人教版A版（2019高中数学）选择性必修第3册5.1.1数列的概念 课时练习（Word含解析）

5.1.1　数列的概念
1.若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是(　　)
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
2.(2020江西高一月考)数列,-,-,…的一个通项公式为(　　)
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n
C.an=(-1)n+1
D.an=(-1)n+1
3.(多选)(2020尤溪第五中学高一月考)已知数列{an}的通项公式为an=9-2n,则下列各数中是{an}的项的是
(　　)
A.7
B.0
C.3
D.5
4.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,则它的第5项为(　　)
A.
B.-
C.
D.-
5.(2020甘南藏族自治州合作第一中学高二月考)已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3=(　　)
A.70
B.28
C.20
D.8
6.(2020上海高二课时练习)若数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),则这个数列中的最大项是第　　　项.?
7.图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an=　　　　.?
8.根据数列{an}的前几项,写出下列各数列{an}的一个通项公式:
(1),…;
(2)1,3,6,10,15,…;
(3)7,77,777,….
能力提升
1.(2020上海高二课时练习)下列四个命题:
①任何数列都有通项公式;
②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列;
③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式;
④数列{an}的通项公式an是项数n的函数.
其中正确的有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.已知数列{an}的通项公式an=log(n+1)(n+2)(n∈N+),则它的前30项之积为(　　)
A.
B.5
C.6
D.
3.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,2]
B.(-∞,3)
C.(-∞,2)
D.(-∞,3]
4.(2020江西高三月考)已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是(　　)
A.a1,a30
B.a1,a9
C.a10,a9
D.a12,a11
5.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为　　　　.?
6.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有　　　　个点.?
7.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+).
(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?
8.已知数列{an}中,an=2n+,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,则实数k的取值范围为(　　)
A.[12,24]
B.(12,24]
C.[3,12]
D.(3,12]
解析
1.若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是(　　)
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
解析∵an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列.
答案A
2.(2020江西高一月考)数列,-,-,…的一个通项公式为(　　)
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n
C.an=(-1)n+1
D.an=(-1)n+1
解析根据分子、分母还有正负号的变化,可知an=(-1)n+1·.
答案D
3.(多选)(2020尤溪第五中学高一月考)已知数列{an}的通项公式为an=9-2n,则下列各数中是{an}的项的是
(　　)
A.7
B.0
C.3
D.5
解析对于A,7=9-2n,解得n=1,A满足;对于B,0=9-2n,解得n=,B不满足;对于C,3=9-2n,解得n=3,C满足;对于D,5=9-2n,解得n=2,D满足.故选ACD.
答案ACD
4.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,则它的第5项为(　　)
A.
B.-
C.
D.-
解析由题意知,数列的通项公式为an=(-1)n·.当n=5时,该项为(-1)5·=-.
答案D
5.(2020甘南藏族自治州合作第一中学高二月考)已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3=(　　)
A.70
B.28
C.20
D.8
解析因为an=
所以a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,
所以a2·a3=20.
故选C.
答案C
6.(2020上海高二课时练习)若数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),则这个数列中的最大项是第　　　项.?
解析由题意知,an=,
因为n+≥2=28,
当且仅当n=14时,n+有最小值28,
所以当n=14时,取得最大值.
答案14
7.图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an=　　　　.?
解析因为OA1=1,OA2=,OA3=,…,
OAn=,…,
所以a1=1,a2=,a3=,…,an=,….
答案
8.根据数列{an}的前几项,写出下列各数列{an}的一个通项公式:
(1),…;
(2)1,3,6,10,15,…;
(3)7,77,777,….
解(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为,…,可以看出它们的分母依次相差3,因而有an=.
(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,再把各项的分子和分母都乘以2,即,…,因而有an=.
(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有an=(10n-1).
能力提升
1.(2020上海高二课时练习)下列四个命题:
①任何数列都有通项公式;
②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列;
③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式;
④数列{an}的通项公式an是项数n的函数.
其中正确的有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析根据数列的表示方法可知,不是任何数列都有通项公式,例如,π的近似值构成的数列3,3.1,3.14,3.141,…,就没有通项公式,所以①错误;根据数列的表示方法可知,②正确;给出了数列的有限项,数列的通项公式形式不一定唯一,比如,1,-1,1,-1,…,其通项公式既可以写成an=(-1)n+1,也可以写成an=(-1)n-1,③错误;根据数列通项公式的概念可知,④正确.故选B.
答案B
2.已知数列{an}的通项公式an=log(n+1)(n+2)(n∈N+),则它的前30项之积为(　　)
A.
B.5
C.6
D.
解析a1×a2×a3×…×a30=log23×log34×log45×…×log3132=×…×=log232=log225=5.
答案B
3.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,2]
B.(-∞,3)
C.(-∞,2)
D.(-∞,3]
解析an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又{an}单调递增,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,得k<2n+1恒成立,又n∈N+,故只需k<3即可.
答案B
4.(2020江西高三月考)已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是(　　)
A.a1,a30
B.a1,a9
C.a10,a9
D.a12,a11
解析∵an==1+,
∴当n<时,an<1,且单调递减,
当n>时,an>1,且单调递减,
∵11<<12,且n∈N+,
∴这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是a12,a11.
故选D.
答案D
5.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为　　　　.?
解析由an=19-2n>0,得n<.
∵n∈N+,∴n≤9.
答案9
6.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有　　　　个点.?
解析观察图形可知,第n个图有n个分支,每个分支上有n-1个点(不含中心点),再加上中心1个点,则有n(n-1)+1=n2-n+1个点.
答案n2-n+1
7.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+).
(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?
解(1)令an=0,得n2-21n=0,
∴n=21或n=0(舍去),
∴0是数列{an}中的第21项.
令an=1,得=1,
而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.
(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,
即.
解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.
8.已知数列{an}中,an=2n+,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,则实数k的取值范围为(　　)
A.[12,24]
B.(12,24]
C.[3,12]
D.(3,12]
解析由题可知,an=2n+,对任意n∈N+,都有an≥a3成立,
当k≤0时,可知数列{an}单调递增,不符合题意;
当k>0时,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,
则
即
解得∴12≤k≤24.
此时,数列在(1,2)上递减,(3,+∞)上递增,或在(1,3)上递减,(4,+∞)上递增,故符合题意,所以实数k的取值范围为[12,24].
答案A
9