(共24张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
一般地,我们把研究对象统称为元素
一些元素组成的总体叫做集合
确定的
互不相同的
大写拉丁字母A,B,C
小写拉丁字母a,b,c,
构成两个集合的元素是一样的
提示:不一定,集合中的元素可以是任何对象,如数、点、三角形、学生、代数式等.
提示:①确定性:判断这些对象是否有明确的判断标准;②互异性:判断这些对象是否都不相同.
解析:“著名的科学家”和“较聪明的人”都没有明确的标准,对于某人是否“著名”或“较聪明”无法客观判断,因此“著名的科学家”和“较聪明的人”都不能构成集合;“很大的数”也没有明确的标准,所以不能构成集合;任意给定一个正整数,能够判定其是否小于10,有明确的标准,且小于10的正整数是确定的,故D项正确.
答案:D
解析:由“book”中的字母构成的集合的元素为b,o,k,共3个.
?
答案:C
a是集合A
a∈A
a不是集合A中
a?A
整数集
提示:只需判断该元素是否具备集合A中元素的特性.
?
解析:对于A项,因为0是一个元素,N是自然数集,所以0∈N,故A项不正确;对于B项,因为Q为有理数集,-是一个有理数,所以-∈Q,故B项正确;对于C项,因为π是无理数,Q是有理数集,所以π?Q,故C项不正确;对于D项,-2是一个负整数,不属于自然数,故D项不正确.
答案:B
?
解析:因为2=>,所以2?P.
∈
解析:因为5=22+1,2∈N
,所以5∈Q.
±3
解析:由题意,得a2=9,解得a=±3.
(3)(4)
解析:(1)中“的近似值”和(2)中“比较大”,这些标准均不明确,即元素不确定,故不能构成集合;对于(3)(4),其中的对象都是确定的,故能构成集合.
解析:因为集合A中元素是由满足x≤2,
x∈R的实数构成的,a=,b=2,由>2,得a?A.由2<2,得b∈A.
答案:B
-3,5,-1,3,0,2
解析:因为∈Z,且a∈Z,
所以只能为±1,±2,±4.
当=1时,a=-3;当=-1时,a=5;
当=2时,a=-1;当=-2时,a=3;
当=4时,a=0;当=-4时,a=2.
故集合M中的元素为-3,5,-1,3,0,2.
2,-2,-1,,,
解析:因为2∈S,所以=-1∈S,=∈S,=2∈S;因为-2∈S,所以=∈S,=∈S,=-2∈S.所以集合S中的元素有2,-2,-1,,,.
5或或-3
解析:因为3∈A,所以3=a-2或3=2a2+5a,所以a=5或a=或a=-3.
当a=5时,a-2=3,2a2+5a=75,满足集合中元素的互异性,符合题意.
当a=或a=-3时,经检验,符合题意.
故a=5或a=或a=-3.
解析:因为5∈A,所以a2+2a-3=5,
解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5,不符合题意,应舍去.
当a=-4时,|a+3|=1,符合题意,所以a=-4.
-4
解析:根据题意,得集合A中的元素为1,2,集合B中的元素为0,2,则集合C中的元素可能为0,2,0,4.又由集合元素的互异性,得集合C中的元素为0,2,4,故集合C中的所有元素之和为6.
?
答案:D(共25张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
一一列举
{
}
提示:不能,因为“{
}”表示“所有”“一切”“整体”的含义,所以不能写成{自然数集},而应写成{自然数}.
提示:①集合中元素较少,能够一一列举出来时,适合用列举法;②集合中的元素较多或无限多,但呈现一定的规律性时,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.
?
解析:由x-4<2可知x<6.又因为x∈N
,所以x可以为1,2,3,4,5,故选D.
答案:D
解析:集合A中有2个元素:点(1,2),点(3,4).
答案:B
{x∈A|P(x)}
{x∈A:P(x)}
{x∈A;P(x)}
共同特征
一般符号
取值（或变化）范围）
一条
竖线
提示:当集合中的元素具有共同特征并且能够描述出来时,一般可使用描述法表示集合.
解:(1)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1
000}.
(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.
解析:因为x∈{2,4,5},所以x=2或x=4或x=5.因为x?{2,4,6},所以x≠2,且x≠4,且x≠6,所以x=5.
答案:C
解析:集合A中含有3个元素2,4,6,且当a∈A时,
6-a∈A,
当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2合适;
当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4合适;
当a=6∈A时,6-a=0?A.
综上所述,a=2或4.
答案:D
解析:解方程组得或故集合为{(-1,1),(0,0)}.
答案:B
解析:因为集合中的第n项的分母为n,分子为2n+1,所以集合用描述法可表示为.
答案:D
解:集合中的元素为点(x,y),故函数y=x2的图象上的所有点组成的集合为{(x,y)|y=x2}.
?
解:(1)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=2k,k∈Z,且|x|<1
000}.
(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|y=0,且x∈R}.
【解题模型示范】
解:由题意,知集合A中有两个元素,则关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根,把其中一个根x=1代入方程,得a-3+2=0,所以a=1,所以方程ax2-3x+2=0为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.所以集合A={1,2}.
?
解:因为集合{x|ax2+x=0}有两个元素,所以关于x的方程ax2+x=0有两个根,所以所以a<,且a≠0.所以解ax2+x=0,得x=0或x=-.所以集合{x|ax2+x=0}的两个元素为0和-.
解:由A={2},知22+2(a-1)+b=0,且Δ=(a-1)2-4b=0,
解得a=-3,b=4.
所以方程x2-(3-a)x-a+b-2=0即x2-6x+5=0,变形,
得(x-1)(x-5)=0,
解得x=1或x=5,所以集合B={1,5}.
?(共24张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
任意一个元素都是集合B中的元素
A?B(或B?A)
A包含于B(或B包含A)
x∈B,且x?A,
A?B(或B?A)
A?A
?
封闭曲线的内部
提示:符号“∈”反映了元素与集合的关系;符号“?”反映了集合与集合之间的关系.
提示:集合A中的元素一定是集合B中的元素,但集合B中的元素不一定是集合A中的元素.
?
解析:因为集合A={0,1,2},所以0∈A,选项A错误,选项B正确,选项C,D是集合与集合之间的关系,错用元素与集合的关系符号,所以选项C,D错误.
答案:B
解析:因为集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},
所以集合Q中的元素都在集合P中,所以Q?P.
答案:C
任何一个元素
任何一个元素
A=B
A?B
B?A
不含任何元素
?
空集是任何集合的子集
提示:不是,空集只有子集,没有真子集.
解析:A,B,C项显然不符合题意,空集与集合的关系不能用∈表示,D项符合题意.
答案:D
解析:因为A={1,-m},B={1,m2},且A=B,所以m2=-m,解得m=-1
或m=0.m=-1不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
0
解析:?表示空集,没有元素,{0}有一个元素,则?≠{0},故①错误;因为空集是任何集合的子集,故②正确;?和{0}都表示集合,故③错误;0表示元素,{0}表示集合,故④错误;0∈{0},故⑤正确;{1},{1,2,3}都表示集合,故⑥错误;{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素,故⑦正确;易知{a,b}?{b,a},故⑧正确.综上,正确的个数是4,故选D.
答案:D
解:由已知A=B,得①或②
解①,得或解②,得或
由集合中元素的互异性,得或
解析:由题意解方程x2+2x=0,得x=0或x=-2,所以B={-2,0}.又因为A={-2,0,2},所以A?B,B?A,故选B.
答案:B
解析:因为集合A={x|x>1},0是一个元素,元素与集合之间是属于或者不属于关系,故A项错误;
0>1不成立,所以{0}?A不正确,故B项错误;
空集是任何集合的子集,故C项正确;
集合与集合之间的关系不能用∈表示,故D项错误.
答案:C
解析:因为B?A,所以x2=4或x2=x,所以x的值可以是±2
或1或0.根据集合元素互异性,得x的值为±2或0.
答案:B
解析:由题意可得满足{1}?A?{1,2,3}的集合A可能为{1},{1,2},{1,3}或{1,2,3},共4个.
答案:C
解析:因为B={a,a2},所以a≠a2.又因为A={-1,0,1},且B?A,所以a=-1.
解析:因为集合A中共有3个元素,所以集合A的真子集的个数为23-1=7.
7
答案:A
解析:因为B?A,所以A≠?,因此可得解得≤a≤1,所以a的取值范围为≤a≤1.
≤a≤1
解析:因为B?A,
①当B=?时,满足B?A,则2a>a+2,解得a>2;
②当B≠?时,则或
即a≤-3或a=2.
综上所述,实数a的取值范围为a≤-3或a≥2.
a≤-3或a≥2
解析:由题意,得A={x|x2-x-2=0}={-1,2},又由集合B={x|ax-1=0},且B?A,
得当B=?时满足题意,此时a=0;
当B≠?,即a≠0时,此时B=,
要使得B?A,则=-1或=2,解得a=-1或a=.综上可知,实数a的值为0,-1,.
0,-1,(共21张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
A∪B
{x|x∈A,或x∈B}
提示:A∪B={x|x∈A,或x∈B}包含三种情况:
①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.
解析:设集合A={1,2},B={2,3,4},则A∪B={1,2,3,4},有4个元素,而不是5个元素.
答案:×
解析:如{1,2,3}∪{2,4}={1,2,3}∪{4},但{2,4}≠{4}.
答案:×
解析:如图,A∪B=A,则B?A.
答案:√
A∩B
{x|x∈A,且x∈B}
提示:根据交集的定义有:A∩B?A,A∩B?B.
解析:因为A={1,2,3},B={2,3,6},所以A∩B={2,3}.
答案:B
解析:取集合A,B的公共部分,得A∩B={x|0
?
{x|0答案:C
解析:因为P={x|-1Q=,所以P∪Q={x|-2答案:B
解析:由并集的定义可得A∪B={-1,0,1,2,3,4},结合交集的定义可知(A∪B)∩C={-1,0,1}.
答案:C
解析:因为A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},所以A∩B={-1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.
?
{1,6}
解析:根据集合交集中元素的特征可以求得A∩B={0,2},故选A.
答案:A
解析:利用数轴可知A∩B={x|-2答案:A
解析:因为A∩B=?,所以a>2.
a>2
解:(1)当m=3时,A={x|1因为B={x|3(2)因为A∩B=A,所以A?B,
所以解得5≤m<6.(共23张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
所有元素
U
不属于
全集U
?UA
?
?
U
A
U
提示:根据补集的定义,?UA={x|x∈U,且x?A},故A∩
(?UA)=?
提示:①A是U的一个子集,即A?U.A可以是?,也可以是U.
②?UA表示一个集合,且?UA?U.
③?UA与A之间没有公共元素.
解析:全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,因研究问题而异,故全集不一定是R.
答案:×
解析:根据补集的定义可知此说法正确.
解析:?UA={x|x≤2}.
答案:×
答案:√
解析:A选项,由题意,得A∩B={0,1},正确;B选项,
?UB={2,4},不正确;C选项,A∪B={0,1,3,4},正确;D选项,集合A的真子集个数为23-1=7,不正确.所以选A、C.
答案:AC
解析:由题意可得全集U={1,2,3,4,5,6},
因为集合A={1,2,4},所以?UA={3,5,6}.
答案:B
解析:用数轴表示,集合A为图中阴影部分.
故?UA={x|x≤2或x>5}.
{x|x≤2或x>5}
解析:在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.又因为A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},所以?UA={-5,-4,3,4},
?UB={-5,-4,5}.
{-5,-4,3,4}
{-5,-4,5}
解:(1)因为集合A={x|-3≤x≤2},B={x|1≤x≤4},所以A∩B={x|1≤x≤2}.
(2)因为?RA={x|x<-3,或x>2},
所以(?RA)∪B={x|x<-3,或x≥1}.
解:因为集合A={x|2≤x<4},B={x|2x-7≥8-3x}={x|x≥3},所以A∩B={x|3≤x<4}.
因为?RB={x|x<3},所以A∪(?RB)={x|x<4}.
解:全集U={x∈N|1≤x≤6}={1,2,3,4,5,6},
集合A={x|x2-6x+8=0}={2,4},集合B={3,4,5,6}.
(1)A∩B={4},A∪B={2,3,4,5,6}.
(2)因为?UA={1,3,5,6},所以(?UA)∩B={3,5,6},它的所有子集是?,{3},{5},{6},{3,5},{3,6},{5,6},{3,5,6},共8个.
?
解:由B={x|-2-x≤0≤5-x}={x|-2≤x≤5},
所以?UB={x<-2,或x>5}.
因为C∩(?UB)=C,
所以C??UB.
①当C=?时,满足题意,此时a>2-a,
所以a>1.
②当C≠?时,此时有或无解.
综上,a>1.
解析:因为?RB={x|x<1,或x>2},且A∪(?RB)=R,所以a≥2.
a≥2(共16张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
[学习目标] 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
3.能初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,提升逻辑推理素养.
一、充分条件与必要条件
[知识梳理]
1.命题及其相关概念
(1)命题:一般地,把用语言、符号或式子表达的,可以
叫做命题.
(2)真命题:
的语句是真命题.
(3)假命题:
的语句是假命题.
判断真假的陈述句
判断为真
判断为假
2.充分条件与必要条件的概念
若p,则q为真命题
↓
p?q
↓
p是q的
,q是p的
.
充分条件
必要条件
提示:不唯一,如x>1,x>6都是x>0的充分条件;x>0,x>1都是x>6的必要条件.
提示:如果q不成立,那么p一定不成立.如x>1是x>6的必要条件,若x≤1,则x>6一定不会成立.
提示:p?q说明命题“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,如果“若p,则q”为假,那么应记作“p?q”.
[基础测试]
判断.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)“x>0”是“x>1”的充分条件.
( )
(2)若x2=36,则x=6.
( )
(3)“x>1”是“x>0”的充分条件.
( )
(4)若x≠0,则xy≠0.
( )
答案:×
答案:×
答案:√
答案:×
解析:由“A={0}”可推出“A∩{0,1}={0}”,由“A∩{0,1}={0}”不能推出“A={0}”.故“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件
必要不充分
解:(1)由a<1不一定能得到>1(如a=-1);
但当>1时,有0所以p是q的必要不充分条件.
(2)解不等式x(x+1)>0可得x>0或x<-1,
所以由“x>0”能推出“x>0或x<-1”;
由“x>0或x<-1”不能推出“x>0”,
所以p是q的充分不必要条件.
解析:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).设p对应的不等式的解集为A,q对应的不等式的解集为B.因为p是q的充分不必要条件,所以A?B.所以或解得m≥9,即实数m的取值范围是m≥9.
m≥9
解析:p:x2+x-6=0,即x=2或x=-3.
q:ax+1=0,当a=0时,方程无解;当a≠0时,x=-.由题意,知p?/q,且q?p,故a=0舍去;当a≠0时,应有-=2或-=-3,解得a=-或a=.
综上可知,a=-或a=.
-或
解析:设q,p对应的不等式的解集为集合A,B,则A=
{x|2因为q是p的充分不必要条件,所以A?B,
即或解得-1≤a≤6.
-1≤a≤6(共20张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
若q,则p
p?q
q?p
p?q
充分条件
必要条件
充要条件
提示:是,p与q互为充要条件.
提示:“?”表示“等价”的意思.
答案:√
答案:√
答案:√
答案:CD
证明:充分性:将m=1代入方程x2-4x+4m=0,
得x2-4x+4=0,解得x=2,为整数根;
将m=1代入方程x2-4mx+4m2-4m-5=0,
得x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1,为整数根,
所以m=1是两个方程的根都是整数的充分条件.
解析:由A∩B=?,得
解得0≤a≤2.
答案:A
解:因为关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根,所以当a=0时,x=-,满足题意;
当a≠0时,设两根分别为x1,x2,则
或
解得a<0或0综上,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件为a≤1.
解:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的等价条件为即ac<0.
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
解:因为关于x的方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根,且x1+x2=-<0,所以只需
即解得0所以方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根的充要条件是0解析:函数的图象与y轴交于负半轴,则c<0.
c<0
解析:当m=0时,方程为-x+2=0,解得x=2;
当m≠0时,方程为一元二次方程,设x1,x2是方程的根,则x1+x2=,由x1+x2=2,得=2,解得m=-或1.当m=-或1时,Δ=(m+1)2-8m2<0,即当m=-或1时,方程无实数根.故当m=0时符合题意.
m=0(共26张PPT)
第三章
函数的概念与性质
非空的实数集
任意一个数x
唯一确定的数y
f：A→B
y=f(x),x∈A
取值范围A
{f(x)|x∈A}
提示:定义域，对应关系和值域。起决定作用的是定义域和对应关系。
提示:集合A,B都是非空的实数集.
?
解析:函数的定义域或值域也可能是有限集,如f(x)=1.
答案:×
解析:根据函数的定义,对于定义域中的任意一个x,在值域中都有唯一确定的y与之对应.
答案:×
解析:在函数的定义中,函数的值域是集合B的子集.
答案:×
[a,b]
(a,b)
[a,b)
(a,b]
[a,+∞)
(a,+∞)
(-∞,b]
(-∞,b)
提示:若a,b是区间的左右端点,则a提示:不是任何数集都可以用区间表示,如集合{0}就不可以用区间表示.
[2
021,+∞)
(-∞,2]∪(3,+∞)
答案:D
答案:D
解析:根据函数的定义,知如果y是x的函数,那么x每确定一个值,y就随之确定一个值.对照选项,可知只有B项不符合此条件.故选B.
答案:B
①④
解:
(1)f(2)=
,g(2)=22+2=6.
(2)f(g(2))=f(6)=
.
解析:由g(b)=18,得b2+2=18,解得b=±4.
解析:因为f(x)=x2+x+1,所以f(
)=2+
+1=3+
3+
±4
解析:因为f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,所以f(f(-1))=a(a-1)2-1=-1.
所以a(a-1)2=0,所以a=1或a=0(舍去).
答案:A
解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤1,且x≠-1,
即函数的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.
(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤5,且x≠±3,
即函数的定义域为{x|x≤5,且x≠±3}.(共22张PPT)
第三章
函数的概念与性质
提示:没有影响.理由:自变量和对应关系用什么字母表示与函数无关.
答案:×
答案:√
答案:×
答案:A
③⑤
解析:
(分离常数法)y=
=
=2+
,显然
≠0,所以y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(-∞,2)∪(2,+∞)
解析:因为y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,所以当x=-1时,y取得最大值6,所以函数y=-x2-2x+5的值域为(-∞,6].
(-∞,6]
{6,5,2,-3}
[-3,6]
解析:因为x2≥0,1+x2≥1,所以0<
≤1.
答案:B
解析:作出函数f(x)=x2-2x,x∈[0,b]的图象,如图所示.
由图可知,区间右端点必为函数最大值的对应点,所以f(b)=3,即b2-2b=3,
所以b=-1或b=3.
又因为-1?[0,b],
所以b=3.
3
解析:因为x∈[-2,3],
所以2x-3∈[-7,3],
即函数y=f(x)的定义域为[-7,3].
令-7≤x+2≤3,
解得-9≤x≤1,
所以函数y=f(x+2)的定义域为[-9,1].
[-9,1]
解析:由题意可得
解得3≤x≤5,
所以g(x)的定义域为[3,5].
[3,5](共32张PPT)
第三章
函数的概念与性质
数学表达式
图象
表格
提示:不一定.有些函数三种表示方法可以相互转化.
解析:因为当2答案:C
解析:把点(0,-1)代入四个选项可知,只有B项正确.
答案:B
解析:由图象可知f(x)的定义域为[-2,3].
[-2,3]
解析:由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓.又因为纵轴表示距离学校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.
答案:D
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
解析:因为g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.
f(g(x))和g(f(x))与x相对应的值如下表所示:
所以f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
1
2
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
解:①列表法如下:
解:(1)因为|x|≤2,x∈Z,
所以x∈{-2,-1,0,1,2}.
所以函数的图象为直
线y=1-x上的孤立点.
如图所示.
解析:设f(x)=kx+b(k≠0),由f(0)=1可得b=1,则f(x)=kx+1(k≠0).
因为f(x+1)-f(x)=2,
所以k(x+1)+1-(kx+1)=2,解得k=2.
所以f(x)=2x+1.
?
f(x)=2x+1
解析:方法1 因为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6,
所以f(x)=x2-5x+6.
方法2 令t=x+1,则x=t-1,
所以f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6.
所以f(x)=x2-5x+6.
?
x2-5x+6