抛物线
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文档简介
抛物线
【知识梳理】
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2.几何性质
标准方程 y＝2px(p＞0) y＝－2px(p＞0) x＝2py(p＞0) x＝－2py(p＞0)
图形
性质 焦点
准线
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
轴 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
通径 过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦AB叫做抛物的通径。并且：|AB|==2p.
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．
4．抛物线的焦点弦
设抛物线y2＝2px(p>0)，焦点为F,AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．
(1)以AB为直径的圆与准线________．
(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．
(3)|AB|＝x1＋x2＋______.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.
【典型例题分析】
题型一：抛物线的定义及应用
已知抛物线y＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又点A（3,2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时，P点的坐标。
变式1.平面上动点P到定点F（1,0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。
变式2已知直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.11/5 D.37/16
题型二：抛物线的几何性质
例2.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线y＝2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长。
例3.已知圆x+y-9x==0与顶点在坐标原点、焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程。
变式3.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，且一直角边的方程是，斜边长是，求此抛物线方程。
题型三：直线与抛物线
例4.过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．
例5.已知直线O为坐标原点，.
（1）求直线L和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求面积的最大值。
例6.已知抛物线，直线过点（0,2）与抛物线交于M、N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线的方程。
作业
1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是( )
A．a＋ B．a－
C．a＋p D．a－p
2．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1 C．2 D．4
5．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D.
6．过抛物线y2＝ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )
A．2a B. C．4a D.
7．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
9．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．
10.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
【知识梳理】
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2.几何性质
标准方程 y＝2px(p＞0) y＝－2px(p＞0) x＝2py(p＞0) x＝－2py(p＞0)
图形
性质 焦点
准线
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
轴 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
通径 过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦AB叫做抛物的通径。并且：|AB|==2p.
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．
4．抛物线的焦点弦
设抛物线y2＝2px(p>0)，焦点为F,AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．
(1)以AB为直径的圆与准线________．
(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．
(3)|AB|＝x1＋x2＋______.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.
【典型例题分析】
题型一：抛物线的定义及应用
已知抛物线y＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又点A（3,2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时，P点的坐标。
变式1.平面上动点P到定点F（1,0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。
变式2已知直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.11/5 D.37/16
题型二：抛物线的几何性质
例2.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线y＝2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长。
例3.已知圆x+y-9x==0与顶点在坐标原点、焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程。
变式3.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，且一直角边的方程是，斜边长是，求此抛物线方程。
题型三：直线与抛物线
例4.过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．
例5.已知直线O为坐标原点，.
（1）求直线L和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求面积的最大值。
例6.已知抛物线，直线过点（0,2）与抛物线交于M、N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线的方程。
作业
1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是( )
A．a＋ B．a－
C．a＋p D．a－p
2．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1 C．2 D．4
5．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D.
6．过抛物线y2＝ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )
A．2a B. C．4a D.
7．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
9．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．
10.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．