711835-4495806.3平面向量基本定理及坐标表示
6.3平面向量基本定理及坐标表示
-6096012700学习目标
学习目标
1、了解平面基本定理的应用
2、掌握平面向量坐标运算
-53975282575探索新知
探索新知
3、理解向量共线、垂直的坐标表示的应用
一、平面向量基本定理
平面向量基本定理 如果false,false是同一平面内的两个不共线向量,对于这一平面内的任一向量false,有且只有一对实数false使,false=false.
若false,false不共线,我们把(false,false)叫做表示这一平面内使用向量的出一个基底.
二、平面向量的正交分解及坐标表示
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量的作正交分解.如图6.3-7,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解就是向量分解中常见而实用的一种情形.
三、平面向量加、减运算的坐标表示
两个向量的和false的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和false.
如图6.3-12,作向量false,false,则
false=false-false
=false
=false.
因此,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
四、平面向量数乘运算的坐标表示
已知false,即false
这就是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
五、平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)若false=false,则false=false+false,或false=false.
如果表示向量false的有向线段的起点和终点的坐标分别为false,false,那么
false
false
平面向量垂直的坐标表示
-103505384810概念辨析
概念辨析
设false=false,false=false,则false
5778577470思考1
思考1
1.在 △ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知 2a?b=2c?cosB .
(1)求角 C ;
(2)若 a=2 , D 在边 AB 上,且 AD=2DB , CD=3 ,求 b .
【答案】 (1)解:因为 2a?b=2c?cosB ,
由正弦定理得: 2sinA?sinB=2sinC?cosB ,
因为 sinA=sin(B+C) 代入上式得,
2sinBcosC+2cosBsinC?sinB=2sinCcosB ,
即 2sinBcosC?sinB=0 ,
因为 sinB≠0 ,所以 cosC=12 ,
又因为 C 是三角形内角,所以 C=π3
(2)解:如图所示:
由题知 AD=2DB ,
即 CD?CA=2(CB?CD) , CD=13CA+23CB , CD2=(13CA+23CB)2 ,
即 b2+4b?11=0 ,解得 b=15?2
【考点】平面向量的基本定理及其意义,两角和与差的正弦公式,正弦定理
【解析】(1)利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度,再结合诱导公式结合两角和的正弦公式,进而求出角C的余弦值,再利用三角形中角C的取值范围,进而求出角C的值。
(2)利用已知条件结合共线定理和三角形法则,再利用平面向量基本定理结合数量积的运算法则,进而结合数量积的定义结合一元二次方程求根的方法,进而求出b的值。
15240132080思考2
思考2
2.在如图所示的多面体中, AB//CD ,四边形 ACFE 为矩形, AB=AE=1 , AD=CD=2 .
(1)求证:平面 ABE// 平面 CDF ;
(2)设平面 BEF∩ 平面 CDF=l ,再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择若干个作为已知,使二面角 B?l?C 的大小确定,并求此二面角的余弦值.
条件①: AB⊥AD ;条件②: AE⊥ 平面 ABCD ;条件③:平面 AED⊥ 平面 ABCD .
【答案】 (1)证明:因为四边形 ACFE 为矩形,所以 AE//CF ,
又 AE? 平面 CDF ; CF? 平面 CDF ;
所以 AE// 平面 CDF ;
又 AB//CD , AB? 平面 CDF ; CD? 平面 CDF ;
所以 AB// 平面 CDF ;
又 AB∩AE=A ,
所以平面 ABE// 平面 CDF ;
(2)解:选条件①: AB⊥AD ;条件②: AE⊥ 平面 ABCD ;
以A为原点,以AB,AD,AE分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系;
则 A(0,0,0),B(1,0,0),E(1,0,0),F(2,2,1),D(0,2,0),C(2,2,0) ,
所以 EB=(1,0?1),EF=(2,2?1) ,
设平面CDF的一个法向量为 n=(x,y,z) ,即 n=(0,1,0) ,
设平面EBF的一个法向量为 m=(x,y,z) ,
则 {EB?m=0EF?m=0 ,即 {x?z=02x+2y=0 ,
令 x=1 ,则 y=?1,z=1 ,则 m=(1,?1,1) ,
设二面角 B?l?C 为 θ ,
所以 cosθ=n?m|n|?|m|=?13=?33
选条件①: AB⊥AD ;条件③:平面 AED⊥ 平面 ABCD .
因为 AB⊥AD ,平面 AED⊥ 平面 ABCD .
所以 AB⊥ 平面 AED
因为 AB//CD ,
所以 CD⊥ 平面 AED ,
所以 CD⊥DE
因为 CD=2,EC=AE2+AC2=3 ,
所以 ED=EC2?CD2=5 ,即 AE2+AD2=ED2 ,
所以 AE⊥AD ,
因为平面 AED⊥ 平面 ABCD .
所以 AE⊥ 平面 ABCD ,
以A为原点,以AB,AD,AE分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系;
则 A(0,0,0),B(1,0,0),E(1,0,0),F(2,2,1),D(0,2,0),C(2,2,0) ,
所以 EB=(1,0?1),EF=(2,2?1) ,
设平面CDF的一个法向量为 n=(x,y,z) ,即 n=(0,1,0) ,
设平面EBF的一个法向量为 m=(x,y,z) ,
则 {EB?m=0EF?m=0 ,即 {x?z=02x+2y=0 ,
令 x=1 ,则 y=?1,z=1 ,则 m=(1,?1,1) ,
设二面角 B?l?C 为 θ ,
所以 cosθ=n?m|n|?|m|=?13=?33
【考点】平面向量数量积的运算,直线与平面平行的判定,直线与平面平行的性质
【解析】(1)根据题意首先由矩形的性质即可得出线线平行,再由线面平行以及面面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意 选条件①: AB⊥AD ;条件②: AE⊥ 平面 ABCD , 建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CDF法向量的坐标,再由数量积的坐标公式即可求出平面CDF的法向量的坐标,同理即可求出平面EBF的法向量;结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值,由此得到二面角 B?l?C 的余弦值。
选条件①: AB⊥AD ;条件③:平面 AED⊥ 平面 ABCD ,由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直,-58420871220思考3
思考3
再由勾股定理计算出边的大小,由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面CDF法向量的坐标,再由数量积的坐标公式即可求出平面CDF的法向量的坐标,同理即可求出平面AEBF的法向量;结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值,由此得到二面角 B?l?C 的余弦值即可。
?
3.? (1)已知平面向量 a 、 b ,其中 a=(5,?2) ,若 |b|=32 ,且 a//b ,求向量 b 的坐标表示;
(2)已知平面向量 a 、 b 满足 |a|=2 , |b|=1 , a 与 b 的夹角为 2π3 ,且( a + λ b ) ⊥ ( 2a ?b ),求 λ 的值.
【答案】 (1)解:设 b=(x,y) ,由 a//b ,可得 5y+2x=0 ,
由题意可得 {5y+2x=0x2+y2=32 ,解得 {x=10y=?22 或 {x=?10y=22 .
因此, b=(10,?22) 或 b=(?10,22) ;
(2)解: ∵ (a+λb)⊥(2a?b) , ∴(a+λb)?(2a?b)=0
化简得 2|a|2+(2λ?1)a?b?λ|b|2=0 ,
即 8+(2λ?1)×2×1×(?12)?λ=0 ,解得 λ=3
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示,平面向量数量积的运算
469901259840思考4
思考4
【解析】 (1)根据 a=(5,?2) , ?a//b? 即可设b=(x,y)?,然后根据 |b|=32? 即可求向量?b?的坐标 ;
(2)根据 (a+λb)⊥(2a?b)?, 即可得 (a→+λb→)?(2a→?b→)=0 , 然后进行数量积的运算即可求出λ的值.
4.如图,在菱形 ABCD 中, BE=12BC,CF=2FD .
(1)若 EF=xAB+yAD ,求 3x+2y 的值;
(2)若 |AB|=6,∠BAD=60° ,求 AC?EF .
【答案】 (1)解:因为 BE=12BC,CF=2FD ,
所以 EF=EC+CF=12BC?23DC=12AD?23AB ,
所以 x=?23,y=12 ,
故 3x+2y=3×(?23)+2×12=?1 .
(2)解:∵ AC=AB+AD ,
∴ AC?EF=(AB+AD)?(12AD?23AB)=12AD2?23AB2?16AB?AD
∵ ABCD 为菱形∴ |AD|=|AB|=6
∴ AC?EF=?16|AB|2?16|AB|2cos∠BAD .
=?16×36?16×36×12=?9 ,
即 AC?EF=?9 .
【考点】向量的线性运算性质及几何意义,平面向量数量积的运算
-546101306195
【解析】 (1)结合向量线性运算的几何意义,得出 EF=EC+CF=12BC?23DC=12AD?23AB?,即可求出x,y的值,问题可解;
(2)由 AC=AB+AD? ,结合已知求得|AD|=|AB|=6 , AC?EF=?16|AB|2?16|AB|2cos∠BAD?.然后结合数量积的定义求解即可.
1.已知 a , b 是不共线的向量, OA=λa+μb,OB=3a+2b , OC=2a+3b 若 A,B,C 三点共线,则实数 λ,μ 满足(??? )
A.?λ=μ?1???????????????????????????B.?λ=μ+5???????????????????????????C.?λ=5?μ???????????????????????????D.?λ=μ+1
2.在四边形 ABCD 中, AB=DC=(6,8) ,且 AB|AB|+AD|AD|=AC|AC| ,则 |BD|= (??? )
A.?5??????????????????????????????????????B.?10??????????????????????????????????????C.?102??????????????????????????????????????D.?103
3.已知点F是抛物线 E:y2=2px(p>0) 的焦点,O为坐标原点,A,B是抛物线E上的两点,满足 |FA|+|FB|=10,FA+FB+FO=0 则 p= (??? )
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.渭河某处南北两岸平行,如图所示.某艘游船从南岸码头 A 出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为 |v1|=10km/h ,东水流速度的大小为 |v2|=6km/h .设速度 v1 与速度 v2 的夹角为 120° ,北岸的点 A' 在码头 A 的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应(??? )
A.?在 A' 东侧????????????????????????B.?在 A' 西侧????????????????????????C.?恰好与 A' 重合????????????????????????D.?无法确定
参考答案
1.【答案】 C
【解析】
|a+b|=(a+b)2=a2+b2+2a?b=|a|2+|b|2+2|a||b|cosθ
=1+4+4cosθ=7 ,解得 cosθ=12 , θ=60? 。
2.【答案】 C
【解析】
由 A,B,C 点共线,得 OA=tOB+(1?t)OC=(t+2)a+(3?t)b ,
而 OA=λa+μb ,于是有 λa+μb=(t+2)a+(3?t)b ,
即 {λ=t+2μ=3?t , λ=5?μ 。
3.【答案】 D
【解析】
设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,可得 |FA|+|FB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=10 ①,
由 FA+FB+FO=0 ,知 FA+FB+FO=(x1+x2?3p2,y1+y2)=0 ,
所以 x1+x2=3p2 ,②
联立①②,可得 p=4 。
4.【答案】 A
【解析】
解:建立如图如示的坐标系,
由题意可得 v1=(?5,53),v2=(6,0) ,
所以 v1+v2=(1,53) ,
说明船有 x 轴正方向的速度,即向东的速度,
所以该游船航行到达北岸的位置应在 A' 东侧,