7.3.2多边形的内角和
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(共28张PPT)
第七章 三角形
7.3.2 多边形的内角和
重庆市开县西街中学 罗堂喜
7.3 多边形及其内角和
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
浙江金华兰溪诸葛八卦村
你能算出八卦图的内角和吗？
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
其它四边形的内角和是多少？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
（都是360°）
A
B
C
D
在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是 按照如图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和等于180°，得到四边形内角和等于360°。你能说明它的合理性吗？并且能否启发你借助辅助线找到解决其他多边形的方法吗？
四边形内角和
那么如何求此五边形的内角和呢
3× 180° =5400
说说你的 探索思路？
—从一个顶点出发添两条对角线，目的是把五边形分割成三个三角形，再利用三角形的内角和求得。
A
B
C
D
E
三角形
四边形
五边形
1800
2× 180°
= 3600
3× 180° =5400
探索过程一掠:
A
C
B
A
B
C
D
六边形
七边形
4× 180° =7200
5× 180° =9000
那么六边形、七边形的内角和呢？
学一学
四边形的内角和 （4－2）× 180° = 360°
五边形的内角和 （5－2）× 180°=540°
六边形的内角和（6－2）× 180°=720°
七边形的内角（7－2）×180°=900°
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
边数 3 4 5 6 7 …
三角形个数 1 2 …
内角和 1×1800 2×1800 …
n-2
3×1800
4×1800
5×1800
(n-2)x1800
n
A3
A8
An
A1
A2
A7
A5
A6
A4
试一试
找规律
3
4
5
说明： 从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线，这些对角线把n边形分成 个三角形,内角和为 .
(n-3)
(n-2)
(n-2)180°
探索多边形的内角和
P
A
B
C
D
图 1
如图1，在四边形内任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180°×4 － 360°= 360°
P
A
B
D
C
图2
如图2，在四边形的一边上任取一点P,连接PB、PC，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
P
A
B
C
D
图3
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
百家争鸣
其他方法
其他方案
我们也可以利用以上不同的方法分割多边形，得到n边形的内角和公式
p
p
p
照猫画虎
n边形内角和等于
最终结论
（n－2）× 180°
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
A
B
C
D
解：四边形ABCD中，
∠A+∠C=180°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠D=360°－(∠A+∠C ) =360°－180°=180°.
结论：如果四边形的一组对角互 补，那么另一组对角也互补.
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
1
2
3
4
5
6
A
B
C
D
E
F
分析：
（1）回忆三角形的外角和的求法；
（2）任何一个外角同与它相邻的
内角有什么关系？
（3）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
（4）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
例3 三角形、六边形的外角和都是360°，那么n边形的外角和（n是不小于3的任意整数）还是360°吗？若是，证明你的结论；若不是，请说明你的理由．
结论：多边形的外角和等于360°
归纳：多边形的外角和的推导方法
多边形的内角和+外角和=边数×180°
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和是多少？
多边形的外角和
D'
A'
C'
E'
B'
O
β
γ
δ
θ
α
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
结论：
1， 2， 3， 4， 5的和等于360
多边形 内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和等于360
如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？
多边形的外角和
A3
A8
An
A1
A2
A7
A5
A6
A4
各抒己见
多边形的外角和等于360
多边形 外角与内角有何关系？还有其他方法可以推导出多边形外角和？
多边形的任何一个内角加上与它相邻的内角都等于180°（平角），n个外角连同它们的各自相邻的内角，共有n个180°，总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的和，剩下的就是多边形的外角和了！
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°
5
=108°
（6-2）×180°
6
=120°
（8-2）×180°
8
=135°
（n-2）×180°
n
练习：
1．完成教材83—84页练习1、2、3题.
2．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n－2）×180=3×360.
解这个方程，得n= 8 .
答：这个多边形是八边形.
感悟：方程思想解决几何问题的优越性
（1）十二边形的内角和是 ，外角和是 ．
（2）一个多边形的每个内角都是160°，这是几边形？
1800o
360o
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n－2）×180=160n.
解这个方程，得 n = 18.
答：这个多边形是十八边形.
思考：还有其他解法吗？比较两种解法，
哪个更好？
3．达标测评
求下列图形中x的值：
∟
(1)
∟
(2)
(3)
C
A
B
D
E
(4)
AB∥CD
随堂练习
1.正五边形 的每一个外角等于___.每一个内角等于_____,
72°
108°
2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边 形的边 数是_____。
6
3.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则这个多边形的边数是_____。
A.12 B.9 C. 8 D.7
A
4.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____。
12
当堂测试
当堂测试
5、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，你能否求得正确结呢？
6、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（ ）
A、不变 B、增加 180° C、减少 180° D、无法确定
解：1680÷180=9……60，所以漏掉的角是120°，所以正确结果是1800°。
解：因为不过顶点截去一个角，相等于增加了一个边，所以多边形的内角和增加180°，选B。
1、从n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿对角线
将n边形分成了________个三角形。
2、n边形的对角线一共有＿＿＿＿__条。
（n-3）
（n-2）
归纳综合
3、三角形的内角和等于 ___,
外角和等____。
（n-2)180○
360○
(2010．晋江) 将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小_____度.
①
②
72°
今天的收获
1、n边形的内角和等于（n－2）×180°.
3、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决; 外角问题转化为内角来解决.
4、方程的数学思想在几何中有重要的作用.
【问题4】本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？你还有哪些疑问？
2、n边形的外角和等于360°.
第七章 三角形
7.3.2 多边形的内角和
重庆市开县西街中学 罗堂喜
7.3 多边形及其内角和
布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。
浙江金华兰溪诸葛八卦村
你能算出八卦图的内角和吗？
你知道长方形和正方形的内角和是多少？
其它四边形的内角和是多少？
你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
（都是360°）
A
B
C
D
在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是 按照如图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和等于180°，得到四边形内角和等于360°。你能说明它的合理性吗？并且能否启发你借助辅助线找到解决其他多边形的方法吗？
四边形内角和
那么如何求此五边形的内角和呢
3× 180° =5400
说说你的 探索思路？
—从一个顶点出发添两条对角线，目的是把五边形分割成三个三角形，再利用三角形的内角和求得。
A
B
C
D
E
三角形
四边形
五边形
1800
2× 180°
= 3600
3× 180° =5400
探索过程一掠:
A
C
B
A
B
C
D
六边形
七边形
4× 180° =7200
5× 180° =9000
那么六边形、七边形的内角和呢？
学一学
四边形的内角和 （4－2）× 180° = 360°
五边形的内角和 （5－2）× 180°=540°
六边形的内角和（6－2）× 180°=720°
七边形的内角（7－2）×180°=900°
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
边数 3 4 5 6 7 …
三角形个数 1 2 …
内角和 1×1800 2×1800 …
n-2
3×1800
4×1800
5×1800
(n-2)x1800
n
A3
A8
An
A1
A2
A7
A5
A6
A4
试一试
找规律
3
4
5
说明： 从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线，这些对角线把n边形分成 个三角形,内角和为 .
(n-3)
(n-2)
(n-2)180°
探索多边形的内角和
P
A
B
C
D
图 1
如图1，在四边形内任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180°×4 － 360°= 360°
P
A
B
D
C
图2
如图2，在四边形的一边上任取一点P,连接PB、PC，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
P
A
B
C
D
图3
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
百家争鸣
其他方法
其他方案
我们也可以利用以上不同的方法分割多边形，得到n边形的内角和公式
p
p
p
照猫画虎
n边形内角和等于
最终结论
（n－2）× 180°
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
A
B
C
D
解：四边形ABCD中，
∠A+∠C=180°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠D=360°－(∠A+∠C ) =360°－180°=180°.
结论：如果四边形的一组对角互 补，那么另一组对角也互补.
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
1
2
3
4
5
6
A
B
C
D
E
F
分析：
（1）回忆三角形的外角和的求法；
（2）任何一个外角同与它相邻的
内角有什么关系？
（3）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？
（4）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
例3 三角形、六边形的外角和都是360°，那么n边形的外角和（n是不小于3的任意整数）还是360°吗？若是，证明你的结论；若不是，请说明你的理由．
结论：多边形的外角和等于360°
归纳：多边形的外角和的推导方法
多边形的内角和+外角和=边数×180°
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和是多少？
多边形的外角和
D'
A'
C'
E'
B'
O
β
γ
δ
θ
α
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
结论：
1， 2， 3， 4， 5的和等于360
多边形 内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和等于360
如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？
多边形的外角和
A3
A8
An
A1
A2
A7
A5
A6
A4
各抒己见
多边形的外角和等于360
多边形 外角与内角有何关系？还有其他方法可以推导出多边形外角和？
多边形的任何一个内角加上与它相邻的内角都等于180°（平角），n个外角连同它们的各自相邻的内角，共有n个180°，总和为n× 180° ，再用它减去n个内角的和，剩下的就是多边形的外角和了！
那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形的每个内角分别是多少度呢？
……
正n边形
（5-2）×180°
5
=108°
（6-2）×180°
6
=120°
（8-2）×180°
8
=135°
（n-2）×180°
n
练习：
1．完成教材83—84页练习1、2、3题.
2．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n－2）×180=3×360.
解这个方程，得n= 8 .
答：这个多边形是八边形.
感悟：方程思想解决几何问题的优越性
（1）十二边形的内角和是 ，外角和是 ．
（2）一个多边形的每个内角都是160°，这是几边形？
1800o
360o
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n－2）×180=160n.
解这个方程，得 n = 18.
答：这个多边形是十八边形.
思考：还有其他解法吗？比较两种解法，
哪个更好？
3．达标测评
求下列图形中x的值：
∟
(1)
∟
(2)
(3)
C
A
B
D
E
(4)
AB∥CD
随堂练习
1.正五边形 的每一个外角等于___.每一个内角等于_____,
72°
108°
2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边 形的边 数是_____。
6
3.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则这个多边形的边数是_____。
A.12 B.9 C. 8 D.7
A
4.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____。
12
当堂测试
当堂测试
5、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，你能否求得正确结呢？
6、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（ ）
A、不变 B、增加 180° C、减少 180° D、无法确定
解：1680÷180=9……60，所以漏掉的角是120°，所以正确结果是1800°。
解：因为不过顶点截去一个角，相等于增加了一个边，所以多边形的内角和增加180°，选B。
1、从n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿对角线
将n边形分成了________个三角形。
2、n边形的对角线一共有＿＿＿＿__条。
（n-3）
（n-2）
归纳综合
3、三角形的内角和等于 ___,
外角和等____。
（n-2)180○
360○
(2010．晋江) 将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小_____度.
①
②
72°
今天的收获
1、n边形的内角和等于（n－2）×180°.
3、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决; 外角问题转化为内角来解决.
4、方程的数学思想在几何中有重要的作用.
【问题4】本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？你还有哪些疑问？
2、n边形的外角和等于360°.