6.1平面向量的概念讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义（含答案）

147955-391795第六章 平面向量及其应用
第六章 平面向量及其应用
1365250520706.1平面向量的概念
6.1平面向量的概念
-5715259715学习目标
学习目标
1、了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
2、掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
-43180177165探索新知
探索新知
3、理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
1.向量的概念及表示
(1)概念：既有大小又有方向的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.　
(3)向量的表示

2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.

58420176530思考1
思考1
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1．如图所示，false是正六边形false的中心，且false，false，false，若false，求正六边形的边长.
【答案】根据正六边形性质知，false为等边三角形且false，即可求解
【详解】由题意，根据正六边形性质知，false为等边三角形且false，
-47625299720思考2
思考2
所以正六边形的边长false.
2．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与false相等的向量共有几个；
（2）与false方向相同且模为false的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】
根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】
解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为false且都与false平行，
则false，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与false相等的向量共有5个，如图1；
（2）与false方向相同且模为false的向量共有2个，如图2.
26670125730思考3
思考3
3．判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量false 与false 同向，且false，则false；
（2）若向false，则false 与false的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量false，若false 与false的方向相同，则false =false；
（4）由于false 方向不确定，故false 不与任意向量平行；
（5）向量false 与false平行，则向量false 与false方向相同或相反．
【答案】（1）不正确，理由见解析 （2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析 （4）不正确，理由见解析 （5） 不正确，理由见解析
【分析】
（1）根据平面向量的定义判断.（2）false只能判断两向量长度相等，方向不确定.（3）根据平面向量的定义判断.（4）规定：false与任意向量平行（5）考虑零向量的情况.
【详解】
（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
（2）不正确．由|false只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
（3）正确．因为|false，且false 与false同向，由两向量相等的条件，可得false =false
（4）不正确．依据规定：false与任意向量平行．
-5080331470思考4
思考4
（5）不正确．因为向量false 与false若有一个是零向量，则其方向不定．
4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
【答案】
（1）false，使|false|＝4false，点A在点O北偏东45°；
（2）false，使false＝4，点B在点A正东；
（3）false，使false＝6，点C在点B北偏东30°.
（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由点A在点O北偏东45°处和|false|＝false，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量false；
（2）由点B在点A正东方向处，且false＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量false；
（3）由点C在点B北偏东30°处，且false＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为false≈5.2，作出向量false．
【详解】
（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|false|＝false，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量false如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且false＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量false如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且false＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为false≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量false如下图所示．
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1．下列说法错误的是（ ）
A．向量false与向量false长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
2．在等式①false; ②false；③false；④false；⑤若false，则false；正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列说法中正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若false满足false且false与false同向，则false
D．对于任意向量false，必有false
4．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③若false (λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若false，则false共线．
其中错误的命题的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4



参考答案
1．【答案】B
【分析】
A.false和false长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
2．【答案】C
【分析】
零向量与任何向量的数量积都为0，false错误；
0乘以任何向量都为零向量，false正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，false错误；
向量模的平方等于向量的平方，false正确；
false不一定有false，故错误；
故选：C
3．【答案】D
【分析】
解：对于A，平行向量也叫共线向量，故A不正确；
对于B，单位向量的模相等，方向不一定相同，故B不正确；
对于C，因为向量有方向，所以向量不能比较大小，故C不正确；
对于D，若false与false共线同向，则false，
若false与false共线反向，则false，
若false与false不共线，则根据向量的加法的平行四边形法则和三角形法则中，
得出在三角形中两边之和大于第三边，则false，
综上可知，对于任意向量false，必有false，故D正确.
4．【答案】C
【分析】
①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误，当false时，不论λ为何值，false.
④错误，当λ=μ=0时，false，此时，false与false可以是任意向量．
故选C．