2．3抛物线及其标准方程
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2．3 抛物线及其标准方程
例 1 （1）已知抛物线的标准方程是 y2＝ 6x，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程．
解：（1）因为p＝3，所以焦点坐标是（，0），准线方程是x＝－．
（2）因为焦点在y轴的负半轴上，并且＝2，p＝4，所以所求抛物线的标准方程是
x2＝－8y．
例2 点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
分析：由已知，点M属于集合 P＝｛M||MF|＋1＝|x＋5|｝．
将|MF|用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M的轨迹方程．但这种解法的化简过程比较烦琐．
仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M的横坐标x应满足x＞－5，即点M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其次，“点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝ 0为准线的抛物线．
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线．
解：如图8-33，设点M的坐标为（x，y）．
∵＝4，∴p＝8．
因为焦点在x轴的正半轴上，所以
点M的轨迹方程为y2＝16x．
例3 斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长。
解：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为
F（1，0），所以直线AB的方程为y＝x－1-----------①．
将方程①代人抛物线方程y2＝4x，得 （x－1）2＝4x．
化简得x2－6x ＋1＝0．
解这个方程，得 x1＝3＋2，x2＝3－2．
将x1、x2的值代人方程①中，得y1＝2＋2，y2＝2－2，
即 A、B的坐标分别为（3＋2，2＋ 2）、
（3－2，2－ 2）．
∴ |AB|＝＝8．
注 在图中，由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线l的距离|AA′|，而|AA′|＝x1＋1．同理 |BF|＝|BB′|＝x2＋1，于是得
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2．
由此可以看到，本题在得到方程x2－6x ＋1＝0后，根据根与系数的关系可以直接得到x1＋x2＝6，于是立即可以求出|AB|＝6＋2＝8．
补充题：
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程
（1）过点； （2）焦点在直线上；
解：（1）设抛物线的标准方程为
则将点代入上述方程得
（2）直线与坐标轴的交点为
所求抛物线方程为
例2．求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。
证明：如图，过A、B分别作AC、BD垂直于，垂足为C、D
据抛物线的定义有
设M是AB的中点（即是其圆心）
过M作
则
例3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线的方程和准线的方程。
解：设抛物线方程为，则准线方程为，到准线的距离为5，
所以
又点
例4．如图所示，线段AB过轴正半轴上一点，端点到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过三点作抛物线，求该抛物线的方程。
解：设所求抛物线方程为
若AB不垂直于轴，设AB方程
为
由（1）（2）消去，得
设A，B坐标为
则是方程（3）的两个根。
又，由
则抛物线的方程为
若AB轴，直线AB的方程为两点关于轴对称，故
例5 已知动圆M与直线相切，且与定圆外切，求动圆圆心的轨迹方程。
分析：设，由已知，则动圆圆心的方程是以为焦点，为准线的抛物线，易求得：
变题1 设动圆轴相切，且与定圆外切，求动圆圆心的轨迹方程。
解：当
变题2 设动圆轴相切，且与定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程。
解：与圆外切时，当时，
与圆内切时，当当
1．平面上到定点距离相等的点的轨迹为（ ）
A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
2．已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在曲线上，求抛物线的标准方程。
解：焦点坐标为，抛物线方程为
3．到定点的距离与到定直线的距离之比等于的点的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．顶点在原点，焦点是的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，抛物线上一点到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．过点的抛物线的标准方程是或
8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．在抛物线上有一点P，它到焦点的距离是20，则P点的坐标是
10．在抛物线上求一点P，使P到焦点F与到点的距离之和最小。
例 1 （1）已知抛物线的标准方程是 y2＝ 6x，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程．
解：（1）因为p＝3，所以焦点坐标是（，0），准线方程是x＝－．
（2）因为焦点在y轴的负半轴上，并且＝2，p＝4，所以所求抛物线的标准方程是
x2＝－8y．
例2 点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
分析：由已知，点M属于集合 P＝｛M||MF|＋1＝|x＋5|｝．
将|MF|用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M的轨迹方程．但这种解法的化简过程比较烦琐．
仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M的横坐标x应满足x＞－5，即点M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其次，“点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝ 0为准线的抛物线．
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线．
解：如图8-33，设点M的坐标为（x，y）．
∵＝4，∴p＝8．
因为焦点在x轴的正半轴上，所以
点M的轨迹方程为y2＝16x．
例3 斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长。
解：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为
F（1，0），所以直线AB的方程为y＝x－1-----------①．
将方程①代人抛物线方程y2＝4x，得 （x－1）2＝4x．
化简得x2－6x ＋1＝0．
解这个方程，得 x1＝3＋2，x2＝3－2．
将x1、x2的值代人方程①中，得y1＝2＋2，y2＝2－2，
即 A、B的坐标分别为（3＋2，2＋ 2）、
（3－2，2－ 2）．
∴ |AB|＝＝8．
注 在图中，由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线l的距离|AA′|，而|AA′|＝x1＋1．同理 |BF|＝|BB′|＝x2＋1，于是得
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2．
由此可以看到，本题在得到方程x2－6x ＋1＝0后，根据根与系数的关系可以直接得到x1＋x2＝6，于是立即可以求出|AB|＝6＋2＝8．
补充题：
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程
（1）过点； （2）焦点在直线上；
解：（1）设抛物线的标准方程为
则将点代入上述方程得
（2）直线与坐标轴的交点为
所求抛物线方程为
例2．求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切。
证明：如图，过A、B分别作AC、BD垂直于，垂足为C、D
据抛物线的定义有
设M是AB的中点（即是其圆心）
过M作
则
例3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线的方程和准线的方程。
解：设抛物线方程为，则准线方程为，到准线的距离为5，
所以
又点
例4．如图所示，线段AB过轴正半轴上一点，端点到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过三点作抛物线，求该抛物线的方程。
解：设所求抛物线方程为
若AB不垂直于轴，设AB方程
为
由（1）（2）消去，得
设A，B坐标为
则是方程（3）的两个根。
又，由
则抛物线的方程为
若AB轴，直线AB的方程为两点关于轴对称，故
例5 已知动圆M与直线相切，且与定圆外切，求动圆圆心的轨迹方程。
分析：设，由已知，则动圆圆心的方程是以为焦点，为准线的抛物线，易求得：
变题1 设动圆轴相切，且与定圆外切，求动圆圆心的轨迹方程。
解：当
变题2 设动圆轴相切，且与定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程。
解：与圆外切时，当时，
与圆内切时，当当
1．平面上到定点距离相等的点的轨迹为（ ）
A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
2．已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在曲线上，求抛物线的标准方程。
解：焦点坐标为，抛物线方程为
3．到定点的距离与到定直线的距离之比等于的点的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．顶点在原点，焦点是的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，抛物线上一点到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．过点的抛物线的标准方程是或
8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．在抛物线上有一点P，它到焦点的距离是20，则P点的坐标是
10．在抛物线上求一点P，使P到焦点F与到点的距离之和最小。