逻辑连接词，全称量词与存在量词
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文档简介
1.3-1.4逻辑连接词，全称量词与存在量词
一、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
p∧q
读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
二、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题p，q的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。
第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（即一假则假） （即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
三、知识点填空
1. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符“ 表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为： ，读作：
2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用“ 表示，含有 的命题，叫做特称称命题.
其基本形式 ，读作：
3. 一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：
全称命题：，它的否定：
4. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：
特称命题：，它的否定： 。
例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成
平行四边形的对角线互相平分且相等.
p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成
平行四边形的对角线互相平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直且平分.
p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．
说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数且3是素数；
（3）2≤2．
解略．
例3、判断下列命题的真假；
（1）6是自然数且是偶数
（2）是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
例4．判断下列命题是不是全称命题或者存在命题
（1）对数函数都是单调函数 （2）有一个实数，使
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）存在两个相交垂直于同一条直线
变式：判断下列命题的真假：
（1） （2）
例5．写出下列全称命题、特称命题的否定，并判断真假
(1) ： （2) ：所有的正方形都是矩形
(3) ：； (4) ：至少有一个实数，使
例6． 若,如果对于，为假命题，且为真命题，求实数m的取值范围.
【随堂练习】
一、选择题(每小题6分，共42分)
1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是 ( )
A． x∈R，lg x＝0 B． x∈R，tan x＝1
C． x∈R，x3>0 D． x∈R,2x>0
2．已知x∈R，设p：x<－1，綈q：x2－x－2>0，则下列命题为真的是 ( )
A．若q则綈p B．若綈q则p
C．若p则q D．若綈p则q
3．命题“ x>0，x2＋x>0”的否定是 ( )
A． x>0，x2＋x>0 B． x>0，x2＋x≤0
C． x>0，x2＋x≤0 D． x≤0，x2＋x>0
4．下列有关命题的说法正确的是 ( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“ x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“ x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
5．已知p：|x－a|<4；q：(x－2)·(3－x)>0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为 ( )
A．a<－1或a>6 B．a≤－1或a≥6
C．－1≤a≤6 D．－16．下列命题中是真命题的为 ( )
A． x∈R，x2C． x∈R， y∈R，xy2＝y2 D． x∈R， y∈R，x>y2
7．已知命题p： x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”
为真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A．a＝1或a≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．若命题“ x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是_____________．
9．在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”
为真，那么p，q的真假为p______，q______.
10．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，若綈q且p为真，则x的取值范围是
_________________．
11．下列结论：
①若命题p： x∈R，tan x＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命
题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确结论的序号都填上)
三、解答题(共38分)
12．(12分)写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并
判断其真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值
相等．
13.(12分)已知命题p： x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q： x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.若p
或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
14．(14分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满
足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
答案
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．A
8．－2≤a≤2 9．假 真 10．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 11．①③
12．解 (1)p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题．
(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p或q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实数根符号不同，真命题．
13．解 ∵ x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，∴a≤1.
即p：a≤1，∴綈p：a>1.
又 x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.
∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1，
即q：a>3或a<－1，∴綈q：－1≤a≤3.
又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．
当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．
当p假q真时，{a|a>1}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}．
综上所述，a的取值范围为{a|－1≤a≤1}∪{a|a>3}．
14．解 由2x2＋ax－a2＝0
得(2x－a)(x＋a)＝0,
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．
一、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
p∧q
读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
二、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题p，q的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。
第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（即一假则假） （即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
三、知识点填空
1. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符“ 表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为： ，读作：
2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用“ 表示，含有 的命题，叫做特称称命题.
其基本形式 ，读作：
3. 一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：
全称命题：，它的否定：
4. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：
特称命题：，它的否定： 。
例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成
平行四边形的对角线互相平分且相等.
p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成
平行四边形的对角线互相平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直且平分.
p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．
说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数且3是素数；
（3）2≤2．
解略．
例3、判断下列命题的真假；
（1）6是自然数且是偶数
（2）是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
例4．判断下列命题是不是全称命题或者存在命题
（1）对数函数都是单调函数 （2）有一个实数，使
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）存在两个相交垂直于同一条直线
变式：判断下列命题的真假：
（1） （2）
例5．写出下列全称命题、特称命题的否定，并判断真假
(1) ： （2) ：所有的正方形都是矩形
(3) ：； (4) ：至少有一个实数，使
例6． 若,如果对于，为假命题，且为真命题，求实数m的取值范围.
【随堂练习】
一、选择题(每小题6分，共42分)
1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是 ( )
A． x∈R，lg x＝0 B． x∈R，tan x＝1
C． x∈R，x3>0 D． x∈R,2x>0
2．已知x∈R，设p：x<－1，綈q：x2－x－2>0，则下列命题为真的是 ( )
A．若q则綈p B．若綈q则p
C．若p则q D．若綈p则q
3．命题“ x>0，x2＋x>0”的否定是 ( )
A． x>0，x2＋x>0 B． x>0，x2＋x≤0
C． x>0，x2＋x≤0 D． x≤0，x2＋x>0
4．下列有关命题的说法正确的是 ( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“ x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“ x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
5．已知p：|x－a|<4；q：(x－2)·(3－x)>0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为 ( )
A．a<－1或a>6 B．a≤－1或a≥6
C．－1≤a≤6 D．－1
A． x∈R，x2
7．已知命题p： x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”
为真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A．a＝1或a≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．若命题“ x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是_____________．
9．在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”
为真，那么p，q的真假为p______，q______.
10．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，若綈q且p为真，则x的取值范围是
_________________．
11．下列结论：
①若命题p： x∈R，tan x＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命
题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确结论的序号都填上)
三、解答题(共38分)
12．(12分)写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并
判断其真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值
相等．
13.(12分)已知命题p： x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q： x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.若p
或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
14．(14分)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满
足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
答案
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．A
8．－2≤a≤2 9．假 真 10．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 11．①③
12．解 (1)p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题．
(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p或q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实数根符号不同，真命题．
13．解 ∵ x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，∴a≤1.
即p：a≤1，∴綈p：a>1.
又 x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.
∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1，
即q：a>3或a<－1，∴綈q：－1≤a≤3.
又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．
当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．
当p假q真时，{a|a>1}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}．
综上所述，a的取值范围为{a|－1≤a≤1}∪{a|a>3}．
14．解 由2x2＋ax－a2＝0
得(2x－a)(x＋a)＝0,
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．