第10章三角恒等变换 综合提升测试-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

苏教版第10章三角恒等变换综合提升测试卷
一、单选题
1．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在区间上是增函数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数（）的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最大值为1
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象
5．已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，都是锐角，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．函数，则下列结论错误的是（ ）
A．f(x)的一个周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在上单调递减
8．已知函数，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有（ ）个
①对任意的，都有；
②将函数的图象向左平移个单位，得到偶函数；
③函数在区间上是减函数；
④“函数取得最大值”的一个充分条件是“”
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设函数，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．的最大值为
C．关于对称 D．无最小值
11．(多选题)关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数
B．是的最小正周期
C．在上单调递增
D．当时，的最大值为2
12．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象可由图象向右平移个单位长度得到
三、填空题
13．已知，则_______．
14．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，若，则______．
15．函数在上的单调递增区间是______．
16．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______________．
四、解答题
17．已知向量，，与为共线向量，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知：（，为常数）．
（1）若，求的最小正周期；
（2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值．
19．已知函数
（1）求函数的对称轴方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当，求的值域．
20．已知函数．
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）已知，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知函数．
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）若，，且满足．求的值．
22．已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）设，当时，不等式恒成立，设实数的取值范围对应的集合为，若在（1）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
化简可得，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据周期公式，即可求得答案.
【详解】
由题意得，
所以，故为奇函数，
周期，
故选：A
2．B
【分析】
根据同角公式求出，根据两角差的正切公式求出，可求得结果.
【详解】
因为，，所以，
由，解得，
所以.
故选：B
3．A
【分析】
由辅助角公式得，根据正弦函数的性质求的单调递增区间，结合题设确定的范围，即可判断的可能值.
【详解】
由，
∴在上是增函数，即 ，
∴ ，得，又，
∴.
故选：A.
4．C
【分析】
由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用余弦函数的图像和性质即可求解．
【详解】
解：因为的最小正周期为，
所以，解得，故A错误；
由于，可得的最大值为2，故B错误；
在上，，故单调递增，故C正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得到函数，故D错误．
故选：C．
5．A
【分析】
由可得，然后利用两角和与差的正弦公式展开化简可得，由可得，代入化简得，由题意可知，所以，再结合的范围可求得结果
【详解】
由题意可知，，可化为，
展开得，则，
因为，，且，
所以，
则，且，
所以，
当时不满足题意，所，
因为，，
所以，则，
故选：A.
6．C
【分析】
根据同角三角函数关系中的商关系，逆用两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质、诱导公式进行求解即可.
【详解】
，
即，因为，都是锐角，
所以，，因此有 或，
当时，可得；
当时，可得舍去，
故选：C
7．D
【分析】
由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．
【详解】
由已知，
最小正周期是，也是它的一个周期，A正确；
，所以是一条对称轴，B正确；
，显然时，，C正确；
时，，时，，函数在上递增，在上递减，D错误．
故选：D．
【点睛】
结论点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由用正弦函数性质求解．在三角函数中若是最值，则是一条对称轴，若，则是一个对称中心．
8．A
【分析】
先把化简，再对①②③④一一验证：
对于①，根据解析式直接验证；
对于②，利用相位变换直接验证；
对于③，利用复合函数的单调性直接验证；
对于④，直接代入验证.
【详解】
函数，
对于①，
，所以①对；
对于②，函数的图象向左平移个单位，
得到函数，所以②对；
对于③，因为，
所以在区间上是减函数，所以③对；
对于④，因为，所以为最大值，
即“函数取得最大值”的一个充分条件是“”，所以④对.
故选：A.
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
9．AB
【分析】
利用辅助角公式以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式即可求解.
【详解】
对于A，
，故A正确；
对于B，由两角和的正弦公式，
，故B正确.
对于C，，故C错误.
对于D，，故D错误.
故选：AB
10．ABC
【分析】
，然后利用诱导公式可得、，即可判断AC的正误，由可得，然后可得，解出即可判断BD的正误.
【详解】
，故A正确
由可得
所以，所以
所以，所以，解得，故B正确，D错误
因为，所以是奇函数，关于对称，故C正确
故选：ABC
11．ABD
【分析】
根据偶函数的定义和最小正周期的性质，结合二倍角的余弦公式、换元法进行判断即可.
【详解】
A：因为，所以f(x)是偶函数，因此本结论正确；
B：因为的最小正周期都为，所以的最小正周期也为，故本结论正确；
C：，
令，因为，所以，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数在上，单调递增，
所以当时单调递增，当时单调递减，故本结论不正确；
D：令，因为，所以，
函数在上，单调递增，
所以当时，该函数有最大值，最大值为，故本结论正确，
故选：ABD
12．AC
【分析】
由图象求出函数的解析式，然后逐一去解答各选项的问题而得解.
【详解】
由图象可知，所以，所以，故A选项正确
函数的解析式为，
令得：，
故的单调增区间为，故B选项错误
因为，故C选项正确
因为图象可由图象向左平移个单位长度得到，故D选项错误
故选：AC
【点睛】
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，关键是求待定系数ω和φ，一般是由周期求出ω；由图象上的最高(低)点或者零点确定 φ值.
13．2
【分析】
利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.
【详解】
已知
．
故答案为：2
14．
【分析】
首先由角的终边关于原点对称，可知，再利用二倍角公式，化简，求值.
【详解】
由条件知，所以．
故答案为：
15．，
【分析】
先由辅助角公式变形，再根据单调性得到整体角的范围，解不等式即可.
【详解】
，
令，解得，.
又，或，
当时，；当时，，
故答案为：，.
【点睛】
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解方法：
（1）结合正弦、余弦函数的图像熟记他们的单调区间；
（2）确定函数的单调区间：采用换元法整体代换，将看作一个整体，求解关于x的不等式，得到单调区间.若，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数再求.
16．
【分析】
利用诱导公式及二倍角、辅助角公式对函数化简可得，由 可求的范围，进而可求得范围，而 即在区间上恒成立可得，可求
【详解】
解：
所以
即
即在区间上恒成立
解得
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，解题的关键是灵活利用三角函数的诱导公式、二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质求解．
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）由向量共线可得，化简即可得出结果；
（2）由（1）的可知，平方化简可得，，及角的范围可得，计算可求得结果.
【详解】
解　（1）∵与为共线向量，
∴，
即．
（2）∵，∴．
∴．又∵，∴．
∴．∴．
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换，齐次方程，考查分析问题的能力，属于基础题.
18．（1）；（2）0
【分析】
（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；
（2）根据在，上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求的值．
【详解】
解：
，
（1）的最小正周期；
（2），，
当时，即，取得最小值为，
当时，即，取得最大值为，
最大值与最小值之和为3，，，
故的值为0．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．
19．（1）对称轴方程为x，k∈Z．（2）
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程．(2)由平移变化得的解析式，再利用整体换元法求值域
【详解】
（1）∵函数f（x）＝2sinxcosx+2sin（x）cos（x）
＝sin2xsin（2x）＝sin2xcos2x＝2sin（2x），
∴令2xkπ，求得x，k∈Z，故函数f（x）的对称轴方程为x，k∈Z．
（2）
令则，故的值域为
20．（1），（2）.
【分析】
（1）将化为，然后可得答案；
（2），由得，然后求出右边的最大值即可.
【详解】
（1）
当时，
所以当，即时，
（2）
由得
令，所以
当时取得最大值
所以
21．（1），；（2）或．
【分析】
（1）函数图象的对称轴方程；
（2）通过凑角，代入数据运算即可．
【详解】
（1）．
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴方程为，．
（2）因为，所以，
又，所以．
又，所以．
当时，；
当时，．
综上，的值为或．
【点睛】
解决三角求值问题的关键是会“发现差异”，会配凑，会根据已知角和所求角的特点将所求角用已知角代换，如本题中将转化为，此外在利用同角三角函数的基本关系解题时，要注意角的范围对三角函数值的影响．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1），首先求出，令，然后可得，然后，然后可求出答案；
（2）由可得，令，则，，然后可得，由（1）可得，然后可得答案.
【详解】
（1），
当时，，
，，
即，
令，
则，，，
由，
得，，
当时，有最小值，
当时，有最大值1，
当时，函数的值域为．
（2）当，不等式恒成立，
时，，，
恒成立，
令，则，
，
又，
当且仅当即时取等号，而，
，即，
．
又由（1）知，，
当时，，
要使恒成立，只需，
的取值范围是．
【点睛】
方法点睛：（1）常用分离变量法解决恒成立问题，（2）在解决复杂函数的问题时，常用换元法将其转化为常见的函数处理.