人教B版（2019）高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系同步习题（Word含答案解析）

4.3　指数函数与对数函数的关系
知识点一　反函数的概念
1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为(　　)
A．y＝2ln
x(x>0)
B．y＝ln
(2x)(x>0)
C．y＝ln
x(x>0)
D．y＝ln
(2x)(x>0)
2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是(　　)
A．y＝3－3x(x≥0)
B．y＝3＋3x(x≤1)
C．y＝3＋3x(x≥0)
D．y＝3－3x(x≤1)
3．函数f(x)＝x2＋1(x>2)的反函数是(　　)
A．y＝(1≤x<3)
B．y＝(x>3)
C．y＝－(1≤x<3)
D．y＝－(x>3)
4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋，则(　　)
A．a＝－6，b＝
B．a＝1，b＝
C．a＝6，b＝－
D．a＝，b＝－
5．已知函数f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个．
6．若函数f(x)＝的反函数是其本身，则实数a＝________.
7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg
(x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________．
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．
(1)当a＝－时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；
(2)当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f－1(x)．
知识点二　反函数的图像与性质
9．函数y＝log2的反函数的定义域为(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
10．已知x>0，f(x)＝log3x2的值域是[－1,1]，则它的反函数f－1(x)的值域是(　　)
A．[－1,1]
B．(0，＋∞)
C.∪
D.
11．如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是(　　)
12．已知函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x)，则函数y＝f(－x)与y＝－f－1(x)的图像(　　)
A．关于y轴对称
B．关于原点对称
C．关于直线x＋y＝0对称
D．关于直线x－y＝0对称
13．给出下列命题：
(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；
(2)函数f(x)在区间[a，b]上存在反函数的充要条件是f(x)在区间[a，b]上是单调函数；
(3)函数f(x)在定义域D上的反函数为f－1(x)，则对于任意的x0∈D都有f(f－1(x0))＝f－1(f(x0))＝x0成立．
其中正确的命题为(　　)
A．(1)
B．(1)(2)
C．(1)(3)
D．(1)(2)(3)
14．已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋ax的图像上，则f(x)的反函数f－1(x)＝________.
15．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝________.
16．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点________．
17．已知f(x)＝，其反函数为f－1(x)，若f－1(x)－a＝f(x＋a)有实数根，则a的取值范围为________．
知识点三　指数函数与对数函数的综合应用
18．设a，b，c均为正数，且2a＝，b＝，c＝log2c，则(　　)
A．aB．cC．cD．b19．(多选)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图像在y轴的一侧
B．函数f(x)为奇函数
C．函数f(x)为定义域上的增函数
D．函数f(x)在定义域内有最大值
20．已知函数f(x)＝log2(1－2x)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
易错点一　对反函数的定义理解不清而致误
已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．
易错点二　不能将问题合理转化致误
设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.
一、单项选择题
1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是(　　)
A．y＝1＋log2x(x>0)
B．y＝log2(x－1)(x>1)
C．y＝－1＋log2x(x>0)
D．y＝log2(x＋1)(x>－1)
2．把函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是(　　)
A．y＝－ax
B．y＝a－x
C．y＝loga(－x)
D．y＝－logax
3．已知f(x)＝－的反函数为f－1(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)
A．(－2,0)
B．[－2,2]
C．[－2,0]
D．[0,2]
4．当0A．有且只有一个
B．可能无解
C．可能有3个
D．一定有3个
5．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则a的值为(　　)
A．2
B．
C．2或
D．3
6．函数y＝(x≠0)的反函数的图像大致是(　　)
7．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤的解集是(　　)
A.
B.
C．[－2,0)∪
D．[－1,0]∪
8．已知函数f(x)＝3x，函数g(x)是f(x)的反函数，若正数x1，x2，…，x2020满足x1x2…x2020＝81，则g(x)＋g(x)＋…＋g(x)的值等于(　　)
A．4
B．8
C．16
D．64
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是(　　)
A．一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定存在反函数
B．若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数
C．若函数y＝f(x)的图像位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图像位于第一、四象限
D．若函数f(x)存在反函数f－1(x)，则f－1(x)与f(x)图像的公共点必在直线y＝x上
10.在同一直角坐标系下，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的大致图像如图所示，则实数a的可能值为(　　)
A.
B．
C.
D．
11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有(　　)
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(2,2)
D．(2,0.5)
12．下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝ax与y＝x图像关于y轴对称
B．函数y＝logax与y＝图像关于x轴对称
C．函数y＝ax与y＝logax图像关于直线y＝x对称
D．函数y＝ax与y＝logax图像关于y轴对称
三、填空题
13．函数f(x)＝－x2(x∈(－∞，－2])的反函数f－1(x)＝________.
14．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________．
15．已知函数f(x)与函数g(x)＝的图像关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调增区间是________．
16．已知函数f(x)＝loga(a>0，b≠0)，则f(x)的值域为____________，f(x)的反函数f－1(x)的解析式为________________．
四、解答题
17．若不等式4x－logax＜0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知f(x)＝，求f－1的值．
19．已知y＝f(x)是R上的增函数，点A(－1,1)，B(1,3)在它的图像上，y＝f－1(x)是它的反函数，解不等式|f－1(log2x)|<1.
20．已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0.
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2.
4.3　指数函数与对数函数的关系
知识点一　反函数的概念
1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为(　　)
A．y＝2ln
x(x>0)
B．y＝ln
(2x)(x>0)
C．y＝ln
x(x>0)
D．y＝ln
(2x)(x>0)
答案　C
解析　y＝e2x>0,2x＝ln
y，x＝ln
y，∴y＝e2x的反函数为y＝ln
x，x>0.
2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是(　　)
A．y＝3－3x(x≥0)
B．y＝3＋3x(x≤1)
C．y＝3＋3x(x≥0)
D．y＝3－3x(x≤1)
答案　D
解析　∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.
∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.
3．函数f(x)＝x2＋1(x>2)的反函数是(　　)
A．y＝(1≤x<3)
B．y＝(x>3)
C．y＝－(1≤x<3)
D．y＝－(x>3)
答案　B
解析　令y＝x2＋1.∵x>2，∴y＝x2＋1>3.对调函数中的x和y得x＝y2＋1，解得y＝.∴所求反函数为y＝(x>3)．
4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋，则(　　)
A．a＝－6，b＝
B．a＝1，b＝
C．a＝6，b＝－
D．a＝，b＝－
答案　B
解析　∵函数y＝3x－2a，∴x＝，互换x，y，得函数y＝3x－2a的反函数是y＝x＋a，x∈R.∵函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋，∴解得a＝1，b＝.故选B.
5．已知函数f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个．
答案　8
解析　当x2＝1时，x＝±1；当x2＝4时，x＝±2；当x2＝9时，x＝±3.若函数f(x)存在反函数，则一个y只能对应一个x，列举如下：
故这样的f(x)共有8个．
6．若函数f(x)＝的反函数是其本身，则实数a＝________.
答案　－2
解析　函数y＝f(x)＝的反函数为x＝，即y＝，因为函数f(x)＝的反函数是其本身，所以＝，所以a＝－2.
7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg
(x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________．
答案　g－1(x)＝3－10x(0≤x≤lg
2)
解析　当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，∴f(x)＝f(－x)＝lg
(－x＋1)；当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，∴f(x)＝f(x－2)＝lg
[－(x－2)＋1]＝lg
(－x＋3)．∴g(x)＝lg
(－x＋3)(1≤x≤2)，∴－x＋3＝10g(x)，∴x＝3－10g(x)．故反函数为g－1(x)＝3－10x(0≤x≤lg
2)．
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．
(1)当a＝－时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；
(2)当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f－1(x)．
解　(1)当a＝－时，f(x)＝x2＋x＋2＝2＋，x∈[－1，1]，显然函数不单调，所以此时没有反函数．
(2)函数存在反函数时必须在[－1,1]上单调，而f(x)＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]，对称轴x＝a，所以a≥1或a≤－1.当a≥1时，f－1(x)＝a－，x∈[3－2a,3＋2a]；当a≤－1时，f－1(x)＝a＋，x∈[3＋2a,3－2a]．
知识点二　反函数的图像与性质
9．函数y＝log2的反函数的定义域为(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案　A
解析　反函数的定义域即为原函数的值域．由>0可得log2∈R，所以原函数的值域为R，故它的反函数的定义域为R.故选A.
10．已知x>0，f(x)＝log3x2的值域是[－1,1]，则它的反函数f－1(x)的值域是(　　)
A．[－1,1]
B．(0，＋∞)
C.∪
D.
答案　D
解析　∵f(x)＝log3x2的值域是[－1,1]，∴－1≤log3x2≤1，即≤x2≤3，而x>0，∴x∈.∵反函数的值域为原函数的定义域，∴反函数f－1(x)的值域是.
11．如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是(　　)
答案　C
解析　由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图像为C.
12．已知函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x)，则函数y＝f(－x)与y＝－f－1(x)的图像(　　)
A．关于y轴对称
B．关于原点对称
C．关于直线x＋y＝0对称
D．关于直线x－y＝0对称
答案　D
解析　函数y＝f(－x)与y＝－f－1(x)互为反函数，图像关于直线x－y＝0对称．故选D.
13．给出下列命题：
(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；
(2)函数f(x)在区间[a，b]上存在反函数的充要条件是f(x)在区间[a，b]上是单调函数；
(3)函数f(x)在定义域D上的反函数为f－1(x)，则对于任意的x0∈D都有f(f－1(x0))＝f－1(f(x0))＝x0成立．
其中正确的命题为(　　)
A．(1)
B．(1)(2)
C．(1)(3)
D．(1)(2)(3)
答案　A
解析　(1)设奇函数f(x)的反函数为f－1(x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的值域关于原点对称，即f－1(x)的定义域关于原点对称．假设f(x)＝y，则f(－x)＝－y.∴f－1(y)＝x，f－1(－y)＝－x.∴f－1(－y)＝－f－1(y)，即f－1(－x)＝－f－1(x)．∴f－1(x)是奇函数．故(1)正确；
(2)函数f(x)在区间[a，b]上存在反函数，不一定f(x)在区间[a，b]上是单调函数，
比如f(x)＝存在反函数，但f(x)在R上不单调，故(2)不正确；
(3)x0不一定属于f(x)的值域，即f－1(x0)不一定存在，故(3)不正确．故选A.
14．已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋ax的图像上，则f(x)的反函数f－1(x)＝________.
答案　log2(x－1)(x>1)
解析　∵(3,9)在函数f(x)上，∴1＋a3＝9，解得a＝2，∴f(x)＝1＋2x，又f(x)>1，∴f－1(x)＝log2(x－1)(x>1)．
15．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝________.
答案　2
解析　由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，且f(4)＝1，得g(1)＝4，所以a2＝4，a＝2.
16．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点________．
答案　(1,4)
解析　∵y＝f(x)的图像过点(0,1)，∴f(4－x)的图像过点(4,1)，∴g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点(1,4)．
17．已知f(x)＝，其反函数为f－1(x)，若f－1(x)－a＝f(x＋a)有实数根，则a的取值范围为________．
答案　
解析　因为y＝f－1(x)－a与y＝f(x＋a)互为反函数，所以二者关于y＝x对称．若y＝f－1(x)－a与y＝f(x＋a)有实数根，则y＝f(x＋a)与y＝x有交点，所以＝x，即a＝x2－x＋1＝2＋≥.
知识点三　指数函数与对数函数的综合应用
18．设a，b，c均为正数，且2a＝，b＝，c＝log2c，则(　　)
A．aB．cC．cD．b答案　A
解析　在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝x，y＝log2x，y＝的图像，如图所示，则a，b，c分别为两个图像交点的横坐标，根据图像可知a19．(多选)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图像在y轴的一侧
B．函数f(x)为奇函数
C．函数f(x)为定义域上的增函数
D．函数f(x)在定义域内有最大值
答案　AC
解析　∵函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)，当a>1时，由ax－1>0，可得x>0，此时，函数的图像仅在y轴的右侧；当00，可得x<0，此时，函数的图像仅在y轴的左侧，故A正确．由于f(－x)＝loga(a－x－1)＝loga≠－f(x)，故函数不是奇函数，故B不正确．由于函数y＝logat和函数t＝ax的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，根据复合函数的单调性可得f(x)＝loga(ax－1)在它的定义域内一定是增函数，故C正确．由于t＝ax－1无最值，故y＝logat无最值，故D不正确．故选AC.
20．已知函数f(x)＝log2(1－2x)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
解　(1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，
则1－2x>0，即2x<1.
故x<0，此时0<1－2x<1，
∴f(x)＝log2(1－2x)<0，
故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．
(2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为f－1(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称．
易错点一　对反函数的定义理解不清而致误
已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．
易错分析　本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．
答案　(0,2021)
正解　∵g(x)的图像过定点(1,2020)，
∴f(x＋1)的图像过定点(2020,1)．
又f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2021,1)．
又f(x)与f－1(x)互为反函数，
∴f－1(x)的图像过定点(1,2021)．
再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，
f－1(x＋1)的图像过定点(0,2021)．
易错点二　不能将问题合理转化致误
设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.
易错分析　本题的易错之处为不能正确将问题转化为函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x三个图像之间的关系进行求解．
答案　4
正解　如图，分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x的图像，相交于点P，Q.∵log2α＝4－α，2β＝4－β.而y＝log2x(x>0)与y＝2x互为反函数，直线y＝4－x与直线y＝x互相垂直，∴点P与Q关于直线y＝x对称．
∴α＝2β＝4－β.∴α＋β＝4.
一、单项选择题
1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是(　　)
A．y＝1＋log2x(x>0)
B．y＝log2(x－1)(x>1)
C．y＝－1＋log2x(x>0)
D．y＝log2(x＋1)(x>－1)
答案　C
解析　由y＝2x＋1?x＋1＝log2y?x＝－1＋log2y，又因原函数的值域{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋log2x(x>0)．
2．把函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是(　　)
A．y＝－ax
B．y＝a－x
C．y＝loga(－x)
D．y＝－logax
答案　B
解析　函数的图像绕坐标原点逆时针旋转90°后，得到的函数与原函数的反函数的图像关于y轴对称．函数y＝logax(a>0且a≠1)的反函数为y＝ax，其关于y轴对称的函数解析式为y＝a－x.故选B.
3．已知f(x)＝－的反函数为f－1(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)
A．(－2,0)
B．[－2,2]
C．[－2,0]
D．[0,2]
答案　D
解析　∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域．∴解得即0≤x≤2.故f(x)的定义域为[0,2]．故选D.
4．当0A．有且只有一个
B．可能无解
C．可能有3个
D．一定有3个
答案　C
解析　考虑函数y＝logax与函数y＝ax的图像公共点，易知B，D两项不对．又y＝和y＝x的图像除了在直线y＝x上存在一个公共点外，还存在和两个公共点．故选C.
5．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则a的值为(　　)
A．2
B．
C．2或
D．3
答案　B
解析　解法一：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数即y＝logax，故y＝logax的图像过点(，a)，则a＝loga＝.
解法二：由题意得，函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像过点(a，)，即aa＝＝，故a＝.
6．函数y＝(x≠0)的反函数的图像大致是(　　)
答案　B
解析　y＝(x≠0)的反函数为y＝(x≠－1)，其图像为y＝的图像向左平移1个单位长度．
7．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤的解集是(　　)
A.
B.
C．[－2,0)∪
D．[－1,0]∪
答案　C
解析　由题意，可得－1≤f－1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域．当－1≤x＜0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈.故不等式－1≤f－1(x)≤的解集为[－2,0)∪.
8．已知函数f(x)＝3x，函数g(x)是f(x)的反函数，若正数x1，x2，…，x2020满足x1x2…x2020＝81，则g(x)＋g(x)＋…＋g(x)的值等于(　　)
A．4
B．8
C．16
D．64
答案　B
解析　由函数f(x)＝3x，函数g(x)是f(x)的反函数，则g(x)＝log3x，所以g(x)＋g(x)＋…＋g(x)＝log3(x1x2…x2020)2＝2log3(x1x2…x2020)＝2log381＝8.故选B.
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是(　　)
A．一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定存在反函数
B．若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数
C．若函数y＝f(x)的图像位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图像位于第一、四象限
D．若函数f(x)存在反函数f－1(x)，则f－1(x)与f(x)图像的公共点必在直线y＝x上
答案　AC
解析　对于A，一次函数y＝kx＋b(k≠0)为单调函数，一定存在反函数，故正确；对于B，因为函数f(x)＝在定义域上不单调，但函数f(x)存在反函数，故错误；对于C，因为原函数与它的反函数的图像关于y＝x对称，所以将y＝f(x)的图像沿y＝x翻折后，会落在第一、四象限，故正确；对于D，比如函数y＝－与其反函数y＝x2－1(x≤0)的交点坐标有(－1,0)，(0，－1)，显然交点不在直线y＝x上，故错误．故选AC.
10.在同一直角坐标系下，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的大致图像如图所示，则实数a的可能值为(　　)
A.
B．
C.
D．
答案　BC
解析　由图像可知a>1且a22＝>2，故A错误；2＝<2＝<2，故B正确；2＝<2＝<2，故C正确；2＝>2＝>2，故D错误．综上，选BC.
11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有(　　)
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(2,2)
D．(2,0.5)
答案　CD
解析　当x＝1时，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)恒过(1,0)点，故(1,2)一定不是好点；当y＝1时，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)恒过(0,1)点，故(2,1)也一定不是好点；而(2,2)是函数y＝()x与的交点；(2,0.5)是函数y＝x与y＝log4x的交点；故选CD.
12．下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝ax与y＝x图像关于y轴对称
B．函数y＝logax与y＝图像关于x轴对称
C．函数y＝ax与y＝logax图像关于直线y＝x对称
D．函数y＝ax与y＝logax图像关于y轴对称
答案　ABC
解析　令a＝2，分别作出对应的图像，由图像可知，对于A，∵函数y＝ax与y＝x图像关于y轴对称，故A正确；对于B，∵函数y＝logax与y＝图像关于x轴对称，故B正确；对于C，D，∵函数y＝ax与y＝logax图像关于直线y＝x对称，故C正确，D不正确．故选ABC.
三、填空题
13．函数f(x)＝－x2(x∈(－∞，－2])的反函数f－1(x)＝________.
答案　－，x∈(－∞，－4]
解析　由y＝－x2，x∈(－∞，－2]，得y∈(－∞，－4]，
∴x＝－，即f－1(x)＝－，x∈(－∞，－4]．
14．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________．
答案　f(x)＝2x＋1
解析　∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，
∴f(x)的图像过点(0,2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.
又f(x)的图像过点(1,3)，
∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
15．已知函数f(x)与函数g(x)＝的图像关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调增区间是________．
答案　(－∞，－1]
解析　由题意得f(x)＝x，∴f(x2＋2x)＝，∵f(x)在R上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t＝x2＋2x的单调减区间，即(－∞，－1]．
16．已知函数f(x)＝loga(a>0，b≠0)，则f(x)的值域为____________，f(x)的反函数f－1(x)的解析式为________________．
答案　(－∞，0)∪(0，＋∞)　f－1(x)＝b·
解析　∵b≠0，∴≠1，∴f(x)＝loga≠0.由y＝loga，化为＝ay，解得x＝b·.把x与y互换可得y＝b·，∴f(x)的反函数f－1(x)＝b·.
四、解答题
17．若不等式4x－logax＜0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
解　要使不等式4x＜logax在x∈时恒成立，即函数y＝logax的图像在内恒在函数y＝4x图像的上方，而y＝4x的图像过点.
由图可知，loga≥2，显然这里0＜a＜1，
∴函数y＝logax递减．
又loga≥2＝logaa2，∴a2≥，
又0∴所求的a的取值范围为.
18．已知f(x)＝，求f－1的值．
解　令y＝，∴y＋y·3x＝1－3x，∴3x＝，
∴x＝log3，∴f－1(x)＝log3.
∴f－1＝log3＝log3＝－2.
19．已知y＝f(x)是R上的增函数，点A(－1,1)，B(1,3)在它的图像上，y＝f－1(x)是它的反函数，解不等式|f－1(log2x)|<1.
解　∵y＝f(x)是R上的增函数，
∴y＝f－1(x)在R上也是增函数．
∵f(－1)＝1，f(1)＝3，∴f－1(1)＝－1，f－1(3)＝1.
由|f－1(log2x)|<1，得－1∴f－1(1)20．已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0.
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2.
解　(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x∈R)．
因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝y＝＝1－，
所以2x＝(－1＜y＜1)，
所以f－1(x)＝log2(－1＜x＜1)．
(3)因为f－1(x)＞log2，
即log2＞log2，所以
所以
当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1－k＜x＜1}；
当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．