1.1命题及其关系教师版
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1.1 命题及其关系
（一）、四种命题的概念：（结合“两直线平行，内错角相等”加深印象）
1. 命题的概念：
①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题.
上述6个语句中，均是命题.
②真命题：判断为真的语句叫做真命题；假命题：判断为假的语句叫做假命题.
2、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
原命题：若则，逆命题：若则。
3、互否命题：
如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
原命题：若则，否命题：若则。（表示对的否定）
4、互为逆否命题：
如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定。那么这两个命题叫做互为逆否命题.
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
原命题：若则，逆否命题：若则。
（二）、四种命题的联系：
1、四种命题的关系：
原命题若则 逆命题若则
否命题若则 逆否命题若则
2、四种命题真假的联系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
结论（1）在判断命题的真假过程中具有“特别作用”，即某一命题真假的判断（或证明）不易做出时，可以转而判断（或证明）其逆否命题的真假。
例：利用结论（1）证明（1）若，则；（2）若，则.
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；
本课引例“若是正弦函数，则是周期函数”的逆与否命题均为假，而“两直线平行，内错角相等” 的逆与否命题均为真.
（三）、补充：常见词语的否定：
词语 是 等于 大于(＞) 都是 所有的… 任意一个… 至少一个…
否定 不是 不等于 不大于(≤) 不都是 至少一个不… 某个不… 一个也没有…
理解：从集合的角度看，否定即为求补集运算.
举例：都是0，其否定为不都是0，而非都不是0！原因在于全集中含有，，以及四个元素
（四）、补充例题与练习：
【例1】.下列句子或式子是命题的有（ ）个．
①语文和数学；②；③；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．
Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个
【例 2】命题“若，则与成反比例关系”的否命题是（ D ）.
A．若，则与成正比例关系 B.若 ，则与成反比例关系
C.若与不成反比例关系，则 D.若，则与不成反比例关系
【例 3】下列命题中,否命题为假命题的是（ C ）.
A.若同位角相等,则两直线平行 B.若与全为 0,则且
C.若方程有实根,则 D.若, 则
【例 4】已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆
否命题中，真命题的个数是（ B ）.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
【例 5】设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若则”形式为________．它的逆命题为________，
否命题为________，逆否命题为________．
【例 6】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)两条平行线不相交； (2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；(3)若，则.
解：(1)逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，为真命题．
否命题：若两条直线不平行，则它们相交, 为真命题．逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行, 为真命题．
(2)逆命题：若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等，为真命题．
否命题：若平行四边形两条对角线相等，则它是矩形，为真命题．
逆否命题：若平行四边形为矩形，则它的两条对角线相等，为真命题．
(3)逆命题：若，则，为假命题．否命题：若，则，为假命题．
逆否命题：若，则，为假命题．
【例7】.设命题为“若，则关于的方程有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．
【例8】证明：若，则：
【基础达标】
1．对以下四个命题判断正确的是
(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数被5整除．
(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这自然数末位数字为零．
(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被5整除．
(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数末位数字不为零．
A．(1)与(3)为真，(2)与(4)为假B．(1)与(2)为真，(3)与(4)为假
C．(1)与(4)为真，(2)与(3)为假D．(1)与(4)为假，(2)与(3)为真.
2.下列语句中是命题的有 ，其中真命题的有_____________.
① “等边三角形是等腰三角形.”；② ；③ ④ 一个数不是正数就是负数；
⑤ “大角所对的边大于小角所对的边”；⑥ “为有理数，则也是有理数”.
3.命题“若，则中至少有一个为零”的逆否命题为___________
※能力提高
4.按要求写出下列命题并判断真假.
(1)“若，则中至少有一个为零”的否命题．(2)“若，则”的逆命题．
5.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1) 若，则； （2) 若两个三角形全等，则两三角形的面积相等；
（3) 等腰三角形两底角相等； （4) 若，则.
6.已知函数在上为增函数，,对于命题：“若，则“.”
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.
8、若“或”是假命题，则的范围是___________。
9．(2010年高考天津卷理科3)命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是
（A）若是偶函数，则是偶函数（B）若不是奇函数，则不是奇函数
（C）若是奇函数，则是奇函数（D）若是奇函数，则不是奇函数
【答案】B
10.（2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
【答案】B
11、（07渝）命题“若，则”的逆否命题是（ D ）
A．若，则或 B.若，则
C.若或，则 D.若或，则
12.命题““是指( ).
( A)至少一个不是0 (B) 至多两个不是0
(C) 至少一个不是0 (D) 没有一个是0
13.下列命题是真命题的为 ( )
A.若＝，则x＝y B.若x2＝1，则x＝1
C.若x＝y，则＝ D.若x＜y，则x2＜y2
14.有下列四个命题，其中真命题有：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.
其中真命题的序号为 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
15.(2009·重庆高考)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( )
A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
16.原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
17. 命题“若则”的逆否命题是( )
(A)若则 (B)若则
(C) 若则 (D)若则
18. 命题“若则是等边三角形”的否命题是( )
(A)假命题 (B)与原命题同真同假
(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假
19. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
(A)能被3整除的整数，一定能被6整除
(B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除
(C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除
(D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除
20. 以下说法错误的是( )
(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
(B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
(D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
21. 下列四个命题:
⑴“若则实数均为0”的逆命题；
⑵ “相似三角形的面积相等“的否命题 ;
⑶ “”逆否命题;
⑷ “末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题 ，其中真命题为( )
(A) ⑴ ⑵ (B)⑵ ⑶ (C)⑴ ⑶ (D)⑶ ⑷
22. 若命题是的逆命题是，命题的否命题是，则是的（ ）
Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对
23.命题“若，则或”的逆否命题是 ，是 命题.
24、.给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是 .
【自我评价】
1、原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )
(A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题
(C)否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题
2．命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题为（ ）
A．a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数
B．a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数
C．a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数
D．a、b都不是偶数，则a＋b不是偶数
3．下列命题中，正确的是（ ）
①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题 ②“全等三角形是相似三角形”的否命题 ③“若m＞1，则mx2－2（m＋1）x＋（m－3）＞0的解集为R”的逆命题 ④若“a＋5是无理数，则a是无理数”的逆否命题
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
4、命题“若，则或”的逆否命题是 .
5、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
②当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．
6、若均为实数，且，，，
求证： 中至少有一个大于0
互逆
互逆
互 否
互 否
互
为
逆
互
为
逆
否
否
（一）、四种命题的概念：（结合“两直线平行，内错角相等”加深印象）
1. 命题的概念：
①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题.
上述6个语句中，均是命题.
②真命题：判断为真的语句叫做真命题；假命题：判断为假的语句叫做假命题.
2、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
原命题：若则，逆命题：若则。
3、互否命题：
如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
原命题：若则，否命题：若则。（表示对的否定）
4、互为逆否命题：
如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定。那么这两个命题叫做互为逆否命题.
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
原命题：若则，逆否命题：若则。
（二）、四种命题的联系：
1、四种命题的关系：
原命题若则 逆命题若则
否命题若则 逆否命题若则
2、四种命题真假的联系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
结论（1）在判断命题的真假过程中具有“特别作用”，即某一命题真假的判断（或证明）不易做出时，可以转而判断（或证明）其逆否命题的真假。
例：利用结论（1）证明（1）若，则；（2）若，则.
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；
本课引例“若是正弦函数，则是周期函数”的逆与否命题均为假，而“两直线平行，内错角相等” 的逆与否命题均为真.
（三）、补充：常见词语的否定：
词语 是 等于 大于(＞) 都是 所有的… 任意一个… 至少一个…
否定 不是 不等于 不大于(≤) 不都是 至少一个不… 某个不… 一个也没有…
理解：从集合的角度看，否定即为求补集运算.
举例：都是0，其否定为不都是0，而非都不是0！原因在于全集中含有，，以及四个元素
（四）、补充例题与练习：
【例1】.下列句子或式子是命题的有（ ）个．
①语文和数学；②；③；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．
Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个
【例 2】命题“若，则与成反比例关系”的否命题是（ D ）.
A．若，则与成正比例关系 B.若 ，则与成反比例关系
C.若与不成反比例关系，则 D.若，则与不成反比例关系
【例 3】下列命题中,否命题为假命题的是（ C ）.
A.若同位角相等,则两直线平行 B.若与全为 0,则且
C.若方程有实根,则 D.若, 则
【例 4】已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆
否命题中，真命题的个数是（ B ）.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
【例 5】设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若则”形式为________．它的逆命题为________，
否命题为________，逆否命题为________．
【例 6】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)两条平行线不相交； (2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；(3)若，则.
解：(1)逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，为真命题．
否命题：若两条直线不平行，则它们相交, 为真命题．逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行, 为真命题．
(2)逆命题：若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等，为真命题．
否命题：若平行四边形两条对角线相等，则它是矩形，为真命题．
逆否命题：若平行四边形为矩形，则它的两条对角线相等，为真命题．
(3)逆命题：若，则，为假命题．否命题：若，则，为假命题．
逆否命题：若，则，为假命题．
【例7】.设命题为“若，则关于的方程有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．
【例8】证明：若，则：
【基础达标】
1．对以下四个命题判断正确的是
(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数被5整除．
(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这自然数末位数字为零．
(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被5整除．
(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数末位数字不为零．
A．(1)与(3)为真，(2)与(4)为假B．(1)与(2)为真，(3)与(4)为假
C．(1)与(4)为真，(2)与(3)为假D．(1)与(4)为假，(2)与(3)为真.
2.下列语句中是命题的有 ，其中真命题的有_____________.
① “等边三角形是等腰三角形.”；② ；③ ④ 一个数不是正数就是负数；
⑤ “大角所对的边大于小角所对的边”；⑥ “为有理数，则也是有理数”.
3.命题“若，则中至少有一个为零”的逆否命题为___________
※能力提高
4.按要求写出下列命题并判断真假.
(1)“若，则中至少有一个为零”的否命题．(2)“若，则”的逆命题．
5.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1) 若，则； （2) 若两个三角形全等，则两三角形的面积相等；
（3) 等腰三角形两底角相等； （4) 若，则.
6.已知函数在上为增函数，,对于命题：“若，则“.”
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.
8、若“或”是假命题，则的范围是___________。
9．(2010年高考天津卷理科3)命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是
（A）若是偶函数，则是偶函数（B）若不是奇函数，则不是奇函数
（C）若是奇函数，则是奇函数（D）若是奇函数，则不是奇函数
【答案】B
10.（2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
【答案】B
11、（07渝）命题“若，则”的逆否命题是（ D ）
A．若，则或 B.若，则
C.若或，则 D.若或，则
12.命题““是指( ).
( A)至少一个不是0 (B) 至多两个不是0
(C) 至少一个不是0 (D) 没有一个是0
13.下列命题是真命题的为 ( )
A.若＝，则x＝y B.若x2＝1，则x＝1
C.若x＝y，则＝ D.若x＜y，则x2＜y2
14.有下列四个命题，其中真命题有：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.
其中真命题的序号为 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
15.(2009·重庆高考)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( )
A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
16.原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
17. 命题“若则”的逆否命题是( )
(A)若则 (B)若则
(C) 若则 (D)若则
18. 命题“若则是等边三角形”的否命题是( )
(A)假命题 (B)与原命题同真同假
(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假
19. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
(A)能被3整除的整数，一定能被6整除
(B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除
(C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除
(D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除
20. 以下说法错误的是( )
(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
(B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
(D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
21. 下列四个命题:
⑴“若则实数均为0”的逆命题；
⑵ “相似三角形的面积相等“的否命题 ;
⑶ “”逆否命题;
⑷ “末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题 ，其中真命题为( )
(A) ⑴ ⑵ (B)⑵ ⑶ (C)⑴ ⑶ (D)⑶ ⑷
22. 若命题是的逆命题是，命题的否命题是，则是的（ ）
Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对
23.命题“若，则或”的逆否命题是 ，是 命题.
24、.给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是 .
【自我评价】
1、原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )
(A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题
(C)否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题
2．命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题为（ ）
A．a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数
B．a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数
C．a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数
D．a、b都不是偶数，则a＋b不是偶数
3．下列命题中，正确的是（ ）
①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题 ②“全等三角形是相似三角形”的否命题 ③“若m＞1，则mx2－2（m＋1）x＋（m－3）＞0的解集为R”的逆命题 ④若“a＋5是无理数，则a是无理数”的逆否命题
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
4、命题“若，则或”的逆否命题是 .
5、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
②当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．
6、若均为实数，且，，，
求证： 中至少有一个大于0
互逆
互逆
互 否
互 否
互
为
逆
互
为
逆
否
否