人教B版（2019）高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则同步习题（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则同步习题（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 183.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-17 23:24:31 | ||
图片预览
文档简介
4.2.2 对数运算法则
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．logaM·logaN＝loga(M＋N)
B.＝loga(M－N)
C．
D．logaM＝
2．下列式子中：
①lg
(3＋2)－lg
(3－2)＝0；
②lg
(10＋)×lg
(10－)＝0；
③＝－1(n∈N
)；
④＝lg
(a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
知识点二 对数式的计算、化简
3．(lg
5)2＋lg
2×lg
5＋lg
20的值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．lg
－2lg
＋lg
等于( )
A．lg
2
B．lg
3
C．lg
4
D．lg
5
5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．－a2＋3a－1
6．若lg
x－lg
y＝a，则
lg
3－lg
3＝( )
A．3a
B．a
C．a
D．
7．若lg
x＝m，lg
y＝n，则lg
－lg
2的值等于( )
A.m－2n－2
B．m－2n－1
C.m－2n＋1
D．m－2n＋2
8．化简log2＋log2＋log2＋…＋log2，得( )
A．5
B．4
C．－5
D．－4
9．已知3a＝2,3b＝，则2a－b＝________.
10．计算下列各式的值：
(1)log2
＋log212－log242；
(2)lg
500＋lg
－lg
64＋50(lg
2＋lg
5)2；
(3)lg
25＋lg
2×lg
50＋(lg
2)2；
(4).
知识点三 换底公式及应用
11．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．ab
D．
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于( )
A.
B．3
C．－
D．－3
13．若lg
2＝a，lg
3＝b，则log512等于( )
A.
B．
C．
D．
14．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
15．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
17．计算：
(1)log89×log2732；
(2)log927；
(3)log2×log3×log5.
18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件
设lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，则log4的值为________．
易错点二 运用换底公式不熟练致误
log29×log34＝( )
A.
B．
C．2
D．4
一、单项选择题
1．log225×log52＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．若log5×log36×log6x＝2，则x等于( )
A．9
B．
C．25
D．
3.
等于( )
A．lg
3
B．－lg
3
C．
D．－
4．化简
＋log2，得( )
A．2
B．2－2log23
C．－2
D．2log23－2
5．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2
B．
C．100
D．
6．设log83＝p，log35＝q，则lg
5等于( )
A．p2＋q2
B．(3p＋2q)
C.
D．pq
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6
B．9
C．12
D．18
8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
二、多项选择题
9．下列各等式正确的是( )
A．log23×log25＝log2(3×5)
B．lg
3＋lg
4＝lg
(3×4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg
＝
lg
m(m>0，n>1，n∈N
)
10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )
A．lg
(ab)＝lg
a＋lg
b
B．lg
＝lg
a－lg
b
C.lg
2＝lg
D．lg
(ab)＝
11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2ln
x＋ln
y＝2ln
x＋2ln
y
B．2ln
(x＋y)＝2ln
x·2ln
y
C．2ln
x·ln
y＝(2ln
x)ln
y
D．2ln
(xy)＝2ln
x·2ln
y
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N
，则下列等式中正确的是( )
A．(logax)n＝nlogax
B．logax＝－loga
C.＝logax
D．＝loga
三、填空题
13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.
14．方程log2x＋＝1的解是x＝________.
15．如果方程(lg
x)2＋(lg
7＋lg
5)lg
x＋lg
7×lg
5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
16．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N
)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．
四、解答题
17．求值：(1)lg＋lg；
(2)log89×log2732－()lg
1＋log535－log57；
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．
18．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
19．设020．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
4.2.2 对数运算法则
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．logaM·logaN＝loga(M＋N)
B.＝loga(M－N)
C．
D．logaM＝
答案 C
解析 由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga＝＝logaM，＝logaM，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.
2．下列式子中：
①lg
(3＋2)－lg
(3－2)＝0；
②lg
(10＋)×lg
(10－)＝0；
③＝－1(n∈N
)；
④＝lg
(a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
答案 ③
解析 lg
(3＋2)－lg
(3－2)＝lg
＝lg
(3＋2)2>0，故①错误．
∵lg
(10＋)≠0，lg
(10－)≠0.
∴lg
(10＋)×lg
(10－)≠0，故②错误．
∵＝＝－1，
∴③正确．
∵≠lg
(a－b)，故④错误．
知识点二 对数式的计算、化简
3．(lg
5)2＋lg
2×lg
5＋lg
20的值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 (lg
5)2＋lg
2×lg
5＋lg
20＝lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
20＝lg
5×lg
10＋lg
20＝lg
5＋lg
20＝lg
100＝2.
4．lg
－2lg
＋lg
等于( )
A．lg
2
B．lg
3
C．lg
4
D．lg
5
答案 A
解析 lg
－2lg
＋lg
＝lg
＝lg
2.故选A.
5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．－a2＋3a－1
答案 A
解析 log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
6．若lg
x－lg
y＝a，则
lg
3－lg
3＝( )
A．3a
B．a
C．a
D．
答案 A
解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg
x－lg
2)－3(lg
y－lg
2)＝3(lg
x－lg
y)＝3a.
7．若lg
x＝m，lg
y＝n，则lg
－lg
2的值等于( )
A.m－2n－2
B．m－2n－1
C.m－2n＋1
D．m－2n＋2
答案 D
解析 原式＝lg
x－2(lg
y－lg
10)＝m－2n＋2.
8．化简log2＋log2＋log2＋…＋log2，得( )
A．5
B．4
C．－5
D．－4
答案 C
解析 原式＝log2＝log2＝－5.
9．已知3a＝2,3b＝，则2a－b＝________.
答案 log320
解析 ∵3a＝2,3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320.
10．计算下列各式的值：
(1)log2
＋log212－log242；
(2)lg
500＋lg
－lg
64＋50(lg
2＋lg
5)2；
(3)lg
25＋lg
2×lg
50＋(lg
2)2；
(4).
解 (1)原式＝log2＝log2＝－.
(2)原式＝lg
－lg
64＋50(lg
10)2＝lg
＋50＝lg
100＋50＝2＋50＝52.
(3)原式＝2lg
5＋lg
2×(1＋lg
5)＋(lg
2)2＝2lg
5＋lg
2(1＋lg
5＋lg
2)＝2lg
5＋2lg
2＝2.
(4)原式＝
＝＝－.
知识点三 换底公式及应用
11．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．ab
D．
答案 C
解析 log27＝log23×log37＝ab.
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于( )
A.
B．3
C．－
D．－3
答案 A
解析 由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝，y＝log0.251000＝，∴－＝－＝.
13．若lg
2＝a，lg
3＝b，则log512等于( )
A.
B．
C．
D．
答案 C
解析 log512＝＝＝，故选C.
14．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
答案 A
解析 ∵logax＝＝2，∴logxa＝.
同理logxb＝，logxc＝.
∴logabcx＝＝＝1.
15．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
答案 4
解析 由换底公式，得log9(x＋5)＝log3(x＋5)．
∴原方程可化为2log3(x－1)＝log3(x＋5)，
即log3(x－1)2＝log3(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5.
∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
又∴x>1，故x＝4.
16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
答案 9
解析 由换底公式，得××＝＝log416＝2，∴lg
m＝2lg
3＝lg
9，∴m＝9.
17．计算：
(1)log89×log2732；
(2)log927；
(3)log2×log3×log5.
解 (1)log89×log2732＝×＝×＝×＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)log2×log3×log5＝log25－3×log32－5×log53－1＝－3log25×(－5log32)×(－log53)＝－15×××＝－15.
18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
解 解法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝
＝＝.
解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
解法三：∵log189＝a,18b＝5，
∴lg
9＝alg
18，lg
5＝blg
18.
∴log3645＝＝＝
＝＝.
易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件
设lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，则log4的值为________．
易错分析 错误的根本原因是将对数式lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件从而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案．
答案 1
正解 由lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，得
lg
(xy)＝lg
(x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，
又x>0，y>0，x－2y>0，∴≠1，∴log4＝1.
易错点二 运用换底公式不熟练致误
log29×log34＝( )
A.
B．
C．2
D．4
易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．
答案 D
正解 log29×log34＝×＝×＝2×2＝4.
一、单项选择题
1．log225×log52＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 A
解析 log225×log52＝×＝×＝3.
2．若log5×log36×log6x＝2，则x等于( )
A．9
B．
C．25
D．
答案 D
解析 由换底公式，得原式＝××＝2，
∴lg
x＝－2lg
5，x＝5－2＝.
3.
等于( )
A．lg
3
B．－lg
3
C．
D．－
答案 C
解析 原式＝＝log310＝.选C.
4．化简
＋log2，得( )
A．2
B．2－2log23
C．－2
D．2log23－2
答案 B
解析 ∵＝＝2－log23，∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.
5．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2
B．
C．100
D．
答案 C
解析 ∵lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg
a＋lg
b＝－＝2＝lg
ab，
∴ab＝100.故选C.
6．设log83＝p，log35＝q，则lg
5等于( )
A．p2＋q2
B．(3p＋2q)
C.
D．pq
答案 C
解析 ∵log83＝＝＝p，∴lg
3＝3plg
2.∵log35＝＝q，∴lg
5＝qlg
3＝3pqlg
2＝3pq(1－lg
5)，∴lg
5＝，故选C.
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6
B．9
C．12
D．18
答案 D
解析 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴＝logk2，＝logk3，∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.
8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
答案 A
解析 ∵2x＝3，∴x＝log23.又log4＝y，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2＝log23＋3－log23＝3.故选A.
二、多项选择题
9．下列各等式正确的是( )
A．log23×log25＝log2(3×5)
B．lg
3＋lg
4＝lg
(3×4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg
＝
lg
m(m>0，n>1，n∈N
)
答案 BD
解析 对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg
＝lg
m符合对数的运算法则，正确．故选BD.
10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )
A．lg
(ab)＝lg
a＋lg
b
B．lg
＝lg
a－lg
b
C.lg
2＝lg
D．lg
(ab)＝
答案 CD
解析 当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.
11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2ln
x＋ln
y＝2ln
x＋2ln
y
B．2ln
(x＋y)＝2ln
x·2ln
y
C．2ln
x·ln
y＝(2ln
x)ln
y
D．2ln
(xy)＝2ln
x·2ln
y
答案 CD
解析 因为2ln
x＋ln
y＝2ln
x·2ln
y＝2ln
(xy)，D正确；(2ln
x)ln
y＝2ln
x·ln
y，C正确．故选CD.
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N
，则下列等式中正确的是( )
A．(logax)n＝nlogax
B．logax＝－loga
C.＝logax
D．＝loga
答案 BD
解析 根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D正确．
三、填空题
13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.
答案 4 2
解析 ∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋log927y＝2－1·＋＝＝2.
14．方程log2x＋＝1的解是x＝________.
答案 1
解析 原方程可变为log2x＋log2(x＋1)＝1，
即log2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，
解得x＝1或x＝－2.又即x>0，∴x＝1.
15．如果方程(lg
x)2＋(lg
7＋lg
5)lg
x＋lg
7×lg
5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
答案
解析 方程(lg
x)2＋(lg
7＋lg
5)lg
x＋lg
7×lg
5＝0可以看成关于lg
x的二次方程．
∵α，β是原方程的两根，
∴lg
α，lg
β可以看成关于lg
x的二次方程的两根．
由根与系数的关系，得
lg
α＋lg
β＝－(lg
7＋lg
5)＝－lg
35＝lg
，
∴lg
(αβ)＝lg
α＋lg
β＝lg
，
即αβ＝.
16．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N
)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．
答案 9
解析 f(n)＝logn＋1(n＋2)＝，
∴f(1)f(2)…f(n)＝··…·＝＝log2(n＋2)．
∵n∈(1,2020)，∴n＋2∈(3,2022)，
∵210＝1024,211＝2048，
∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.
四、解答题
17．求值：(1)lg＋lg；
(2)log89×log2732－()lg
1＋log535－log57；
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．
解 (1)lg
＋lg
＝lg
＝lg
10＝1.
(2)log89×log2732－()lg
1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)＝·＝＝＋＋＋＝.
18．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
解 原等式可化为
loga[(x2＋4)(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴∴＝.
∴log8＝log8＝－.
19．设0解 由已知条件，得
logax＋3logxa－logxy＝logax＋－＝3，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3＝2＋.
当logax＝时，logay有最小值.
此时y＝，所以有loga＝，
故
所以a＝.
20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
解 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝，
∴－＝.
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．logaM·logaN＝loga(M＋N)
B.＝loga(M－N)
C．
D．logaM＝
2．下列式子中：
①lg
(3＋2)－lg
(3－2)＝0；
②lg
(10＋)×lg
(10－)＝0；
③＝－1(n∈N
)；
④＝lg
(a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
知识点二 对数式的计算、化简
3．(lg
5)2＋lg
2×lg
5＋lg
20的值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
4．lg
－2lg
＋lg
等于( )
A．lg
2
B．lg
3
C．lg
4
D．lg
5
5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．－a2＋3a－1
6．若lg
x－lg
y＝a，则
lg
3－lg
3＝( )
A．3a
B．a
C．a
D．
7．若lg
x＝m，lg
y＝n，则lg
－lg
2的值等于( )
A.m－2n－2
B．m－2n－1
C.m－2n＋1
D．m－2n＋2
8．化简log2＋log2＋log2＋…＋log2，得( )
A．5
B．4
C．－5
D．－4
9．已知3a＝2,3b＝，则2a－b＝________.
10．计算下列各式的值：
(1)log2
＋log212－log242；
(2)lg
500＋lg
－lg
64＋50(lg
2＋lg
5)2；
(3)lg
25＋lg
2×lg
50＋(lg
2)2；
(4).
知识点三 换底公式及应用
11．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．ab
D．
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于( )
A.
B．3
C．－
D．－3
13．若lg
2＝a，lg
3＝b，则log512等于( )
A.
B．
C．
D．
14．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
15．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
17．计算：
(1)log89×log2732；
(2)log927；
(3)log2×log3×log5.
18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件
设lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，则log4的值为________．
易错点二 运用换底公式不熟练致误
log29×log34＝( )
A.
B．
C．2
D．4
一、单项选择题
1．log225×log52＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．若log5×log36×log6x＝2，则x等于( )
A．9
B．
C．25
D．
3.
等于( )
A．lg
3
B．－lg
3
C．
D．－
4．化简
＋log2，得( )
A．2
B．2－2log23
C．－2
D．2log23－2
5．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2
B．
C．100
D．
6．设log83＝p，log35＝q，则lg
5等于( )
A．p2＋q2
B．(3p＋2q)
C.
D．pq
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6
B．9
C．12
D．18
8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
二、多项选择题
9．下列各等式正确的是( )
A．log23×log25＝log2(3×5)
B．lg
3＋lg
4＝lg
(3×4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg
＝
lg
m(m>0，n>1，n∈N
)
10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )
A．lg
(ab)＝lg
a＋lg
b
B．lg
＝lg
a－lg
b
C.lg
2＝lg
D．lg
(ab)＝
11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2ln
x＋ln
y＝2ln
x＋2ln
y
B．2ln
(x＋y)＝2ln
x·2ln
y
C．2ln
x·ln
y＝(2ln
x)ln
y
D．2ln
(xy)＝2ln
x·2ln
y
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N
，则下列等式中正确的是( )
A．(logax)n＝nlogax
B．logax＝－loga
C.＝logax
D．＝loga
三、填空题
13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.
14．方程log2x＋＝1的解是x＝________.
15．如果方程(lg
x)2＋(lg
7＋lg
5)lg
x＋lg
7×lg
5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
16．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N
)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．
四、解答题
17．求值：(1)lg＋lg；
(2)log89×log2732－()lg
1＋log535－log57；
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．
18．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
19．设0
(1)求p；
(2)求证：－＝.
4.2.2 对数运算法则
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．logaM·logaN＝loga(M＋N)
B.＝loga(M－N)
C．
D．logaM＝
答案 C
解析 由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga＝＝logaM，＝logaM，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.
2．下列式子中：
①lg
(3＋2)－lg
(3－2)＝0；
②lg
(10＋)×lg
(10－)＝0；
③＝－1(n∈N
)；
④＝lg
(a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
答案 ③
解析 lg
(3＋2)－lg
(3－2)＝lg
＝lg
(3＋2)2>0，故①错误．
∵lg
(10＋)≠0，lg
(10－)≠0.
∴lg
(10＋)×lg
(10－)≠0，故②错误．
∵＝＝－1，
∴③正确．
∵≠lg
(a－b)，故④错误．
知识点二 对数式的计算、化简
3．(lg
5)2＋lg
2×lg
5＋lg
20的值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 (lg
5)2＋lg
2×lg
5＋lg
20＝lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
20＝lg
5×lg
10＋lg
20＝lg
5＋lg
20＝lg
100＝2.
4．lg
－2lg
＋lg
等于( )
A．lg
2
B．lg
3
C．lg
4
D．lg
5
答案 A
解析 lg
－2lg
＋lg
＝lg
＝lg
2.故选A.
5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．－a2＋3a－1
答案 A
解析 log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
6．若lg
x－lg
y＝a，则
lg
3－lg
3＝( )
A．3a
B．a
C．a
D．
答案 A
解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg
x－lg
2)－3(lg
y－lg
2)＝3(lg
x－lg
y)＝3a.
7．若lg
x＝m，lg
y＝n，则lg
－lg
2的值等于( )
A.m－2n－2
B．m－2n－1
C.m－2n＋1
D．m－2n＋2
答案 D
解析 原式＝lg
x－2(lg
y－lg
10)＝m－2n＋2.
8．化简log2＋log2＋log2＋…＋log2，得( )
A．5
B．4
C．－5
D．－4
答案 C
解析 原式＝log2＝log2＝－5.
9．已知3a＝2,3b＝，则2a－b＝________.
答案 log320
解析 ∵3a＝2,3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320.
10．计算下列各式的值：
(1)log2
＋log212－log242；
(2)lg
500＋lg
－lg
64＋50(lg
2＋lg
5)2；
(3)lg
25＋lg
2×lg
50＋(lg
2)2；
(4).
解 (1)原式＝log2＝log2＝－.
(2)原式＝lg
－lg
64＋50(lg
10)2＝lg
＋50＝lg
100＋50＝2＋50＝52.
(3)原式＝2lg
5＋lg
2×(1＋lg
5)＋(lg
2)2＝2lg
5＋lg
2(1＋lg
5＋lg
2)＝2lg
5＋2lg
2＝2.
(4)原式＝
＝＝－.
知识点三 换底公式及应用
11．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．ab
D．
答案 C
解析 log27＝log23×log37＝ab.
12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于( )
A.
B．3
C．－
D．－3
答案 A
解析 由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝，y＝log0.251000＝，∴－＝－＝.
13．若lg
2＝a，lg
3＝b，则log512等于( )
A.
B．
C．
D．
答案 C
解析 log512＝＝＝，故选C.
14．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
答案 A
解析 ∵logax＝＝2，∴logxa＝.
同理logxb＝，logxc＝.
∴logabcx＝＝＝1.
15．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
答案 4
解析 由换底公式，得log9(x＋5)＝log3(x＋5)．
∴原方程可化为2log3(x－1)＝log3(x＋5)，
即log3(x－1)2＝log3(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5.
∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
又∴x>1，故x＝4.
16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
答案 9
解析 由换底公式，得××＝＝log416＝2，∴lg
m＝2lg
3＝lg
9，∴m＝9.
17．计算：
(1)log89×log2732；
(2)log927；
(3)log2×log3×log5.
解 (1)log89×log2732＝×＝×＝×＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)log2×log3×log5＝log25－3×log32－5×log53－1＝－3log25×(－5log32)×(－log53)＝－15×××＝－15.
18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
解 解法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝
＝＝.
解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
解法三：∵log189＝a,18b＝5，
∴lg
9＝alg
18，lg
5＝blg
18.
∴log3645＝＝＝
＝＝.
易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件
设lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，则log4的值为________．
易错分析 错误的根本原因是将对数式lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件从而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案．
答案 1
正解 由lg
x＋lg
y＝2lg
(x－2y)，得
lg
(xy)＝lg
(x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，
又x>0，y>0，x－2y>0，∴≠1，∴log4＝1.
易错点二 运用换底公式不熟练致误
log29×log34＝( )
A.
B．
C．2
D．4
易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．
答案 D
正解 log29×log34＝×＝×＝2×2＝4.
一、单项选择题
1．log225×log52＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 A
解析 log225×log52＝×＝×＝3.
2．若log5×log36×log6x＝2，则x等于( )
A．9
B．
C．25
D．
答案 D
解析 由换底公式，得原式＝××＝2，
∴lg
x＝－2lg
5，x＝5－2＝.
3.
等于( )
A．lg
3
B．－lg
3
C．
D．－
答案 C
解析 原式＝＝log310＝.选C.
4．化简
＋log2，得( )
A．2
B．2－2log23
C．－2
D．2log23－2
答案 B
解析 ∵＝＝2－log23，∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.
5．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A．2
B．
C．100
D．
答案 C
解析 ∵lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg
a＋lg
b＝－＝2＝lg
ab，
∴ab＝100.故选C.
6．设log83＝p，log35＝q，则lg
5等于( )
A．p2＋q2
B．(3p＋2q)
C.
D．pq
答案 C
解析 ∵log83＝＝＝p，∴lg
3＝3plg
2.∵log35＝＝q，∴lg
5＝qlg
3＝3pqlg
2＝3pq(1－lg
5)，∴lg
5＝，故选C.
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A．6
B．9
C．12
D．18
答案 D
解析 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴＝logk2，＝logk3，∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.
8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
答案 A
解析 ∵2x＝3，∴x＝log23.又log4＝y，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2＝log23＋3－log23＝3.故选A.
二、多项选择题
9．下列各等式正确的是( )
A．log23×log25＝log2(3×5)
B．lg
3＋lg
4＝lg
(3×4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg
＝
lg
m(m>0，n>1，n∈N
)
答案 BD
解析 对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg
＝lg
m符合对数的运算法则，正确．故选BD.
10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )
A．lg
(ab)＝lg
a＋lg
b
B．lg
＝lg
a－lg
b
C.lg
2＝lg
D．lg
(ab)＝
答案 CD
解析 当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.
11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2ln
x＋ln
y＝2ln
x＋2ln
y
B．2ln
(x＋y)＝2ln
x·2ln
y
C．2ln
x·ln
y＝(2ln
x)ln
y
D．2ln
(xy)＝2ln
x·2ln
y
答案 CD
解析 因为2ln
x＋ln
y＝2ln
x·2ln
y＝2ln
(xy)，D正确；(2ln
x)ln
y＝2ln
x·ln
y，C正确．故选CD.
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N
，则下列等式中正确的是( )
A．(logax)n＝nlogax
B．logax＝－loga
C.＝logax
D．＝loga
答案 BD
解析 根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D正确．
三、填空题
13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.
答案 4 2
解析 ∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋log927y＝2－1·＋＝＝2.
14．方程log2x＋＝1的解是x＝________.
答案 1
解析 原方程可变为log2x＋log2(x＋1)＝1，
即log2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，
解得x＝1或x＝－2.又即x>0，∴x＝1.
15．如果方程(lg
x)2＋(lg
7＋lg
5)lg
x＋lg
7×lg
5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
答案
解析 方程(lg
x)2＋(lg
7＋lg
5)lg
x＋lg
7×lg
5＝0可以看成关于lg
x的二次方程．
∵α，β是原方程的两根，
∴lg
α，lg
β可以看成关于lg
x的二次方程的两根．
由根与系数的关系，得
lg
α＋lg
β＝－(lg
7＋lg
5)＝－lg
35＝lg
，
∴lg
(αβ)＝lg
α＋lg
β＝lg
，
即αβ＝.
16．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N
)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．
答案 9
解析 f(n)＝logn＋1(n＋2)＝，
∴f(1)f(2)…f(n)＝··…·＝＝log2(n＋2)．
∵n∈(1,2020)，∴n＋2∈(3,2022)，
∵210＝1024,211＝2048，
∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.
四、解答题
17．求值：(1)lg＋lg；
(2)log89×log2732－()lg
1＋log535－log57；
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．
解 (1)lg
＋lg
＝lg
＝lg
10＝1.
(2)log89×log2732－()lg
1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)＝·＝＝＋＋＋＝.
18．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
解 原等式可化为
loga[(x2＋4)(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴∴＝.
∴log8＝log8＝－.
19．设0
logax＋3logxa－logxy＝logax＋－＝3，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3＝2＋.
当logax＝时，logay有最小值.
此时y＝，所以有loga＝，
故
所以a＝.
20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
解 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝，
∴－＝.