第12章复数 综合提升测试-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

苏教版第12章复数综合提升测试卷
一、单选题
1．若，其中，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．复数的共轭复数在复平面内对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，，则（ ）
A．-5 B．5 C．1-4i D．-1+4i
5．设且，若复数是实数，则（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
6．欧拉在年给出了著名的欧拉公式：是数学中最卓越的公式之一，其中底数，根据欧拉公式，任何一个复数，都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数，，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．已知复数满足，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A．|z|=2 B．|z|=4
C．z的共轭复数=+i D．
10．设是关于的方程的两根，下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则是共轭虚数
11．设，为复数，且，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的实部与的虚部互为相反数
C．若为纯虚数，则为实数
D．若，则，在复平面内对应的点不可能在同一象限
12．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．可能为实数
C． D．的实部为
三、填空题
13．已知复数的共轭复数为，若(其中为虚数单位)，则__________.
14．已知是实系数一元二次方程的根(为虚数单位），则_____.
15．在复平面内，已知复数对应的点在曲线上，则最大值是___________.
16．已知复数满足，且负实数满足，则的值为___________.
四、解答题
17．已知复数，.
（1）求；
（2）在复平面内作出复数所对应的向量.
18．已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数.
（1）求的值；
（2）求.
19．ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z，
（1）求复数z；
（2）z是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，求实数p，q的值.
20．已知复数z满足：z2＝3+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限.
（1）求复数z；
（2）设a∈R，且，求实数a的值.
21．设为方程，（）的两个根，，
（1）求的解析式；
（2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值.
22．设，．
（1）求证：是纯虚数；
（2）求的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】
利用复数相等的知识列方程组，解方程组求得，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，，即，
所以，
所以对应点为，位于第二象限.
故选：B
2．B
【分析】
由复数模的计算公式可选出正确答案.
【详解】
由题意可得．
故选:B.
3．B
【分析】
先利用复数运算法则求得复数z的表达式，求得共轭复数，转化为坐标表示形式即可.
【详解】
复数，
故，对应点的坐标为(4,3)
故选：B.
4．B
【分析】
根据对称得，再由复数的乘法计算即可.
【详解】
复数对应的点关于实轴对称，，
所以，
所以.
故选：B.
5．C
【分析】
对给定式子进行运算，利用复数为0的充要条件求解即得.
【详解】
因为，
所以，又，所以.
故选：C
6．D
【分析】
根据欧拉公式的定义求出，再根据复数的除法运算即可求解.
【详解】
∵，，
∴，
复数在复平面内对应的点为，点在第四象限.
故选：D.
7．C
【分析】
判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．
【详解】
复数满足，即，可得，
它的几何意义是以为圆心，以为半径的圆以及内部部分．
的图形是图形中阴影部分，如图：
阴影部分区域是由圆心角为的圆弧（半径长为）以及腰长为的等腰直角三角形组成，
因此，所求概率为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解与面积有关的几何概型问题的三个关键点：
（1）根据题意确认是否与面积有关的几何概型问题；
（2）找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；
（3）套用公式，从而求得随机事件的概率.
8．D
【分析】
A：根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可；
B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；
C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.
【详解】
A：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，因此本选项结论正确；
B：因为，所以，因此本选项结论正确；
C，D：设，在复平面内对应的点为，设
因为，所以点到点的距离为1，因此点是在以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点距离，
因此，
，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，
故选：D
【点睛】
关键点睛：根据的几何意义，结合圆的性质是解题的关键.
9．AC
【分析】
根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，故A选项正确，B选项错误.
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：AC
10．AB
【分析】
根据复数域上方程的根与系数的关系，判断各选项的正误.
【详解】
A：由根与系数关系知：，正确；
B：，由，，即，正确；
C：仅当，才有，而方程的根不一定为实数，错误；
D：由于，而，仅当时是共轭虚数，错误；
故选：AB.
11．BD
【分析】
根据复数的模扱共轭复数的概念判断A，由复数的加减法法则和分类判断C，结合复数的乘法法则及复数的概念、几何意义判断BD，
【详解】
若，如，不共轭；若为纯虚数，则，的实部互为相反数，而虚部不一定相等，所以不一定为实数，故A，C错误；
令，，，，，，若，则，所以，故B正确；
若，则.如果，在复平面内对应的点在同一象限，那么，同号，不可能使得，故D正确.
故选：BD．
12．BC
【分析】
由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.
【详解】
因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；
当，时，复数是实数，故B选项正确；
，故C选项正确：
，的实部是，故D不正确.
故选：BC
【点睛】
本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.
13．
【分析】
先求复数，再求即可.
【详解】
由，得，而.
故答案为：5.
14．
【分析】
根据是实系数一元二次方程的根，将代入方程，利用复数相等求解.
【详解】
因为是实系数一元二次方程的根，
所以，即，
所以，
解得，
所以，
故答案为：-2
15．
【分析】
设出复数的坐标表示形式，求出的表达，由满足的椭圆关系代入，可以转化为关于的函数问题，从而求得最大值.
【详解】
在复平面内，设，则，
易知当时，最大值是
故答案为：
【点睛】
方法点睛：利用复数模长的几何意义，将满足的关系代入，从而转化为函数问题来求解最值.
16．
【分析】
由，设，代入后利用复数相等的定义求解．
【详解】
因为，故可设，
则，
即，
所以，
或，
若，则，
时，，，不是负数，舍去．
时，，，无实解．
，则，
（舍去）．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：与复数有关的方程，常常设，代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程求解．
17．（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据复数的减法运算直接求解即可；
（2）根据复数的几何意义直接作图即可.
【详解】
（1）由复数减法的运算法则得：.
（2）在复平面内作复数所对应的向量，如图中.
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）将代入中，可得，利用复数的模长公式求解即可；
（2）由以及，可得出和，代入可得．
【详解】
（1）由题意知，，
；
（2）；
，
又，
则是以为首项，为公差的等差数列，
，
故．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D的坐标（x，y），利用求解；
（2）根据3+5i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解.
【详解】
（1）复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），
设D的坐标（x，y），由于，
∴（x﹣1，y﹣3）＝（2，﹣1），
∴x﹣1＝2，y﹣3＝﹣1，
解得x＝3，y＝2
，故D（3，2），
则点D对应的复数z＝3+2i；
（2）∵3+2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，
∴3﹣2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的另一个根，
则3+2i+3﹣2i＝，（3+2i）（3﹣2i）＝，
即p＝12，q＝26.
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）设z＝c+di（c，d∈R），再由z2＝3+4i求解；
（2）根据﹣2+i，求得，由求解.
【详解】
（1）设z＝c+di（c，d∈R），
则z2＝（c+di）2＝c2﹣d2+2cdi＝3+4i，
∴，
解得或（舍去），
∴z＝﹣2﹣i；
（2）∵﹣2+i
∴，
，
∴，
解得
21．（1）；（2）定值为，证明见解析.
【分析】
（1）根据判别式讨论，根与系数之间的关系即可求解.
（2）作出函数图象，证出函数的图象关于直线对称，根据图象以及对称性即可求解.
【详解】
（1），
若，即时，
为方程，（）的两个根，
则，
由根与系数的关系，得，，
因此，
当时，，
当时，，
当，即时，
方程的根为共轭复数，，
综上可得，；
（2）作出的图象，如图：
当，函数关于直线对称，
当时，点关于直线对称点为，
由于，即
所以函数的图象关于直线对称
当时，为增函数，且；
当时，为减函数，且.
所以当，方程在区间上有唯一解，
在区间上也有唯一解，
则.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了方程的复数根，解题的关键是判断函数函数的图象关于直线对称，考查了分类讨论的思想.
22．（1）证明见解析 ；（2） .
【分析】
（1）分析得出，利用复数的除法化简复数，可证得结论成立；
（2）分析得出，计算得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意可得，
所以，，
，则，因此，是纯虚数；
（2），
所以，，
因为，则，解得，，则，
所以，，因此，.
【点睛】
关键点点睛：本题考查复数模的取值范围的求解，解题的关键在于将复数的模转化为关于的二次函数的值域来求解，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域的求解.