1.2 充分条件与必要条件
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1.2 充分条件与必要条件
【知识点梳理】
1、命题“若p则q”为真，记作pq；“若p则q”为假，记作“p q”.
2、充分与必要条件：
①如果已知pq，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件.
②如果既有pq，又有qq，即pq,则称p是q的充要条件.
3、充分、必要条件与四种命题的关系：
①如果p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若 p则 q”都是真命题.
②如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若 p则 q”为真命题.
③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。
4、充要条件的判断方法：
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；⑶确定条件是结论的什么条件.
【典型例题分析】
例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）是的___________________条件；
（2）是的___________________条件；
（3）是的___________________条件；
（4）是或的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.
（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.
（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.
点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.
例2．已知关于x的方程，．求：
（1）方程有两个正根的充要条件；
（2）方程至少有一个正根的充要条件．
例3.已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
分析：若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件.
解：由题知：，
是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.
，即得.
故m的取值范围为.
点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．
例4.求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是．
分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．
证明：必要性：若是方程的根，求证：．
是方程的根，，即．
充分性：关于x的方程的系数满足，求证：方程有一根为－1．
，，代入方程得：，
得，是方程的一个根．
故原命题成立．
点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可
【小结】
理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合，则是的充分条件；
若集合，则是的必要条件；
若集合，则是的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力
【同步达纲练习】
一、选择题
1.“A∩B=A”是A=B的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列判断正确的是( ).
A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分条件
B.x2＞4是x2＞2的必要条件
C.｜x+1｜＜1是-2＜x＜0的充要条件
D.(a-2)2+(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件
3.若条件p∶｜x+1｜＞2；条件q∶x2＜5x-6.则p是q的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知A是B的必要条件，B是C的充分条件，则A是C的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无法判断
5.“0＜x＜5”是“｜x-2｜＜3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
二、填空题
(从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空)
1.复合命题“非p”为假命题是复合命题“p或q”为真命题的 .
2.k＞4,b＜5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的 .
3.是的 .
三、解答题
1.分别举出四个例子，说明p是q的“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”，并说明理由.
2.已知全集R，A=｛x｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x｜｜x｜＞a,a∈N+｝.当a为何值时.
①A是B的充分而不必要条件；
②A是B的必要而不充分条件；
③A是B的充要条件.
3.求关于x的一元二次不等式
ax2-ax+1＞0
对一切x∈R都成立的充要条件是什么.
4.已知p∶x∈Z，y∈Z，m=x2-y2；
q∶k∈Z,m=2K+1,或m=4k.
求证：p是q的充分条件.
【素质优化训练】
1.设关于x的一元二次不等式mx2-mx+1＞0对一切实数均成立，求a的取值范围.
2.是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件 如果存在，求出p的取值范围.是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要条件.如果存在，求出p的取值范围.
3．设集合，，则“”是“”的__________条件．
4．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件； ④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是______①②④____．
5．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【生活实际运用】
在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
参考答案
【同步达纲练习】
一、1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.A
二、1.充分而不必要条件. 2.充要条件. 3.必要而不充分条件.
三、1.略.
2.①a=3,2,1.提示：AB，结合数轴观察.
②｛a｜a≥9,a∈N+｝.提示：AB.
③这样的a不存在.
3.0＜a＜4.提示：分a＞0，a＜0两种情况讨论.
4.略
【素质优化训练】
1.0＜a＜4.
2.p≥4时，“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件，不存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要条件.
【生活实际运用】
图(1)：充分但不必要条件；
图(2)：必要但不充分条件；
图(3)：充要条件；
图(4)：既不充分也不必要条件.
必要不充分
【知识点梳理】
1、命题“若p则q”为真，记作pq；“若p则q”为假，记作“p q”.
2、充分与必要条件：
①如果已知pq，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件.
②如果既有pq，又有qq，即pq,则称p是q的充要条件.
3、充分、必要条件与四种命题的关系：
①如果p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若 p则 q”都是真命题.
②如果p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若 p则 q”为真命题.
③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。
4、充要条件的判断方法：
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；⑶确定条件是结论的什么条件.
【典型例题分析】
例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）是的___________________条件；
（2）是的___________________条件；
（3）是的___________________条件；
（4）是或的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.
（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.
（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.
点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.
例2．已知关于x的方程，．求：
（1）方程有两个正根的充要条件；
（2）方程至少有一个正根的充要条件．
例3.已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
分析：若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件.
解：由题知：，
是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.
，即得.
故m的取值范围为.
点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．
例4.求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是．
分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．
证明：必要性：若是方程的根，求证：．
是方程的根，，即．
充分性：关于x的方程的系数满足，求证：方程有一根为－1．
，，代入方程得：，
得，是方程的一个根．
故原命题成立．
点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可
【小结】
理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合，则是的充分条件；
若集合，则是的必要条件；
若集合，则是的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力
【同步达纲练习】
一、选择题
1.“A∩B=A”是A=B的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列判断正确的是( ).
A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分条件
B.x2＞4是x2＞2的必要条件
C.｜x+1｜＜1是-2＜x＜0的充要条件
D.(a-2)2+(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件
3.若条件p∶｜x+1｜＞2；条件q∶x2＜5x-6.则p是q的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知A是B的必要条件，B是C的充分条件，则A是C的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无法判断
5.“0＜x＜5”是“｜x-2｜＜3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
二、填空题
(从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空)
1.复合命题“非p”为假命题是复合命题“p或q”为真命题的 .
2.k＞4,b＜5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的 .
3.是的 .
三、解答题
1.分别举出四个例子，说明p是q的“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”，并说明理由.
2.已知全集R，A=｛x｜｜x-3｜＞6｝，B=｛x｜｜x｜＞a,a∈N+｝.当a为何值时.
①A是B的充分而不必要条件；
②A是B的必要而不充分条件；
③A是B的充要条件.
3.求关于x的一元二次不等式
ax2-ax+1＞0
对一切x∈R都成立的充要条件是什么.
4.已知p∶x∈Z，y∈Z，m=x2-y2；
q∶k∈Z,m=2K+1,或m=4k.
求证：p是q的充分条件.
【素质优化训练】
1.设关于x的一元二次不等式mx2-mx+1＞0对一切实数均成立，求a的取值范围.
2.是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件 如果存在，求出p的取值范围.是否存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要条件.如果存在，求出p的取值范围.
3．设集合，，则“”是“”的__________条件．
4．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件； ④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是______①②④____．
5．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【生活实际运用】
在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：
如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；
参考答案
【同步达纲练习】
一、1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.A
二、1.充分而不必要条件. 2.充要条件. 3.必要而不充分条件.
三、1.略.
2.①a=3,2,1.提示：AB，结合数轴观察.
②｛a｜a≥9,a∈N+｝.提示：AB.
③这样的a不存在.
3.0＜a＜4.提示：分a＞0，a＜0两种情况讨论.
4.略
【素质优化训练】
1.0＜a＜4.
2.p≥4时，“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的充分条件，不存在实数p，使“4x+p＜0”是“x2-x-2＞0”的必要条件.
【生活实际运用】
图(1)：充分但不必要条件；
图(2)：必要但不充分条件；
图(3)：充要条件；
图(4)：既不充分也不必要条件.
必要不充分