吉林省吉林市2012届高三下学期第二次模拟（期中）考试（数学理）

吉林省吉林市2012届高三下学期第二次模拟考试（数学理）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟.
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上.
2、答案请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3、请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式
，
其中为样本的平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中S为底面面积，h为高 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数在复平面上对应的点的坐标是北京四中网校
A． B． C． D．
2．已知全集则
A． B．
C． D．
3．下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是
A． B．
C． D．
4．在等差数列中，，则数列的前11项和等于
A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如右图所示，则其侧面积为
A．
B．
C．
D．
6．若展开式的各项系数和为, 则展开式中常数项是
A． B． C． D．
7．设则 是“”成立的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
8．已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点，若,则=
A． B． C． D．
9．执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的为
A．5 B．6 C．7 D．8
10．若函数在一个周期内的图像如图所示，分别是这段图像的最高点和最低点，且,则
A． B．
C． D．
11．已知四面体的外接球的球心在上，且平面，,若四面体的体积为，则该球的体积为
A． B． C． D．
12．设满足约束条件若目标函数的最
大值是12，则的最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分.
13．已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则其前8项之和等于 .
14．如图，圆内的余弦函数的图像与
轴围成的区域记为(图中阴影部分)，随机向圆内投一个点
，则点落在区域内的概率是 .
15．已知双曲线的左右焦点是，设是双曲线右支上
一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则双曲线
的离心率是 .
16．设集合，函数
且， 则的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在ABC中，所对边分别为，且满足
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
18.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面是正方形，面，且,点分别在上，
（Ⅰ） 求证：面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19. （本小题满分12分）
户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男性 5
女性 10
合计 50
已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是.
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由；
（Ⅲ）经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜
伽.若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记表示抽到喜欢瑜伽
的人数，求的分布列和数学期望.
下面的临界值表仅供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（）
20.（本小题满分12分）
已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切.
(Ⅰ) 求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点为圆上一动点,轴于,若动点满足,(其中为非零常数),试求动点的轨迹方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时, 得到曲线，与垂直的直线与曲线交于、两点,求面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题计分. 答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图内接于圆，，直线切圆于点，∥相交于点．
(1)求证：;
(2)若．
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中，直线l的参数方程为：在以O为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为：
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线与圆C的位置关系.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是,求的取值范围.
吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C D A D C B B C D B
二、填空题：每小题5分
13. 17 14. 15. 16.
三、解答题 ： 17. 解：（I） 1分
又即 3分
又 或
由余弦定理得 6分
（II）== 8分
= 10分 原式= 12分
18. （Ⅰ）证法1：面，.
面 面,. 1分
是的中点，且， ,面.
而面，. 3分
点是的三等分点.
4分
6分
又且,面. 7分
证法2：，四棱锥的底面是正方形，面，故可以建立如图所示的空间直角坐标系. 又，，，
，.
,,3分
设求得. 5分
,.
又且, 面.7分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
是平面的法向量， 10分
二面角的余弦值. 12分
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男性 20 5 25
女性 10 15 25
合计 30 20 50
19. (Ⅰ) 在全部50人中随机抽取1人的概率是，喜欢户外活动的男女员工共30，其中，男员工20人，列联表补充如下
3分
（Ⅱ）有的把握认为喜欢户外运动与性别有关.7分
（Ⅲ）所有可能取值为9分
0 1 2 3
的分布列为
.12分
20. 解: (Ⅰ)设圆的半径为,圆心到直线距离为，则 2分
圆的方程为 3分
（Ⅱ）设动点,,轴于,
由题意,，所以 5分
即: ，将代入,得7分
（Ⅲ）时,曲线方程为，设直线的方程为8分
设直线与椭圆交点
联立方程得 9分
因为，解得，且……10分
点到直线的距离 .（当且仅当即时取到最大值）面积的最大值为. 12分
21. 解：(Ⅰ)函数的定义域为. 当时，2分
当时，当时， 无极大值. 4分
（Ⅱ） 5分
当，即时， 在定义域上是减函数；
当，即时，令得或
令得当，即时，令得或
令得 综上，当时，在上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递增；8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值， 是最小值.
， 10分
而经整理得，由得，所以12分
22.(1)证明：∥,.
又为圆的切线 ,则.
, .
又 5分
(2) ，≌,
设，易证，
又，所以 10分
23.解：(1)将直线的参数方程经消参可得直线的普通方程为： 3分
由得，
即圆直角坐标方程为.6分
(2)由(1)知，圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离故直线与圆相交.10分
24.解：(1)由题意，令……2分
解得或，函数的定义域为5分
(2) ,，即.
由题意,不等式的解集是， 则在上恒成立.7分
而，故.10分
x
y
z
20090515
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