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22.1 平行四边形的性质（2）
01 基础题
知识点 平行四边形的对角线互相平分
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是(
)
A．相等
B．互相平分
C．互相垂直
D．互相垂直且相等
2．(2019·石家庄模拟)证明：平行四边形对角线互相平分．
已知：四边形ABCD是平行四边形，如图所示．求证：AO＝CO，BO＝DO.
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是(
)
①∴∠ABO＝∠CDO，∠BAC＝∠DCA.②∵四边形ABCD是平行四边形．③∴AB∥CD，AB＝CD.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA＝OC，OB＝OD.
A．②①③④⑤
B．②③⑤①④
C．②③①④⑤
D．③②①④⑤
3．(2020·益阳)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O.若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是(
)
A．10
B．8
C．7
D．6
4．(教材P122习题A组T3变式)(2020·重庆)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，则∠ACB＝
．
(2)求证：AE＝CF.
5．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有(
)
A．7对
B．6对
C．5对
D．4对
02 中档题
6．(2020·河北期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC.若AB＝8，AC＝12，则BD的长是(
)
A．22
B．16
C．18
D．20
7．(2020·邢台桥东区月考)如图，在周长为26
cm的?ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为(
)
A．4
cm
B．6
cm
C．8
cm
D．13
cm
8．(2020·保定定兴县期末)如图所示，平行四边形ABCD的周长为60厘米，对角线相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8厘米，则AB，BC的长分别为
厘米、
厘米．
9．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，求AE的长．
03 综合题
10．如图，在平面直角坐标系中，?OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B(6，2)，C(4，0)，直线y＝2x＋1以每秒1个单位长度的速度向下平移，经过
秒该直线可将?OABC的面积平分．
22.1 平行四边形的性质（2）（答案）
01 基础题
知识点 平行四边形的对角线互相平分
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是(B)
A．相等
B．互相平分
C．互相垂直
D．互相垂直且相等
2．(2019·石家庄模拟)证明：平行四边形对角线互相平分．
已知：四边形ABCD是平行四边形，如图所示．求证：AO＝CO，BO＝DO.
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是(C)
①∴∠ABO＝∠CDO，∠BAC＝∠DCA.②∵四边形ABCD是平行四边形．③∴AB∥CD，AB＝CD.④∴△AOB≌△COD.⑤∴OA＝OC，OB＝OD.
A．②①③④⑤
B．②③⑤①④
C．②③①④⑤
D．③②①④⑤
3．(2020·益阳)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O.若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是(D)
A．10
B．8
C．7
D．6
4．(教材P122习题A组T3变式)(2020·重庆)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，则∠ACB＝40°．
(2)求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴AE＝CF.
5．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有(A)
A．7对
B．6对
C．5对
D．4对
02 中档题
6．(2020·河北期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC.若AB＝8，AC＝12，则BD的长是(D)
A．22
B．16
C．18
D．20
7．(2020·邢台桥东区月考)如图，在周长为26
cm的?ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为(D)
A．4
cm
B．6
cm
C．8
cm
D．13
cm
8．(2020·保定定兴县期末)如图所示，平行四边形ABCD的周长为60厘米，对角线相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8厘米，则AB，BC的长分别为19厘米、11厘米．
9．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，求AE的长．
解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2.
∵AB＝，∴AB2＋AO2＝BO2.∴∠BAC＝90°.
∵在Rt△BAC中，
BC＝＝＝，
S△BAC＝AB·AC＝BC·AE，
∴×2＝AE.∴AE＝.
03 综合题
10．如图，在平面直角坐标系中，?OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B(6，2)，C(4，0)，直线y＝2x＋1以每秒1个单位长度的速度向下平移，经过6秒该直线可将?OABC的面积平分．
解：∵平移后的直线将?OABC的面积平分，∴直线过对角线的交点(3,1)
设平移后的直线的表达式为y=2x+b，把（3，1）代入，得1=2×3+b，解得b=-5
∴平移的时间t=1-（-5）=6
∴经过6秒直线可将?OABC的面积平分
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22.1平行四边形的性质（2）
冀教版
八年级下
学习目标
1.探索并掌握平行四边形对角线性质；
2.灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
3.通过证明平行四边形的性质定理的过程，
进一步理解几何证明的意义.
新课导入
小明用几根小棒搭成一个有两条对角线的平行四边形,他先找到一根长6
cm与一根长8
cm的小棒作为平行四边形的两条对角线，然后他又找到了长分别为5
cm，8
cm，12
cm的三种小木棒，其中有几种小棒可以用来作为平行四边形的边?为什么?你自己动手搭一搭，如果一根小棒可以用来作为这个平行四边形的一边，那么它的长度应该在什么范围内?
(1)什么是平行四边形?
(2)平行四边形的边、角有何特征?
(3)如何得出平行四边形的边与角的性质?
知识回顾
活动1 平行四边形对角线的性质
观察如图所示的平行四边形ABCD.
(1)由图可以发现平行四边形的边与角的关系.
即AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠CDA.
(2)寻找OA和OC,OB和OD的长度之间的数量关系.
小组讨论：能用什么方法证明你的结论?
①用刻度尺分别量出OA和OC,OB和OD的长度,并进行比较;
②用折叠的方法;
③复制平行四边形ABCD,用上一节的办法将OA绕着对角线的交点旋转180°后与OC重合,同理OB与OD重合.
结论:平行四边形的对角线互相平分.
如何证明这个定理呢，请同学们写出推理过程！
已知:如图所示,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
求证OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠BAO=∠DCO.
又∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD.
∴OA=OC,OB=OD.
平行四边形的性质定理:平行四边形的对角线互相平分.
几何语言:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
活动2 例题讲解
(教材第120页例2) 已知:如图所示,O为?ABCD两条对角线的交点,AC=24
mm,BD=38
mm,BC=28
mm,求△OAD的周长.
解:在?ABCD中,
∵AC=24
mm,BD=38
mm,
又∵BC=28
mm.
∴AD=BC=28
mm.
∴△OAD的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm).
（教材第120页例3） 已知:如图所示,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,交DA于点E,交BC于点F.
求证OE=OF,AE=CF,DE=BF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC与BD相交于点O,
∴OA=OC,∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF,AE=CF.
又∵AD=CB,
∴DE=AD-AE=CB-CF=BF.
若例3中的条件都不变,将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图所示,例3的结论是否成立?说明你的理由.
检测反馈
1.如图所示,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中全等三角形的对数为
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC.在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB(SAS);同理可得△AOB≌△COD(SAS);在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS);同理可得△ACD≌△CAB(SSS).∴图中共有4对全等三角形.故选D.
D
2.如图所示,平行四边形的一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为
( )
A.4
B.14C.12D.8解析:∵BC=10,AC=6,∴OC=AO=3,BD=2OB,∴10-3B
3.如图所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是
( )
A.AO=OD
B.AO⊥OD
C.AO=OC
D.AO⊥AB
C
解析:根据平行四边形的对角线互相平分,可知选C.
4.(2016·泸州中考)如图所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是
( )
A.10
B.14
C.20
D.22
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,DC=AB=6.∵AC+BD=16,∴AO+BO=8,
∴△ABO的周长是14.故选B.
B
5.如图所示,?ABCD的周长为20
cm,AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△CDE的周长为
( )
A.6
cm
B.8
cm
C.10
cm
D.12
cm
C
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,OA=OC.∵?ABCD的周长为20
cm,∴AD+DC=10
cm.又∵OE⊥AC,∴AE=CE,∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10(cm).故选C.
6.如图所示,在?ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF,
分别交DA的延长线和BC的延长线于点E,F,交AB,CD于点M,N.
(1)观察图形找出一对全等三角形,并加以说明;
(2)在(1)中你所找出的全等三角形中,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样变换得到的?
解:(1)答案不唯一,如:①△DOE≌△BOF.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠EDB=∠FBD,∠E=∠F.
由题意知OD=OB,
∴△DOE≌△BOF(AAS).
②△BOM≌△DON.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠MBO=∠NDO,∠BMO=∠DNO.
由题意知BO=DO,
∴△BOM≌△DON(AAS).
(2)(答案不唯一)△BOM绕点O旋转180°得到△DON.
7.如图所示,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,MN是过O点的直线,交BC于M,交AD于N,BM=2,AN=2.8,求BC和AD的长.
解析:根据平行四边形的性质得OA=OC,根据平行线的性质,得∠OAN=∠OCM,结合对顶角相等即可证明△AON≌△COM,则AN=CM=2.8,最后求解.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD,OA=OC,AD∥BC,
∴∠OAN=∠OCM.
在△AON与△COM中,
∴△AON≌△COM.
∴AN=CM=2.8.∴BC=AD=4.8.
平行四边形的性质定理2
平行四边形的对角线互相平分
课堂小结
作业布置
课本121页A组1、2、3题
B组1、2题
谢谢
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