6.2平面向量的运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（含答案）

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6.2平面向量的运算
6.2平面向量的运算
76835150495学习目标
学习目标

1、了解平面向量的运算
2、掌握向量线性运算的综合应用
-53975282575探索新知
探索新知
3、理解平面向量的数量积求夹角与积求长度
一、向量的加法运算
1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2.向量加法的方法：向量加法的三角法则
已知非零向量false，false在平面内任取一点A，做false=false，false=false，则向量false叫做false与false的和，记作false，即false,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点
平行四边形法则
以同一O为起点的两个已知向量false，false，以false，false为邻边做falseOACB，则以O为起点的向量false，（OC是falseOACB的对角线）就是向量false与false的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量false，我们规定false+false=false+false=false
平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同
二、向量的减法运算
定义：向量false加上false的相反向量，叫做false与false的差，即false，求两个向量差
运算叫做向量的减法.
相反向量：我们规定，与向量false,长度相等，方向相反的向量，叫做false的相反向量，记作﹣false
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此false和﹣false互为相反量，于是-（-false）=false.
由两个向量和的定义易知false
即任意向量与其相反向量的和是零向量
几何意义：已知向量false，false，在平面内任取一点O，作false，false，则false
即false可以表示为从false的终点指向向量false的终点的向量
三、向量的数乘运算
向量数乘的定义
一般地，我们规定实数false与向量false的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作falsefalse，
它的长度与方向规定
如下；falsefalse
false当false>0时，falsefalse的方向与false的方向相同；当false<0时，falsefalse的方向与false的方向相反.
由false可知，当false=0时，falsefalse=0
由falsefalse可知，false
四、向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设false，false为实数，那么falsefalse
falsefalse
falsefalse
特别的，我们有
false
false
向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量false，false以任意实数false，false，false，恒有
false
五、向量的数量积
向量的夹角
已知两个非零向量false,false,O是平面上的任意一点，作false=false,false=false,则∠AOB=falsefalse叫做向量false与false的夹角.
显然，当false时，false与false同向；当false时，false与false反向.
如果false与false的夹角是false，我们说false与false垂直，记作falsefalsefalse
向量数量积的定义
已知两个非零向量false与false，他们的夹角为false，我们把数量falsefalse叫做向量false与false的数量积false，记作falsefalsefalse
即；falsefalsefalse=falsefalse
规定；零向量与任一向量的数量积为0.
向量的投影
设false,false是两个非零向量，false=false,false=false,我们考虑如下的变换，过false的起点A和和终点B，分别作false坐在直线的垂线，垂足分别为false,得到false,我们称上述变换为向量false向量false投影，false叫做向量false在向量false在向量false上的投影向量.
如图false，我们可以在平面内任意取一点false,作false=false,false=false.过点M作直线ON的垂线，垂足为M，则false就是向量false在向量false上的投影向量.
-292103724275概念辨析
概念辨析
80010-203200思考1
思考1
1.在边长为1的菱形 ABCD 中， ∠A=60° ， E 是线段 CD 上一点，满足 |CE|=2|DE| ，如图.设 AB=a,AD=b .
（1）用 a,b 表示 BE ；
（2）在线段 BC 上是否存在一点 F 满足 AF⊥BE? ？若存在，判定 F 点的位置，并求 |AF| ；若不存在，请说明理由
【答案】 （1）解：根据题意得: BC=AD=b ，
CE=23CD=23BA=23AB=23a ，
∴BE=BC+CE=b=23a ；
（2）解：结论:在线段BC上存在使得 4|BF|=|BC| 的一点F满足 AF⊥BE ，此时 |AF|=214 .
理由如下:
设 BF=tBC=tb ，则 FC=(1?t)b ， (0≤t≤1) ，
∴AF=AB+BF=a+tb ，
在边长为1的菱形ABCD中， ∠A=60? ，
∴|a|=|b|=1 ， a?b=|a||b|cos60?=12 ，
∵ AF⊥BE ，
∴AF?BE=(a+tb)?(b?23a)
=(1?23t)a?b?23a2+tb2
=(1?23t)×12?23+t
=0，
解得 t=14 ，从而 AF=a+14b ，
∴|AF|=AF2=a2+12a?b+116b2=1+12?12+116=214
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】 （1）根据向量加、减法运算法则计算即可；
（2） 设?BF=tBC=tb?，则?FC=(1?t)b?，?(0≤t≤1)?， ∴AF=AB+BF=a+tb? ，?利用|a→|=|b→|=1?， a?b=|a||b|cos60?=12??，计算即可。
-5080110490思考2
思考2

2.三棱柱 ABC?A1B1C1 中， M、N 分别是 A1B 、 B1C1 上的点，且 BM=2A1M ， C1N=2B1N .设 AB=a ， AC=b ， AA1=c .
（1）试用 a,b,c 表示向量 MN ；
（2）若 ∠BAC=90? ， ∠BAA1=∠CAA1=60? ， AB=AC=AA1=1 ，求MN的长.
【答案】 （1）解： MN=MA1+A1B1+B1N = 13BA1+AB+13B1C1 = 13(c?a)+a+13(b?a)=13a+13b+13c .
（2）解： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a?b+2b?c+2c?a
= 1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5 ，
即 |a+b+c|=5 ，
所以 |MN|=13|a+b+c|=53 .
【考点】向量的模，向量加减混合运算及其几何意义
【解析】(1)由空间向量的运算法则结合三棱柱的空间结构特征可得 MN=13a+13b+13c .(2)由题意计算可得 (a+b+c)2=5 ，结合(1)的结论可知 |MN|=13|a+b+c|=53 .
111125126365思考3
思考3
3.已知空间三点 A(?2,0,2) ， B(?1,1,2) ， C(?3,0,4) ，设 a=AB ， b=AC ．
（1）若 |c|=3 ， c//BC ，求 c ；
（2）若 ka+b 与 ka?2b 互相垂直，求 k ；
（3）若向量 ka+b 与 a+kb 平行，求 k ．
【答案】 （1）解：点 A(?2,0,2) ， B(?1,1,2) ， C(?3,0,4) ，
∴ BC=(?2,?1,2) ，
由 c∥BC ，设 c=(?2x,?x,2x) ，且 x≠0 ，
∴ |c|2=4x2+x2+4x2=9x2=9 ，解得 x=±1 ，
∴ c=(2,1,?2) 或 c=(?2,?1,2) ；
（2）解： a=AB=(1,1,0) ，
b=AC=(?1,0,2) ，
若 ka+b 与 ka?2b 互相垂直，则 (ka+b)?(ka?2b)=0 ，
∴ k2a2?ka?b?2b2=0 ，
即 k2?(12+12+02)?k?(?1+0+0)?2?[(?1)2+02+22]=0 ，
化简得 2k2+k?10=0 ，
解得 k=?52 或 k=2 ；
（3）解：向量 ka+b=(k?1,k,2) ，
a+kb=(1?k,1,2k) ，
由向量 ka+b 与 a+kb 平行，则
{k?1=λ(1?k)k=λ2=2λk ，
解得 k=1 或 k=?1 .
【考点】向量的共线定理，平面向量共线（平行）的坐标表示，向量的数量积判断向量的共线与垂直
-4445577215思考4
思考4
【解析】（1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出 c ；（2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值；（3）根据向量共线定理，列出方程求出k的值.
4.已知向量 e1=(2,1) ， e2=(?2,2) ， a=(?2,8) .
（1）试将向量 a 表示成 e1 、 e2 的线性组合；
（2）若向量 b=?2e1+te2 （ t∈R ），当 a 与 b 的夹角为钝角时，求 t 的取值范围.
【答案】 （1）解：设 a=xe1+ye2=x(2,1)+y(?2,2)=(2x?2y,x+2y)=(?2,8)
所以 {2x?2y=?2x+2y=8 ，所以 x=2,y=3 .所以 a=2e1+3e2 .
（2）解：由题得 a=(?2,8),b=(?4?2t,?2+2t) ，
因为 a 与 b 的夹角为钝角，
所以 {?2(?4?2t)+8(?2+2t)=8+4t?16+16t<0?2(?2+2t)?8(?4?2t)=4?4t+32+16t≠0 ，
所以 t<25 且 t≠?3 .
【考点】相等向量与相反向量，向量的线性运算性质及几何意义，数量积表示两个向量的夹角
【解析】（1）设 a=xe1+ye2 ，利用向量相等，列方程组求解即可；（2）由题得 a=(?2,8),b=(?4?2t,?2+2t) ，由题得 {?2(?4?2t)+8(?2+2t)=8+4t?16+16t<0?2(?2+2t)?8(?4?2t)=4?4t+32+16t≠0 ，解不等式组即得解.
-53340111760
1.正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，化简 AB+AD?CC1= ?（??? ）
A.?AC1?????????????????????????????????????B.?CA1?????????????????????????????????????C.?BD1?????????????????????????????????????D.?DB1
6.
A.?-1????????????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????????C.?-2????????????????????????????????????????D.?2
2.在矩形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， E 是线段 OD 的中点，若 AE=mAB+nAD ，则 m?n 的值为（??? ）
A.??12?????????????????????????????????????????B.?-1?????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?12
3.下列四个结论，正确的个数是（??? ）
①在 △ABC 中，若 A>B>C ，则 sinA>sinB>sinC ；②若 a//b ，则存在唯一实数 λ 使得 a=λb ；③若 a//b ， b//c ，则 a//c ；④在 △ABC 中，若 (AB|AB|+AC|AC|)?BC=0 ，且 AB|AB|?AC|AC|=12 ，则 △ABC 为等边三角形；
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
4.若平面向量 a 与 b 满足： |a|=2,|b|=1,|a+b|=7 则 a 与 b 的夹角为（??? ）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.?120°
参考答案
1.【答案】 A
【解析】
因为ABCD?A1B1C1D1为正方体，则由向量的运算法则易得AB→+AD→?CC1→=AC→?AA1→=AC1→ ，
2.【答案】 B
【解析】
由题意知，四边形 为直角梯形， ，
所以 。
故答案为：B．
3.【答案】 A
【解析】
因为 AE=AB+BE=AB+34BD=AB+34(BA+AD)=14AB+34AD ，
所以 m=14,n=34?m?n=?12 ，
【答案】 B
【解析】
①在 △ABC 中，若 A>B>C ，则 a>b>c ，由正弦定理可得： sinA>sinB>sinC ，所以正确.
②若 a//b 且 b≠0 ，则存在唯一实数 λ 使得 a=λb ，故当 b=0 时，②不正确.
③当 b=0 时，满足 a//b ， b//c ，但 a 与 c 不平行，故不正确.
④在 △ABC 中， AB|AB| 为 AB 方向的单位向量， AC|AC| 为 AC 方向的单位向量，
设 △ABC 中， ∠A 的角平分线交 BC 于点 D .
所以 AB|AB|+AC|AC| 在 ∠A 的角平分线 AD 上，由 (AB|AB|+AC|AC|)?BC=0
所以 AD⊥BC ， 所以 AB=AC
又 AB|AB|?AC|AC|=|AB||AB|?|AC||AC|×cosA=12 ，所以 cosA=12 ，又 A∈(0,π)
所以 A=π3 ，所以 △ABC 为等边三角形，故④正确.