第9章平面向量 综合提升测试-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

苏教版第9章平面向量综合提升测试卷
一、单选题
1．设平面向量，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．9 D．6
2．已知向量，，.若，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，向量（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是圆的一条直径且，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．13
7．在平行四边形中，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是（ ）
A． B． C．－ D．
二、多选题
9．(多选题)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．||＝|| B．与共线
C．与共线 D．＝
10．已知向量，，，则可能是（ ）
A． B． C． D．
11．在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，若与的夹角为，则以下结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的范围为
C．当时， D．当时，
12．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
三、填空题
13．已知，，，且，则点的坐标为___________.
14．已知向量，若，则实数________．
15．已知平面向量，，满足：，，，则的取值范围是______．
16．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．
四、解答题
17．平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数，；
（2）若，求实数的值.
18．（1）已知单位向量与夹角为60°，且，求的值.
（2）已知，求与夹角的余弦值.
19．如图，已知向量，点A，B分别是的中点．
（1）试用向量，表示向量；
（2）设，，试求与的夹角的取值范围．
20．已知，，，
（1）求的坐标；
（2）若、、、四点构成平行四边形，求点的坐标．
21．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
22．在中，已知，，，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点.
（1）求的值：
（2）若，求的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
根据平面向量夹角公式，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
.
故选：D
2．D
【分析】
先求得，根据，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
由题意，向量，，可得,
因为，所以,
又∵，所以,解得，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，其中解答中熟记向量的坐标表示，以及向量数量积的坐标运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
3．D
【分析】
由图可得，，然后可得答案.
【详解】
由图可得，
所以
故选：D
4．B
【分析】
根据平面向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最小值，即可得出结果.
【详解】
由题意可得，
，
为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时；
又，因此，
所以的最小值为.
故选：B.
5．A
【分析】
根据坐标运算求出，，即可求出投影.
【详解】
由题意可得，，
故在方向上的投影为.
故应选：A.
6．A
【分析】
先由题意，求出，再由向量模的计算公式，即可求出结果.
【详解】
因为，均为单位向量，它们的夹角为，
所以，
因此.
故选：A.
7．B
【分析】
根据平面向量的三角形法则即向量的模的运算可以求出平行四边形两个边的模的关系，进而利用平面向量的对角线法则及平面向量的数量积的计算公式，可以得所求数量积的值.
【详解】
∵，
∴，，
而，，
∴，，
∴，，
两式相减得，∴.
∴.
故选：B.
【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法：
利用定义；
利用向量的坐标运算；
利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8．C
【分析】
根据题中条件，得到，根据向量数量积运算，得到，即可求出最小值.
【详解】
因为点是线段的中点，所以向量，
所以，
又因为向量，方向相反，
所以
．
故选：C．
9．ABD
【分析】
根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误.
【详解】
由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知：，即A正确；由图形可知：与的方向相反，与方向相同且长度相同即＝，故B、D正确；而与不一定共线，故C不一定正确.
故选：ABD
10．AD
【分析】
由共线向量定义可知或，由向量坐标运算可得结果.
【详解】
，，或，又，
或.
故选：AD.
11．ACD
【分析】
根据与的夹角为，结合受力分析图象，逐一检验答案，得出选项．
【详解】
根据受力分析，如图所示：
对于A，当行李包处于平衡状态时，，正确；
对于B，当时，没有向上的分力，错误；
对于C，当时，，正确；
对于D，当时，，正确；
故选：ACD
12．AC
【分析】
直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：选项A，平面向量、、满足，
且，
，，
即，
，
，的夹角为，同理、的夹角也为，
是等边三角形，故A正确；
选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，
设为和，则它们的差是向量，
则当，即时，点在的平分线上，
同理由，知点在的平分线上，
故为的内心而不一定是垂心，故B错误；
选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，
而是该平行四边形的另一条对角线，
表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，
同理有，于是为的外心，故C正确；
选项D，由得，
，即，，
同理可证，，
，，，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误．
故选：AC．
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．（1）重心：三角形三条中线的交点；
与向量相关的性质：
①是的重心；
②三点坐标为、、，则重心坐标为；
③点是的重心，则；
④若，则点经过的重心；
⑤若，则点经过的重心；
13．
【分析】
把向量转化为坐标可得结果.
【详解】
设，因为，，，
则，，，
又，
所以，解得，
所以点的坐标为.
故答案为：.
14．
【分析】
由向量线性坐标运算以及向量垂直的坐标表示计算即可．
【详解】
由题意，又，
∴，解得．
故答案为：．
15．
【分析】
求出夹角，将，，的起点重合，则向量的终点在以终点为圆心，以1为半径的圆上，作出图形后可得向量在向量方向上投影的最大值和最小值，也即的最大值和最小值．
【详解】
∵，，∴，∴与夹角为120°，与夹角为60°，．将，，的起点重合，由于．因此向量的终点在以终点为圆心，以1为半径的圆上，如图．容易得，向量在向量方向上的最小投影是0，最大投影是2，所以的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量数量积的范围，解题关键是作图，将，，的起点重合，得出向量的终点在以终点为圆心，以1为半径的圆上，利用图形求得结论．
16．
【分析】
建立直角坐标系，，设，，然后根据得，再设，，，根据，表示出，进而表示出，换元之后利用基本不等式求解最值.
【详解】
以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，则．
由可得，所以可设，，．
因为，由可得，，
所以．设，，
则，
即当时，取最大值，最大值为．
故答案为：.
【点睛】
一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值.
17．（1），；（2）.
【分析】
（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；
（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；
【详解】
解：（1）因为，，，且
，，，，.
，解得，.
（2），，，.
，，，.
，解得.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）由平面向量数量积的定义求得?的值，而?2，代入所得数据进行运算即可；
（2）将||两边平方展开后得7，从而求出的值，再由cos即可得解.
【详解】
解：（1）∵单位向量与夹角为60°，
∴?||?||cos60°＝1×1.
∴（）?（2）?212.
（2）∵||，∴7，即2﹣29＝7，
∴2，
∴cos.
故与夹角的余弦值为.
19．（1）；（2） .
【分析】
（1）由是的中位线得出，进而得出结果；
（2）先求出，进而求得，由此确定出的取值范围.
【详解】
（1）依题意知是的中位线，所以，；
（2）由（1）得，平方得：
所以，由可得，
所以，又，所以.
故与夹角的取值范围是.
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量加减法和数乘的坐标运算求解即可；
（2）由已知可得，利用坐标列出方程组求解即可．
【详解】
（1），
，
（2）四边形为平行四边形，
，
又，
，
，，
即．
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）用向量表示，得出向量与、的关系，再根据向量与共线，得出向量与共线即可；
（2）根据向量与反向，且||=3||得出向量与的数量关系，即得PQ：AB的值.
【详解】
（1）∵Q为BD中点，∴，
又P为AC中点，∴；
∴2()，
又向量与共线，
设向量，
则2(1+λ)，
∴①，
又梯形ABCD中||≠||，∴λ≠﹣1，
∴，即PQAB；
（2）∵向量与反向，且||=3||；
所以，即λ代入①式，
得，
∴PQ：AB.
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握平面向量的线性运算是解题关键.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）设，其中，设，其中，根据可得出，由且，可得出，计算得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
（1）；
（2）如下图所示，设，其中，
，
设，其中，
，
，
所以，
，
因为，所以，，所以，，
且，可得，
，
因此，的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：求向量的模的两种基本策略：
（1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若，则，于是有.