人教B版（2019）高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.3对数函数的性质与图同步习题（Word含答案解析）

4.2.3　对数函数的性质与图像
知识点一　对数函数的概念
1．下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln
x；⑤y＝
(x<0)；⑥y＝2log4(x－1)(x>1)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f等于(　　)
A．3
B．－3
C．－log36
D．－log38
3．若f(x)＝logax＋a2－4a－5是对数函数，则a＝________.
知识点二　对数函数的图像问题
4．函数y＝loga(x＋3)＋1的图像过定点
(　　)
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(－3,1)
D．(－2,1)
5．函数f(x)＝loga|x|＋1(06．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
知识点三　对数型函数的定义域
7．函数f(x)＝log2(x2＋3x－4)的定义域是(　　)
A．[－4,1]
B．(－4,1)
C．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln
(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)
A．{x|x>－1}
B．{x|x<1}
C．{x|－1D．?
9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.求a的值及f(x)的定义域．
10．已知，则(　　)
A．7a＞7b＞7c
B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a
D．7c＞7a＞7b
11．比较下列各组数的大小：
(1)log2π与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3；
知识点五　解对数不等式
12．已知log0.3(3x)A.
B．
C.
D．
13．不等式的解集是(　　)
A.
B．∪
C.∪
D．∪
知识点六　与对数函数有关的最值、值域问题
14．若函数y＝log2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，log214]，则a，b的值分别为(　　)
A.
B．
C.
D．或
15．求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝
16．已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k，a>0，且a≠1.
(1)求a，k的值；
(2)当x为何值时，y＝f(log2x)有最小值？求出该最小值．
17．判断函数f(x)＝log2(＋x)的奇偶性．
18．已知函数f(x)＝lg
的定义域为(－1,1)．
(1)求f＋f；
(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．
易错点一　忽视真数定义域而致误
函数的定义域为________．
易错点二　忽视底数a对函数图像的影响
已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是(　　)
一、单项选择题
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x)
B．y＝lg
10x
C．y＝loga(x2＋x)
D．y＝lg
x
2．函数y＝
ln
(1－x)的定义域为(　　)
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(0,1]
D．[0,1]
3．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bB．bC．cD．c4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
5．设函数f(x)＝ln
(1＋x)－ln
(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
6．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为(　　)
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，9)
D．(－∞，－1)∪(9，＋∞)
7．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为(　　)
A．2
B．
C．3
D．
8．函数y＝ax2＋bx与y＝
(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是(　　)
二、多项选择题
9．下列函数中值域为R的是(　　)
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝lg
(x2－2)
C．f(x)＝
D．f(x)＝ln
(x2＋1)
10．若a>b>0,0A．logcaB．ca>cb
C．ac>bc
D．logc(a＋b)>0
11．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则下列各集合是?R(M∩N)的子集的是(　　)
A．[1,2)
B．[2，＋∞)
C.
D．(－∞，3)
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，则(　　)
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图像关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
三、填空题
13．函数f(x)＝log2·的最小值为________．
14．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
15．若函数则f(－8)＝________；若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
16．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2020)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝________.
四、解答题
17．求y＝－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
18．已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)＞f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
19．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
20．设a>0，且a≠1，函数y＝有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
4.2.3　对数函数的性质与图像
知识点一　对数函数的概念
1．下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln
x；⑤y＝
(x<0)；⑥y＝2log4(x－1)(x>1)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案　B
解析　符合对数函数的定义的只有③④.
2．函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f等于(　　)
A．3
B．－3
C．－log36
D．－log38
答案　B
解析　∵函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，
∴解得a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f＝log2＝－3.故选B.
3．若f(x)＝logax＋a2－4a－5是对数函数，则a＝________.
答案　5
解析　∵f(x)＝logax＋a2－4a－5是对数函数，
∴∴a＝5.
知识点二　对数函数的图像问题
4．函数y＝loga(x＋3)＋1的图像过定点
(　　)
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(－3,1)
D．(－2,1)
答案　D
解析　令x＋3＝1，即x＝－2，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋3)＋1的图像过定点(－2,1)．
5．函数f(x)＝loga|x|＋1(0答案　A
解析　解法一：当x>0时，函数f(x)＝logax＋1(0解法二：由f(x)＝loga|x|＋1，得f(1)＝1且f(－1)＝1，排除D，再由00时，f(x)单调递减，排除B，C.故选A.
6．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　BCD
解析　f(x)＝loga(x＋2)(0知识点三　对数型函数的定义域
7．函数f(x)＝log2(x2＋3x－4)的定义域是(　　)
A．[－4,1]
B．(－4,1)
C．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
答案　D
解析　一是利用函数y＝x2＋3x－4的图像观察得到，要求图像正确、严谨；二是利用符号法则，即x2＋3x－4>0可因式分解为(x＋4)(x－1)>0，解得x>1或x<－4，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln
(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)
A．{x|x>－1}
B．{x|x<1}
C．{x|－1D．?
答案　C
解析　由1－x>0得函数f(x)的定义域M＝{x|x<1}，由1＋x>0得函数g(x)的定义域N＝{x|x>－1}，所以M∩N＝{x|－19．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.求a的值及f(x)的定义域．
解　∵f(1)＝2，∴loga2＋loga2＝2，∴loga2＝1，
∴a＝2.
由得－1故a的值为2，f(x)的定义域为{x|－1知识点四　利用对数函数的单调性比较大小
10．已知，则(　　)
A．7a＞7b＞7c
B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a
D．7c＞7a＞7b
答案　B
解析　由于函数y＝x为减函数，因此由b＜a＜c可得b＞a＞c，又由于函数y＝7x为增函数，所以7b＞7a＞7c.
11．比较下列各组数的大小：
(1)log2π与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76,0.76与60.7；(4)log20.4与log30.4.
解　(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
π＞0.9，所以log2π＞log20.9.
(2)由于log20.3＜log21＝0，log0.20.3＞log0.21＝0，
所以log20.3＜log0.20.3.
(3)因为60.7＞60＝1,0＜0.76＜0.70＝1，
又log0.76＜log0.71＝0，所以60.7＞0.76＞log0.76.
(4)底数不同，但真数相同，根据y＝logax的图像在a＞1，0＜x＜1时，a越大，图像越靠近x轴，知log30.4＞log20.4.
知识点五　解对数不等式
12．已知log0.3(3x)A.
B．
C.
D．
答案　A
解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
13．不等式的解集是(　　)
A.
B．∪
C.∪
D．∪
答案　B
解析　由＝－log2>－1，得
log2<1＝log22，即0<<2，即
－知识点六　与对数函数有关的最值、值域问题
14．若函数y＝log2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，log214]，则a，b的值分别为(　　)
A.
B．
C.
D．或
答案　D
解析　由1≤log2(x2－2)≤log214得2≤x2－2≤14，得4≤x2≤16，得－4≤x≤－2或2≤x≤4.由x2－2>0得x<－或x>，故b<－或a>.当a>时，由函数y＝log2(x2－2)(a≤x≤b)单调递增得2≤x≤4，故a＝2，b＝4；当b<－时，由函数y＝log2(x2－2)(a≤x≤b)单调递减得－4≤x≤－2，故a＝－4，b＝－2.
15．求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝
解　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0又y＝在(0,4]上为减函数，
所以≥4＝－2，
所以y＝
(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
16．已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k，a>0，且a≠1.
(1)求a，k的值；
(2)当x为何值时，y＝f(log2x)有最小值？求出该最小值．
解　(1)因为
所以
解得
因为a≠1，所以
(2)y＝(log2x)2－log2x＋2＝2＋，
所以当log2x＝，
即x＝时，f(log2x)有最小值，最小值为.
知识点七　对数函数性质的综合
17．判断函数f(x)＝log2(＋x)的奇偶性．
解　易知f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
又f(－x)＋f(x)＝log2(－x)＋log2(＋x)＝log2(x2＋1－x2)＝log21＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
18．已知函数f(x)＝lg
的定义域为(－1,1)．
(1)求f＋f；
(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．
解　(1)∵函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
且f(－x)＝lg
＝－lg
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f＋f＝f－f＝0；
(2)任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝lg
－lg
＝lg
＝lg
.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴1＋x2＞1＋x1＞0,1－x1＞1－x2＞0，
∴＞1，＞1，
则＞1.
∴lg
＞0，
即f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
易错点一　忽视真数定义域而致误
函数的定义域为________．
易错分析　错误的根本原因是使函数有意义，不仅需要＋1≥0，而且还需要真数x－1>0，忽视此条件导致错误．
答案　(1,3]
正解　要使函数有意义，
需＋1≥0且x－1>0，
所以≥－1且x>1，解得1所以函数的定义域为(1,3]．
易错点二　忽视底数a对函数图像的影响
已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是(　　)
易错分析　解答本题易混淆函数类型或忽视底数a对函数图像的影响致误．
答案　B
正解　若0若a>1，则函数y＝ax的图像上升且过点(0,1)，函数y＝loga(－x)的图像下降且过点(－1,0)，只有B中图像符合．
一、单项选择题
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x)
B．y＝lg
10x
C．y＝loga(x2＋x)
D．y＝lg
x
答案　D
解析　由对数函数的概念，知D正确．
2．函数y＝
ln
(1－x)的定义域为(　　)
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(0,1]
D．[0,1]
答案　B
解析　因为y＝
ln
(1－x)，所以解得0≤x＜1.
3．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bB．bC．cD．c答案　D
解析　由题知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
答案　A
解析　∵3x>0，∴3x＋1>1.∴log2(3x＋1)>0.∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
5．设函数f(x)＝ln
(1＋x)－ln
(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案　A
解析　由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln
(1－x)－ln
(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln
＝ln
，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．
6．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为(　　)
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，9)
D．(－∞，－1)∪(9，＋∞)
答案　D
解析　当x0≤0时，由x>1得x0<－1；当x0>0时，由lg
(x0＋1)>1得x0>9.综上，x0<－1或x0>9.
7．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为(　　)
A．2
B．
C．3
D．
答案　B
解析　因为ax≥1＝a0的解集为{x|x≤0}，所以08．函数y＝ax2＋bx与y＝
(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是(　　)
答案　C
解析　若||>1，则函数y＝的图像为选项A，B中所示过点(1,0)的曲线，且||>，故函数y＝ax2＋bx的图像的对称轴x＝－应在区间或内，A，B都不正确；若0<||<1，则函数y＝logx的图像为选项C，D中所示过点(1,0)的曲线，且0<||<，故函数y＝ax2＋bx的图像的对称轴x＝－应在区间或内，D不正确，C正确．
二、多项选择题
9．下列函数中值域为R的是(　　)
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝lg
(x2－2)
C．f(x)＝
D．f(x)＝ln
(x2＋1)
答案　AB
解析　A，B中函数的值域为R，C中当0≤x≤2时，f(x)∈[0,4]，当x>2时，f(x)∈(4，＋∞)，故f(x)的值域为[0，＋∞)，D中f(x)的定义域为R，x2＋1≥1，ln
(x2＋1)≥0，故f(x)的值域为[0，＋∞)．故选AB.
10．若a>b>0,0A．logcaB．ca>cb
C．ac>bc
D．logc(a＋b)>0
答案　AC
解析　∵0b>0，得logcab>0，得cab>0，∴>1.又01，∴ac>bc，故C正确；取c＝，a＋b＝2，则logc(a＋b)＝log2＝－1<0，故D错误，故选AC.
11．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则下列各集合是?R(M∩N)的子集的是(　　)
A．[1,2)
B．[2，＋∞)
C.
D．(－∞，3)
答案　BC
解析　由题意可得M＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，N＝{x|2－x>0}＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}＝[1,2)，∴?R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞)．故选BC.
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，则(　　)
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图像关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
答案　AB
解析　∵f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，∴f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，由x＋1>0且1－x>0，得－11时，函数f(x)＋g(x)在(－1,0)上单调递增，在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错误；∵f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，当01时，f(x)＝loga(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝loga(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错误．故选AB.
三、填空题
13．函数f(x)＝log2·的最小值为________．
答案　－
解析　显然x>0，∴f(x)＝log2·＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－，当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.
14．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案　{a|2＜a≤3}
解析　∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴a的取值需满足
解得2＜a≤3.
15．若函数则f(－8)＝________；若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
答案　－3　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　当x＝－8时，f(x)＝8＝－3.若a>0，则由f(a)>f(－a)得log2a>a，即2log2a>0，得a>1；若a<0，则由f(a)>f(－a)得(－a)>log2(－a)，即2log2(－a)<0，得－11或－116．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2020)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝________.
答案　16
解析　∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2020)2
＝2loga(x1x2x3…x2020)
＝2f(x1x2x3…x2020)，
∴原式＝2×8＝16.
四、解答题
17．求y＝－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解　因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥≥－2.
设t＝，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
18．已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)＞f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
解　(1)∵g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图像过点(9,2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
又函数y＝f(x)的图像与g(x)＝log3x的图像关于x轴对称，∴f(x)＝
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，即(3x－1)>
(－x＋5)，则
解得＜x＜，
∴x的取值范围为.
19．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此
即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)在区间上单调递增，
又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415]．
20．设a>0，且a≠1，函数y＝有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
解　设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值2，无最大值．
所以lg
(x2－2x＋3)的最小值为lg
2，无最大值．
又因为y＝有最大值，所以0由f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为.
设u(x)＝3－2x，x∈，
则f(x)＝logau(x)．
因为u(x)＝3－2x在上是减函数，
所以f(x)＝logau(x)在上是增函数．
所以f(x)＝loga(3－2x)的单调增区间为.