第13章立体几何初步 综合提升测试-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

苏教版第13章立体几何初步综合提升测试卷
一、单选题
1．下列叙述中，错误的一项为（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形
D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行
2．长方体的12条棱所能确定的平面个数为（ ）
A．8 B．10
C．12 D．14
3．在三棱锥中，的内心O到三边的距离均为1，平面ABC，且的BC边上的高为2，则该三棱锥的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
5．如图，，，，分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中的是（ ）
A． B．
C． D．
6．祖暅(公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家).他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面的平面于距平面任意高处截得到及两截面，可以证明总成立据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是（ ）.
A． B． C． D．
7．四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方体中，，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上皆不可能
10．已知、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，与所成的角和与所成的角相等，则
11．已知正三棱柱中，，M为的中点，点P在线段上，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面 B．A和P到平面的距离相等
C．存在点P，使得平面 D．存在点P，使得
12．已知三棱锥的顶点均在半径为5的球面上，为等边三角形且外接圆半径为4，平面平面，则三棱锥的体积可能为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
三、填空题
13．已知l，m为直线，α为平面，lα，m?α，则l与m之间的关系是___________.
14．如图，点为矩形的边的中点，，，将矩形绕直线旋转所得到的几何体体积记为，将绕直线旋转所得到的几何体体积记为，则的值为________
15．如图，是以为底面的长方体的一个斜截面，其中，，，，则该几何体的体积为___________.
16．如图圆锥内的球与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为，则圆锥侧面积的最小值为________．
四、解答题
17．如图，某几何体的下部分是长?宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积.
18．如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
（1），，，四点共面；
（2）平面平面.
19．在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，平面．
（1）是棱的中点，求证：平面；
（2）求四棱锥的体积．
20．已知平面四边形中，，，现将沿折起，使得点移至点的位置(如图)，且.
（1）求证：；
（2）若为的中点，求点到平面的距离.
21．如图，在三棱柱中，，为的中点，，
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角.
22．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若点到平面的距离为，求的值.
参考答案
1．A
【分析】
对于A，通过举反例判断；对于B，C，D由棱柱的定义进行判断
【详解】
在中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，
例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故错误；
在中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故正确；
在中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故正确；
在中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到正确．
故选：A．
2．C
【分析】
由长方体的结构和面的定义可得选项．
【详解】
在长方体中，由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面，共12个面．
故选：C．
3．C
【分析】
由三角形内心、侧面的高有面，即，根据已知有，，再根据即可求内切球的半径，进而求体积.
【详解】
如下图，为的内心，若，则面，面，即有，
∴，，
若为内切球的球心，且，即内切球的半径为，
∴，而，，
∴，得，故该三棱锥的内切球的体积.
故选：C.
4．B
【分析】
结合线面位置关系，根据充分必要条件定义判断．
【详解】
直线在平面外，包括直线与平面平行和相交，不充分，但直线∥平面，一定有直线在平面外，必要的，因此是必要不充分条件．
故选：B．
5．D
【分析】
根据异面直线的定义、平行线的性质、平行四边形的性质进行判断即可.
【详解】
解：对于A，若，可得，，，四点共面，则直线，共面，
这与，异面矛盾，所以A中的两直线不平行；
由异面直线的定义可得B，C中的两直线，为异面直线；
由，为中点，可得，且，则四边形为平行四边形，
D中的两直线为平行直线.
故选：D.
6．C
【分析】
根据题中的总成立，可得半椭球体的体积，再利用柱体的体积公式和锥体的体积公式求解即可.
【详解】
根据题意，因为总成立，
所以半椭球体的体积为，
由题意可知，，，
所以半椭球体的体积为，
从而椭球体的体积是.
故选：C.
7．D
【分析】
把四面体放入符合条件的长方体中，四面体外接球即长方体外接球，从而求得半径，求出表面积.
【详解】
如图所示，把四面体放入符合条件的长方体中，
在中，，，则
又与夹角为，则，在中，
，则四面体的外接球即为长方体的外接球，
则外接球半径为
故外接球表面积为
故答案为：D.
【点睛】
方法点睛：将四面体外接球转化为长方体外接球，从而求得半径.
8．D
【分析】
将对角面绕旋转至与平面在同一平面内，可确定当三点共线时，所求距离之和最短，利用解三角形的知识可求得最小值.
【详解】
将长方体对角面绕旋转至与平面在同一平面内，如下图所示：
则当三点共线时，取得最小值，
又，，，，，
在中，由余弦定理得：，
，即的最小值为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查立体几何中的距离之和的最值的求解，解题关键是能够通过翻转平面，将问题转化为平面中的两点间的最短距离的求解问题.
9．ABC
【分析】
利用空间中两直线的位置关系求解.
【详解】
解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；
两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；
一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；
故选：ABC.
10．AB
【分析】
利用线面垂直的性质可判断A选项、B选项的正误；举出符合命题题设的事例，可判断C选项、D选项的正误.
【详解】
对于A，若，，由线面垂直的性质及面面平行的定义可得，故A正确；
对于B，若，，由线面垂直的性质定理可得，故B正确；
对于C，在如下的正方体中，a，b是两条棱所在直线，是正方体两个表面所在的平面，
显然有，，，而与相交，故C错误；
对于D，圆锥SO的底面所在平面为，与该圆锥底面平行的截面所在平面为，，圆锥SO的两条母线所在为a，b，显然a与所成的角和b与所成的角相等，而a与b相交，故D错误.
故选：AB
11．AB
【分析】
由线面平行判定定理可证面，由题设知到面的距离相等，即有A和P到平面的距离相等，由面与面不垂直可判断是否存在平面，过作，则为在面上的射影，即可判断是否成立.
【详解】
A：连接交于D，连接则D为中点，由M为的中点，所以，而面，面，则面，正确；
B：由A知，到面的距离相等，P在线段上，所以A和P到平面的距离相等，正确；
C：由题设，易知面与面不垂直，面，所以不可能有平面，错误；
D：由题设知：如下图，过作，则为在面上的射影，而由下图知不可能与垂直，所以不可能成立.
故选：AB.
12．AB
【分析】
画出三棱锥，、分别为外接圆的心、外接球的球心，D为BC的中点，由外接圆、外接球的性质，结合已知确定相关线段的长度，进而求的面积，令到面的距离为，即有，由面面垂直可知时最大，即可求的范围.
【详解】
如下图为三棱锥，若、分别为外接圆的心、外接球的球心，D为BC的中点，
∴，，而面且为等边三角形，
∴，，，又平面平面，
令到面的距离为，则，而当时，有，即，
∴，
故选：AB.
【点睛】
关键点点睛：利用外接圆、外接球的性质求三棱锥相关线段的长度，由三棱锥体积求法，结合面面垂直及与外接球的几何关系确定到面的距离最大时的位置，进而求体积的范围.
13．平行或异面
【分析】
在正方体里举例说明线线关系即可.
【详解】
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
A1B1平面ABCD，AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，
A1B1与AB平行，A1B1与BC异面，
∴l，m为直线，α为平面，lα，m?α，
则l与m之间的关系是平行或异面.
故答案为：平行或异面.
14．
【分析】
分析几何体的结构，计算出、，由此可得出结果.
【详解】
将矩形绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，母线长为的圆柱，
所以，，
将绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，高为的圆锥，
所以，.
因此，.
故答案为：.
15．
【分析】
易知该几何体是直棱柱，底面为梯形，高为，利用柱体的体积公式可求得结果.
【详解】
因为平面平面，平面平面，平面平面，，
同理可知，，所以，四边形为平行四边形，则，，
，，且，，，
易知，梯形与梯形全等，
且，，
所以，几何体为棱柱，
在原长方体中，平面，所以，四棱柱的高为，
，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：解本题的关键在于分析几何体的形状，再结合几何体的体积公式求解，常见的求几何体体积的方法如下：
（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
16．
【分析】
设圆锥的底面圆半径为，，根据题意得到，而圆锥的侧面积转化为，最后利用换元法求解最小值即可.
【详解】
设圆锥的底面圆半径为，，
设球与侧面相切于点，在中，．
因为，则，
即，所以．
在中，，
故圆锥的侧面积
令，，则，
故
当且仅当，即，时，取等号，所以圆锥侧面积的最小值为．
【一题多解】
解法一：设，在中，
，．
因为，
则，即，
所以，，
于是圆锥的侧面积
，
令，则，则，
当且仅当，即时取等号，所以圆锥侧面积的最小值为．
解法二：设，．
，且，
即，
，，
圆锥的侧面积
当且仅当时等号成立，故圆锥侧面积的最小值为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.
【详解】
连接，交于点，取的中点，连接，，
（1）
∴
（2）∵，
∴
【点睛】
易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据中位线定理证得，再由棱柱的性质证得，根据平面公理可得证；
（2）根据面面平行的判定定理的推论可得证.
【详解】
证明：（1）?分别为，中点，，
三棱柱中，，
???四点共面；
（2）?分别为?中点，，，
又不在平面BCHG中，平面 BCHG，所以平面BCHG
又?分别为三棱柱侧面平行四边形对边?中点，
四边形为平行四边形，，又不在平面BCHG，平面BCHG
平面中有两条直线?分别与平面平行
平面平面.
19．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连，通过证明四边形为平行四边形，可证得，进而得证；
（2）取中点，可证得，进而可得体积.
【详解】
（1）证明：连，由，是棱的中点，得，且
故四边形为平行四边形．所以，
又平面，平面，
所以平面
（2）取中点，连接AC，CF，因为底面是菱形，，
所以，又面，∴，∵
所以，即为四棱锥的高，且
而，
所以四棱锥的体积
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由题设，易得且，即有，根据线面垂直的判定及性质即可证；
（2）由已知结合余弦定理求、，进而求出，根据即可求到平面的距离.
【详解】
（1）证明：由题意知，，即，
∵，，，
∴，则，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴；
（2）由为的中点，即，又，
在中，，得，
在中，，，易得，，
∴，
设点到平面的距离为，则由等体积法有，
故，即，解得，
故点到平面的距离为.
【点睛】
关键点点睛：
（1）应用三角形全等得线线垂直，根据线面垂直的判定及性质证线线垂直；
（2）利用等体积法求点面距.
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先取等腰底边中点O，三线合一得线线垂直，由已知，得平面，则有，再由平行关系及，得到，得证线面垂直，再证面面垂直；
（2）由平面，得线面角，解直角三角形可求.
【详解】
（1）如图，取中点为，连结，，则.
在中，，
，， 平面
平面，.
由已知，，又，
， 平面
又平面，平面平面.
（2）平面，即为所求.设.
，又是等边三角形，，
.
直线与平面所成的角为.
【点睛】
在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，平面图形中常见的垂直关系有：等腰三角形三线合一；菱形（正方形）对角线互相垂直；矩形的四个内角都是直角；圆的直径所对的角是直角等等.线线垂直的证明，还要注意通过计算的方式（如勾股定理）证明，或者利用已知的垂直关系平移转化得到.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据垂直关系证明平面；（2）利用等体积转化，求解的值.
【详解】
（1）证明：在中，因为，，，所以，因为点是的中点，所以，在中，得，所以，所以，在中，，，，满足，所以，而，所以平面，因为平面，所以平面平面.
（2）
过点作，垂足为，由（1）可知平面，因为平面，所以平面平面，平面平面=，所以平面.
由，，因为，解得，所以.
【点睛】
方法点睛：本题考查面面垂直的证明，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.