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18.2股定理的逆定理
自主学习
(1)如果两个命题的题设与结论正好相反,那么这两
题叫做
如果把其中
做原命题
另
做它的
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也
定理,称这两个定理互为
如果三角形的三边长
两
那么
角形是
角
够成为直角三角形三边长的
称为
勾股数
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写出下列命题的逆命题,并判断其是否正确
(1)如果
么
(3)线段中垂线上的点到线段两端距离相等
路导
清已知命题的
将题设和结论互换
判断
题设和结论
得到其逆命题
具
技巧总结】
题的逆命题关键是分清它的
设和结论,然后交换其位置,判断
题为真命十
题要证明,是假命题只要举出反例说明即可
列命题的逆命题正确的是
角相等
B.两直线平行,内错角相等
角的补角相等
D.同位角相
题的逆命题,并判断逆命题的真假性
(1)如果
那么
(2)如果
那么
(3)等腰三角形的两底角相等
边长
满足
试判断
的形状
思路导
求出三边a、b、c的长
用勾股定理逆定理
判断三角形的形状
列三角形中,是直角三角形的是
技巧总结】运用勾股定理的逆定理判断三角形的
状的步骤:①确定最大边;②算出最长边的平方,另
两边的平方和:③比较最长边的平方与另两边的平方
和是否相等,若相等则说明是直角三角
直角三角形
已知
是三边长分别为
的
积为
A.30
B.60
D.不能确
在
其中m、n是
正整数,且灬>n,试判断
是否是直角三角形
例1:解:(1)逆命题:如
确
)逆命题:到线段两
离相等的点在线段的
线
确
解
假命题
那么
真命题
有两个角相等的三角形是等腰三角形;真命题
例2:解:由a2+2+2+338=10a+24b-+26c,
得a-10a+25+b-24b+144+c-26c+169=0.
即(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2
5.b=12
13
∵52+122=132.目
∴△ABC是直角三角形
根据题
勾股定理
定理
为直角
的面积
解
整数
角三角形
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勾股定理是将直角三角形由图形关系转化为边长之
的数量关系,它的逆定理则是将数量关系转化为图形关
系.勾股定理及其逆定理沟通了直角三角形数与形的关
系
如图
边上的
试判断
的形状
导引:由
边上的高可得两个直角三角
据此可以得到与
的边长有关的数量关系,再
对等式进行变形可得所需要的数量
进而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状
正方形
中(如图
为DC的中
为
且
求证
有一块如图
的地,已知
求这块地的
在利用勾股定理计算
先利用转化的数学思想构
造出直角三角形,解决实际应用问题的关键是建立数学模
型.先准确抽象出几何图形,然后运用相关的数学知
解决.通常对任意三角形作高,将其转化成直角三角
或将几何体展开转化成平面图形来求解
例2:如图18
旁有一座山,现有C处
需要爆破,已知
的停靠站A距离为300
的另一停靠站B距离为400m,且
为
安全起见,距爆破￠点250m范围内不得进入,问在进
行爆破时,AB段公路是否需要暂时封锁
导引:要判断公路
要封锁,需要计算
到A乃的距离是否
0m,如果
不需要
封锁
需要封锁
又
根据勾股定理
定理,可得
直角三角形
所求图形的面积
如图
长方体的长为15,宽为10,高为20,
离点C的距离为
蚂蚁如果要沿着长方体的表
从点
需要爬行的最短距离是(
图1
如图
直角三角形
斜边BC的中
分别是
边上的点,且
求线段下F的长
例1:解:因为
边上的高
所在在又所
中,由勾股定理,得
勾股定理,得
又因
由勾股定理的逆定理,得
是直角三角形
方形
边长为
勾股定理
在在在
勾股定理
勾股定理,得FF
勾股定理的
理,可知
为直角三角形
为最大边
解:如图5,连接AC,四边形
的面积变成
的面积与
的面积之差
根据勾股定理,得
例2:解:过
于
根据勾股定理
所以
因为
所
2
因
的距离
所以爆破时有危险,AB段公路需要暂时封锁
解:连接
又因为
的中线,所
因为
所所
所以
同理
在Rt△AFF中,根据勾股定理,得下F=A+AF
所
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4
如果直角三角形的两边长分别为
斜边长为
那么
即直角三角形中,两直角边的平
方和等于斜边的平方
探究:如图
在
中
图18-1
(1)若已知
斜边
(2)若已知
(3)若已知
(4)若已知
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已知在
中
则斜边
在那
中
其中
时
如果直角三角形的两直角边长分别为
那么它的斜边长是
例2:飞机在空中水平
某一时刻刚好飞机飞到
正上方4000米处,过20秒,飞机距离这
男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米
思路导引
根据勾股定理求出
求出每
0秒飞行的路程
飞行的路
技巧总结】勾股定理的作用
知直角三角形
的任意两边长,求第三边长;②证明三角形中的某
线段的平方
作出长为√的线段;④解决
实际问题
如图
阴影部分是两个正方形,其
个正方形和两个直角三角形,则阴影部分的面积为
图
如图
方向开山修渠,为了加快施工进
度,要在小山的另一边同时施工.从
的一点B取
如果要使
成一直线,求开挖点下离刀的距离(精确到
A B C
E
135°
±45
D
图18-1-4
2:解:如图
角三角形
千米
米
千米,由勾殷定理
千米
机20秒飞行3千米,那么它
行的距离为3600÷20×3=540(千米)
故飞机每小时飞行540千米
64点拔:由题意,知大正方形的
阴影部分的面积等于大正方形的面积,故阴影部分
积
4.解:因为∠A乃D=135,所以∠CB=45°
又∠D=45,若A、C、F在同一直线上,
则△BDE是等腰直角三角形,即BE=DE
在Rt△BDF中,由勾殷定理,得
+刀=B,即2n2=5202,
即=520×260,所以TF≈368
所以开挖点F离的距离约为368m
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