人教B版（2019）高中数学必修第二册 第六章平面向量初步6.1.4数乘向量 同步习题（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学必修第二册 第六章平面向量初步6.1.4数乘向量 同步习题（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 230.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-17 23:23:33 | ||
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文档简介
6.1.4 数乘向量
知识点一 数乘向量的概念
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|>0
2．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若λa与b共线，则a与b共线
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
3．若向量a表示小船沿东北方向行驶了2
km，则向量3a和－a的意义是什么？
4．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
知识点二 数乘向量的运算律
5．3×8×a＝( )
A．－2a
B．8a
C．－6a
D．4a
6．已知a＝－e，b＝e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－
B．－
C．－
D．－2
7．(多选)下列算式中正确的是( )
A.＋＋＝0
B.－＝
C．0＝0
D．λ(μa)＝(λ
μ)a
8．化简下列各式：
(1)×6a；(2)(－3)××8a；(3)7×a.
9．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝e，b＝－e；
(4)a＝e，b＝－e.
知识点三 数乘向量的应用
10．如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等
B．共线
C．不共线
D．不能确定
11．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P在边AC的________等分点处．
13．(1)已知a＝e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求的值；
(2)已知a＝－e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|；
(3)已知a＝e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
14．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
15．已知＝－2e，＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
16．如图，半圆的直径AB＝4，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且||＝2，＝，求||.
易错点 忽略参数的正负与向量的对应性
已知点C在线段AB上，且＝，则＝________.
易错分析 在求解本题时，若忽略与的方向相反，很容易错解为＝.
一、单项选择题
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a
B．3b
C．|3a|
D.e(x，y∈R，且x≠y)
2．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.＝2
B.＝
C.＝
D.＝
3．已知非零向量满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b|
B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同
D．a与b的方向相反
4．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A．
B．－
C．－
D．
6．已知向量a＝e1－e2，b＝e1＋e2，c＝6e1，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
7．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．不等腰的梯形
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在DC和AB上，且DE＝DC，AF＝AB，则与的关系是( )
A．＝
B．＝－
C．＝
D．＝－
二、多项选择题
9．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a方向相同
D．|－2λa|＝2|λ||a|
10．下列说法中，错误的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝λ
11.
如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且＝，则必有( )
A.＝
B．||＝||
C.＝2
D.<
12．下列命题中是真命题的是( )
A．对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
D．若存在实数λ，使得b＝|λ|a，则a与b同向
三、填空题
13．若＝，＝λ，则实数λ的值为________．
14．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
15．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
16．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
四、解答题
17．如图，已知非零向量a，求作向量2a，a，－3a，－a.
18．(1)化简下列各式．
①6×a；②－×4×9a.
(2)任作一向量，再作向量＝2，＝－.
19．分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线．如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比．
(1)＝－2；(2)＝.
20．如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
6.1.4 数乘向量
知识点一 数乘向量的概念
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|>0
答案 C
解析 当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若λa与b共线，则a与b共线
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
答案 D
解析 对于A，λ＝0时结论不成立；对于B，只有当λ≠0时才成立；对于C，|b|＝2|a|时，a与b不一定共线；对于D，显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.故选D.
3．若向量a表示小船沿东北方向行驶了2
km，则向量3a和－a的意义是什么？
解 3a表示小船沿东北方向行驶了6
km，－a表示小船沿西南方向行驶了1
km.
4．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
解 (1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.
(2)错误．由|a－b|＝|a|＋|b|知a与b反向．
由λμ>0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．
知识点二 数乘向量的运算律
5．3×8×a＝( )
A．－2a
B．8a
C．－6a
D．4a
答案 C
解析 3×8×a＝24×a＝－6a，故选C.
6．已知a＝－e，b＝e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－
B．－
C．－
D．－2
答案 C
解析 由a＝－e，得e＝－a，故b＝e＝×a＝－a，所以λ＝－.故选C.
7．(多选)下列算式中正确的是( )
A.＋＋＝0
B.－＝
C．0＝0
D．λ(μa)＝(λ
μ)a
答案 ACD
解析 易知A，C，D正确；－＝，而不是，故B错误．故选ACD.
8．化简下列各式：
(1)×6a；(2)(－3)××8a；(3)7×a.
解 (1)×6a＝a＝2a.
(2)(－3)××8a＝×8a＝a＝－6a.
(3)7×a＝a＝－a.
9．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝e，b＝－e；
(4)a＝e，b＝－e.
解 (1)a＝3e＝×(－6)e，故a＝－b.
(2)a＝8e＝×16e，故a＝b.
(3)a＝e＝(－2)×e，故a＝－2b.
(4)a＝e＝×e，故a＝－b.
知识点三 数乘向量的应用
10．如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等
B．共线
C．不共线
D．不能确定
答案 B
解析 ∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反．
11．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 B
解析 ∵＋＋＝0，∴M是△ABC的重心．∴＋＝3，∴m＝3.
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P在边AC的________等分点处．
答案 三
解析 由＋＋＝，得＋＝－＝，所以＝2，从而点P在边AC的三等分点处．
13．(1)已知a＝e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求的值；
(2)已知a＝－e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|；
(3)已知a＝e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
解 (1)由a＝e得e＝3a，代入b＝－5e，得b＝－5×(3a)＝－15a，∴a∥b，且|b|＝15|a|，即＝15.
(2)∵a＝－e，b＝4a，∴b＝4×＝－e，
∴b与e共线，且|b|＝|e|，即＝.
(3)∵a＝e1，e1＝3e2，b＝－4e2，
∴e1＝2a，e2＝e1，
b＝－4×＝－4××2a＝－a，
∴a与b平行，且|b|＝|a|，即＝.
14．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解 因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以＝3，＝＝a，所以＝＋＝b＋a.
15．已知＝－2e，＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
解 由＝－2e，得e＝－，
由＝3e，得e＝，
故－＝，∴＝－.
即与平行，又AB与AC有公共点A，
∴A，B，C三点共线，又||＝||，
∴AB∶AC＝2∶3.
16．如图，半圆的直径AB＝4，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且||＝2，＝，求||.
解 由题意可知∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∥，∴∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝，即＝，
∴DB＝，
又DE＝，
∴||＝
＝＝.
易错点 忽略参数的正负与向量的对应性
已知点C在线段AB上，且＝，则＝________.
易错分析 在求解本题时，若忽略与的方向相反，很容易错解为＝.
答案 －
正解 如图，因为＝，且点C在线段AB上，
则与同向，且||＝||，故＝＝－.
一、单项选择题
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a
B．3b
C．|3a|
D.e(x，y∈R，且x≠y)
答案 C
解析 |3a|是向量3a的模，是实数而不是向量．故选C.
2．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.＝2
B.＝
C.＝
D.＝
答案 D
解析 ＝－，故D错误．A，B，C正确．
3．已知非零向量满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b|
B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同
D．a与b的方向相反
答案 C
解析 ∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|，a与b的方向相同．故选C.
4．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 D
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向相同或相反，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
5．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A．
B．－
C．－
D．
答案 C
解析 ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.
6．已知向量a＝e1－e2，b＝e1＋e2，c＝6e1，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
答案 B
解析 ∵a＋b＝2e1，c＝6e1,6e1＝3(2e1)，∴a＋b与c共线．
7．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．不等腰的梯形
答案 C
解析 ∵＝3e1，＝－5e1，∴＝－，∴与平行，且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在DC和AB上，且DE＝DC，AF＝AB，则与的关系是( )
A．＝
B．＝－
C．＝
D．＝－
答案 B
解析 ∵DE＝DC，∴EC＝DC，即＝，又四边形ABCD为平行四边形，AF＝AB，∴＝＝，＝，∴＝，∴四边形AFCE为平行四边形，∴＝－.故选B.
二、多项选择题
9．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a方向相同
D．|－2λa|＝2|λ||a|
答案 CD
解析 显然A，B不正确，C，D正确．
10．下列说法中，错误的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝λ
答案 ACD
解析 A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ<0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，应等于|λ|.故选ACD.
11.
如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且＝，则必有( )
A.＝
B．||＝||
C.＝2
D.<
答案 AC
解析 ∵在四边形ABCD中，＝，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由平行四形的性质可知＝，||不一定等于||，＝2，A，C正确，B错误；向量不能比较大小，D错误．故选AC.
12．下列命题中是真命题的是( )
A．对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
D．若存在实数λ，使得b＝|λ|a，则a与b同向
答案 BC
解析 λ＋a与λ－a均无意义，A是假命题；因为－3<0，故B为真命题；|－6a|＝6|a|＝2|3a|，C是真命题；若b＝0，a≠0，命题不成立，D是假命题．故选BC.
三、填空题
13．若＝，＝λ，则实数λ的值为________．
答案 －
解析 ＝，如图．
结合图形可知＝－.
故λ＝－.
14．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
答案 －
解析 因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
15．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
答案 －2
解析 ＝＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.
16．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
答案 1∶2
解析 画出图形如图所示．
∵＝2，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．
又△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
四、解答题
17．如图，已知非零向量a，求作向量2a，a，－3a，－a.
解 将向量a依次同向伸长到原来的2倍，同向缩短为原来的，反向伸长到原来的3倍，反向缩短为原来的，就分别得到向量2a，a，－3a，－a，如图所示．
18．(1)化简下列各式．
①6×a；②－×4×9a.
(2)任作一向量，再作向量＝2，＝－.
解 (1)①6×a＝－2a.
②－×4×9a＝－2×9a＝－18a.
(2)
当＝0时，＝2＝2·0＝0，
＝－＝－·0＝0；
当≠0时，
如图，延长OA到点B使
||＝2||，
则＝2，
反向延长AO至C，使||＝||，
则＝－.
19．分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线．如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比．
(1)＝－2；(2)＝.
解 (1)∵＝－2，∴∥.
又，有公共点C，
∴A，B，C共线．又易知＝－3，
∴AB∶BC＝3.
(2)∵＝，∴∥，又，有公共点A，
∴A，B，C共线．又易知＝－2，
∴AB∶BC＝2.
20．如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明 ∵F，G分别是AB，AC的中点，∴＝.
同理，＝.∴＝.
∴FG∥EH且FG＝EH.
∴四边形EFGH为平行四形．
知识点一 数乘向量的概念
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|>0
2．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若λa与b共线，则a与b共线
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
3．若向量a表示小船沿东北方向行驶了2
km，则向量3a和－a的意义是什么？
4．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
知识点二 数乘向量的运算律
5．3×8×a＝( )
A．－2a
B．8a
C．－6a
D．4a
6．已知a＝－e，b＝e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－
B．－
C．－
D．－2
7．(多选)下列算式中正确的是( )
A.＋＋＝0
B.－＝
C．0＝0
D．λ(μa)＝(λ
μ)a
8．化简下列各式：
(1)×6a；(2)(－3)××8a；(3)7×a.
9．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝e，b＝－e；
(4)a＝e，b＝－e.
知识点三 数乘向量的应用
10．如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等
B．共线
C．不共线
D．不能确定
11．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P在边AC的________等分点处．
13．(1)已知a＝e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求的值；
(2)已知a＝－e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|；
(3)已知a＝e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
14．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
15．已知＝－2e，＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
16．如图，半圆的直径AB＝4，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且||＝2，＝，求||.
易错点 忽略参数的正负与向量的对应性
已知点C在线段AB上，且＝，则＝________.
易错分析 在求解本题时，若忽略与的方向相反，很容易错解为＝.
一、单项选择题
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a
B．3b
C．|3a|
D.e(x，y∈R，且x≠y)
2．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.＝2
B.＝
C.＝
D.＝
3．已知非零向量满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b|
B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同
D．a与b的方向相反
4．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A．
B．－
C．－
D．
6．已知向量a＝e1－e2，b＝e1＋e2，c＝6e1，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
7．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．不等腰的梯形
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在DC和AB上，且DE＝DC，AF＝AB，则与的关系是( )
A．＝
B．＝－
C．＝
D．＝－
二、多项选择题
9．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a方向相同
D．|－2λa|＝2|λ||a|
10．下列说法中，错误的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝λ
11.
如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且＝，则必有( )
A.＝
B．||＝||
C.＝2
D.<
12．下列命题中是真命题的是( )
A．对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
D．若存在实数λ，使得b＝|λ|a，则a与b同向
三、填空题
13．若＝，＝λ，则实数λ的值为________．
14．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
15．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
16．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
四、解答题
17．如图，已知非零向量a，求作向量2a，a，－3a，－a.
18．(1)化简下列各式．
①6×a；②－×4×9a.
(2)任作一向量，再作向量＝2，＝－.
19．分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线．如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比．
(1)＝－2；(2)＝.
20．如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
6.1.4 数乘向量
知识点一 数乘向量的概念
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|>0
答案 C
解析 当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若λa与b共线，则a与b共线
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
答案 D
解析 对于A，λ＝0时结论不成立；对于B，只有当λ≠0时才成立；对于C，|b|＝2|a|时，a与b不一定共线；对于D，显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.故选D.
3．若向量a表示小船沿东北方向行驶了2
km，则向量3a和－a的意义是什么？
解 3a表示小船沿东北方向行驶了6
km，－a表示小船沿西南方向行驶了1
km.
4．试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)若λa＝0，则λ＝0；
(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．
解 (1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.
(2)错误．由|a－b|＝|a|＋|b|知a与b反向．
由λμ>0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．
知识点二 数乘向量的运算律
5．3×8×a＝( )
A．－2a
B．8a
C．－6a
D．4a
答案 C
解析 3×8×a＝24×a＝－6a，故选C.
6．已知a＝－e，b＝e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于( )
A．－
B．－
C．－
D．－2
答案 C
解析 由a＝－e，得e＝－a，故b＝e＝×a＝－a，所以λ＝－.故选C.
7．(多选)下列算式中正确的是( )
A.＋＋＝0
B.－＝
C．0＝0
D．λ(μa)＝(λ
μ)a
答案 ACD
解析 易知A，C，D正确；－＝，而不是，故B错误．故选ACD.
8．化简下列各式：
(1)×6a；(2)(－3)××8a；(3)7×a.
解 (1)×6a＝a＝2a.
(2)(－3)××8a＝×8a＝a＝－6a.
(3)7×a＝a＝－a.
9．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：
(1)a＝3e，b＝－6e；
(2)a＝8e，b＝16e；
(3)a＝e，b＝－e；
(4)a＝e，b＝－e.
解 (1)a＝3e＝×(－6)e，故a＝－b.
(2)a＝8e＝×16e，故a＝b.
(3)a＝e＝(－2)×e，故a＝－2b.
(4)a＝e＝×e，故a＝－b.
知识点三 数乘向量的应用
10．如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是( )
A．相等
B．共线
C．不共线
D．不能确定
答案 B
解析 ∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反．
11．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 B
解析 ∵＋＋＝0，∴M是△ABC的重心．∴＋＝3，∴m＝3.
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P在边AC的________等分点处．
答案 三
解析 由＋＋＝，得＋＝－＝，所以＝2，从而点P在边AC的三等分点处．
13．(1)已知a＝e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求的值；
(2)已知a＝－e，b＝4a，判断b与e是否共线，并求|b|∶|e|；
(3)已知a＝e1，e1＝3e2，b＝－4e2，判断a与b是否平行，并求|a|∶|b|.
解 (1)由a＝e得e＝3a，代入b＝－5e，得b＝－5×(3a)＝－15a，∴a∥b，且|b|＝15|a|，即＝15.
(2)∵a＝－e，b＝4a，∴b＝4×＝－e，
∴b与e共线，且|b|＝|e|，即＝.
(3)∵a＝e1，e1＝3e2，b＝－4e2，
∴e1＝2a，e2＝e1，
b＝－4×＝－4××2a＝－a，
∴a与b平行，且|b|＝|a|，即＝.
14．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解 因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以＝3，＝＝a，所以＝＋＝b＋a.
15．已知＝－2e，＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
解 由＝－2e，得e＝－，
由＝3e，得e＝，
故－＝，∴＝－.
即与平行，又AB与AC有公共点A，
∴A，B，C三点共线，又||＝||，
∴AB∶AC＝2∶3.
16．如图，半圆的直径AB＝4，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且||＝2，＝，求||.
解 由题意可知∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∥，∴∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝，即＝，
∴DB＝，
又DE＝，
∴||＝
＝＝.
易错点 忽略参数的正负与向量的对应性
已知点C在线段AB上，且＝，则＝________.
易错分析 在求解本题时，若忽略与的方向相反，很容易错解为＝.
答案 －
正解 如图，因为＝，且点C在线段AB上，
则与同向，且||＝||，故＝＝－.
一、单项选择题
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a
B．3b
C．|3a|
D.e(x，y∈R，且x≠y)
答案 C
解析 |3a|是向量3a的模，是实数而不是向量．故选C.
2．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A.＝2
B.＝
C.＝
D.＝
答案 D
解析 ＝－，故D错误．A，B，C正确．
3．已知非零向量满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b|
B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同
D．a与b的方向相反
答案 C
解析 ∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|，a与b的方向相同．故选C.
4．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 D
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向相同或相反，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
5．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A．
B．－
C．－
D．
答案 C
解析 ∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.
6．已知向量a＝e1－e2，b＝e1＋e2，c＝6e1，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
答案 B
解析 ∵a＋b＝2e1，c＝6e1,6e1＝3(2e1)，∴a＋b与c共线．
7．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．不等腰的梯形
答案 C
解析 ∵＝3e1，＝－5e1，∴＝－，∴与平行，且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在DC和AB上，且DE＝DC，AF＝AB，则与的关系是( )
A．＝
B．＝－
C．＝
D．＝－
答案 B
解析 ∵DE＝DC，∴EC＝DC，即＝，又四边形ABCD为平行四边形，AF＝AB，∴＝＝，＝，∴＝，∴四边形AFCE为平行四边形，∴＝－.故选B.
二、多项选择题
9．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a方向相同
D．|－2λa|＝2|λ||a|
答案 CD
解析 显然A，B不正确，C，D正确．
10．下列说法中，错误的是( )
A．0a＝0
B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝λ
答案 ACD
解析 A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ<0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，应等于|λ|.故选ACD.
11.
如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，且＝，则必有( )
A.＝
B．||＝||
C.＝2
D.<
答案 AC
解析 ∵在四边形ABCD中，＝，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由平行四形的性质可知＝，||不一定等于||，＝2，A，C正确，B错误；向量不能比较大小，D错误．故选AC.
12．下列命题中是真命题的是( )
A．对于实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍
D．若存在实数λ，使得b＝|λ|a，则a与b同向
答案 BC
解析 λ＋a与λ－a均无意义，A是假命题；因为－3<0，故B为真命题；|－6a|＝6|a|＝2|3a|，C是真命题；若b＝0，a≠0，命题不成立，D是假命题．故选BC.
三、填空题
13．若＝，＝λ，则实数λ的值为________．
答案 －
解析 ＝，如图．
结合图形可知＝－.
故λ＝－.
14．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
答案 －
解析 因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
15．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________.
答案 －2
解析 ＝＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.
16．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
答案 1∶2
解析 画出图形如图所示．
∵＝2，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．
又△PAB与△PBC的底边长之比为||∶||＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.
四、解答题
17．如图，已知非零向量a，求作向量2a，a，－3a，－a.
解 将向量a依次同向伸长到原来的2倍，同向缩短为原来的，反向伸长到原来的3倍，反向缩短为原来的，就分别得到向量2a，a，－3a，－a，如图所示．
18．(1)化简下列各式．
①6×a；②－×4×9a.
(2)任作一向量，再作向量＝2，＝－.
解 (1)①6×a＝－2a.
②－×4×9a＝－2×9a＝－18a.
(2)
当＝0时，＝2＝2·0＝0，
＝－＝－·0＝0；
当≠0时，
如图，延长OA到点B使
||＝2||，
则＝2，
反向延长AO至C，使||＝||，
则＝－.
19．分别指出以下各题中A，B，C三点是否一定共线．如果共线，指出线段AB与BC之间的长度之比．
(1)＝－2；(2)＝.
解 (1)∵＝－2，∴∥.
又，有公共点C，
∴A，B，C共线．又易知＝－3，
∴AB∶BC＝3.
(2)∵＝，∴∥，又，有公共点A，
∴A，B，C共线．又易知＝－2，
∴AB∶BC＝2.
20．如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明 ∵F，G分别是AB，AC的中点，∴＝.
同理，＝.∴＝.
∴FG∥EH且FG＝EH.
∴四边形EFGH为平行四形．