毛在复习资料上发现有一个真命题：已知对于任意正数，则一定在和之间；并且比更接近．毛毛自己编制了一个算法来求的近似值（如图）．请你在①中填上适当赋值语句：_______．．
14、下图展示了一个区间（0，k）（k是一个给定的正实数）到实数集R的对应过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB弯成半圆弧，圆心为H，如图2；再将这个半圆置于直角坐标系中，使得圆心H坐标为（0，1），直径AB平行x轴，如图3；在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的圆弧AM的长度，直线HM与直线相交与点N，则与实数m对应的实数就是n，记作．给出下列命题：
（1）；（2）函数是奇函数；（3）是定义域上的单调递增函数；
（4）的图象关于点对称；（5）方程的解是．
其中正确命题序号为_（3）（4）（5）______．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．“”是“直线与直线平行”的（ B ）
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
16．设事件A，B，已知=，=,=，则A，B之间的关系一定为（ A ）．
（A） 互斥事件； （B） 两个任意事件； （C）非互斥事件； （D）对立事件；
17．若为所在平面内一点，且满足，则ABC的形状为（ C ）21世纪教育网
（A）正三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形
18．在平面直角坐标系中，设点，定义，
其中O为坐标原点．对于下列结论：
（1）符合的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
（2）设点P是直线：上任意一点，则；
（3）设点P是直线：上任意一点，则“使得最小的点P有无数个”的充要条件是“”；
（4）设点P是椭圆上任意一点，则．
其中正确的结论序号为（ A ）
（A） （1）、（2） 、（3） （B） （1）、（3） 、（4）
（C） （2）、（3）、（4） （D） （1）、（2）、（4）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．第3小题满分4分．
解．（1）证明：在正方形中，因为，所以三棱柱的底面三角形的边．
因为，，
所以，所以．----------------------------------2分
因为四边形为正方形，，所以，而，
所以平面．--------------------------------------------------------4分
（2）解：因为平面，
所以为四棱锥的高．---------------------------------------5分
因为四边形为直角梯形，且，，
所以梯形的面积为．-----------7分
所以四棱锥的体积．----------8分
（3） 建系如图所示坐标系，则A（0,0,3）,P（0,3,0）,Q（4,7,0），
-----------------------------------------10分
------------------------------------11分
---------------------------------12分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．
21世纪教育网
-----------------------------2分
--------------------------------------------------------------4分
---------------------6分
=定值--------------------------------7分
-----------------------10分
--------------------------------------------------12分
------------------------------------------------------13分
-----14分
21．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知数列的前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）若对于任意的，有成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，，所以．
两式相减，得，即，
∴，．------------------------------------------------4分
又，即，所以．
∴是首项为3，公比为3的等比数列．----------------------------6分
从而的通项公式是，．--------------------------------7分
（2）由（1）知，对于任意的，有成立，
等价于对任意的成立，等价于．-----9分
而，，----------------11分[来源:21世纪教育网]
（注：也可以作差比较证明单调性，相应给分）
∴是单调递减数列．----------------------------------12分
∴，实数的取值范围是．-------------14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．21世纪教育网
已知过点的动直线与圆相交于两点，是中点，与直线相交于．
（1）求证：当与垂直时，必过圆心;
（2）当时，求直线的方程;
（3）探索是否与直线的倾斜角有关 若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
解：（1）与垂直，且
故直线方程为即----------------------2分
圆心坐标（0，3）满足直线方程，
当与垂直时，必过圆心．-----------------------------4分[来源:21世纪教育网]
（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意．----------6分
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为即，
，则由，得，-------8分
直线
故直线的方程为或-----------------------10分
（3）----11分
①当与轴垂直时，易得 则又，
．----------------------------------13分
②当的斜率存在时，设直线的方程为
则由得 则
------------------------15分
综上所述，与直线的斜率无关，且．---------------16分[来源:21世纪教育网]
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数，设函数．
（1）求证：函数必有零点
（2）若在上是减函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：
-----------------------------------2分
---------4分
[来源:21世纪教育网]
所以----------------------------------------------------------6分
因为在[-1，0]是减函数，所以，解得；所以
当，
因为在[-1，0]是减函数，所以方程的两根均大于零或一根大于零，另一根小于零，且
对称轴--------------------------------------------------------------------------8分
所以 或 解得 所以
综上所述，实数m的取值范围是；-------------------------------------10分21世纪教育网
----------------------------------------------------------12分
---------------------------14分
----------------------------------------------16分
--------------------18分
是
否
输出y
结束
开始
输入x=1
①
y
M
A
B
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A
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O
H
x
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N（n，-2）
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x
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图1
图2
图3
B
A
H
M
是
否
输出y
结束
开始
输入x=1
①
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O
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N（n，-2）
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图2
图3
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