导数的计算

【知识要点】
一．导数概念：
(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，定义为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．换言之，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数f(x)相应地有增量f(x0＋x)－f(x0)，则比值就叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋x之间的平均变化率．
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即.
(3)函数y＝f(x)的导函数(导数)：当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即.
二 ．导数的几何意义：
函数y＝f(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝(x0)．
三．导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C)′＝0(C为常数)；
②(xn)′＝nxn－1(x＞0，n∈Q*)；
③(sinx)′＝cosx；
④(cosx)′＝－sinx；
⑤(ex)′＝ex；
⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；
⑦；
⑧(a＞0，且a≠1)．
(2)导数的运算法则：
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③.
(3)简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数：
设函数y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(u)＝f[g(x)]称为复合函数．其求导步骤是：＝·，其中表示f对u求导，表示g对x求导．f对u求导后应把u换成g(x)．
【典型例题】
例1 求曲线在点处的切线方程.
回顾导数的几何意义:
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.
解: 略
例2 曲线运动方程为,求时的速度.
回顾导数的物理意义:
瞬时速度是位移函数对时间的导数:.
解: 略
例3已知抛物线通过点,且在点处与直线相切,求的值.
【随堂练习】
1 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x2－1)； (2)；
(3)y＝sin2x； (4)y＝ex·lnx．
2．求下列函数的导数：
(1)y＝x－ex； (2)y＝x3＋cosx；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (4)
3．(tanx)′等于( )
(A) (B) (C) (D)
4．设f(x)＝xlnx，若f '(x0)＝2，则x0等于( )
(A)e2 (B)e (C) (D)ln2
5．f '(x)是的导函数，则f '(－1)＝______．
6．若函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f '(1)＝______．
7．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．
8．设函数f(x)＝xekx(k≠0)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是______．
9设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f '(x)的最小值为－12．求a，b，c的值．
10．曲线在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
(A) (B)4e2 (C)2e2 (D)e2
(1)求曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程.
(2)过点(1，－3)作曲线y＝x2的切线，求切线的方程．
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，1)，B(2，－1)，且该曲线在点B处的切线方程为y＝x－3，求a、b、c的值