双曲线
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双曲线
［知识盘点］
1．双曲线的定义：我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为 。这两个定点叫双曲线的 ，两个焦点之间的距离叫做双曲线的 。
2．双曲线的第二定义：平面内，到定点(或)的距离与到定直线 的距离之比是常数（即 ）的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的 ，这条定直线叫做双曲线的 ，其中常数叫做双曲线的 。
二．双曲线的标准方程
3．当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为 ，其中焦点坐标为，，且 ；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为 ，其中焦点坐标为，，且 .
当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式。
三．双曲线的几何性质
方程
图形
范围 或
对称性 关于轴，轴及原点对称 关于轴，轴及原点对称
顶点
离心率
准线
渐近线
[典例精析]
设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。
例2．设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.
［剖析］由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值 范围.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，点与其渐近线的距离为，过点P作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于M，且是与的等比中项.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的方程.
［剖析］(1)由点与其渐近线的距离为，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标。（变训练：求及的周长，）
（解几问题，求两曲线的交点，一般是通过联立方程组求解）
例5、已知双曲线的焦点在轴上，方程为，两顶点的距离为8，一渐近线上有点
，试求此双曲线的方程。
【随堂练习】
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．
2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线
B．圆
C．双曲线的一支
D．椭圆
4．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．内切或外切
C．外切
D．相离或相交
5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（ ）
A．m-a B．
C． D．
二、填空题
7．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
答案与提示
一、1．D
2．A
3．C
4．B
5．B
6．A
二、7．-2
8．
三、9．提示：易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）
10．不存在
11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4
∴ P点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为
又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上
联立解得 ∴
又 ∴α=60°
∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
y
O
A1
F1
A2
F2
x
y
O
B1
F1
B2
F2
x
［知识盘点］
1．双曲线的定义：我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为 。这两个定点叫双曲线的 ，两个焦点之间的距离叫做双曲线的 。
2．双曲线的第二定义：平面内，到定点(或)的距离与到定直线 的距离之比是常数（即 ）的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的 ，这条定直线叫做双曲线的 ，其中常数叫做双曲线的 。
二．双曲线的标准方程
3．当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为 ，其中焦点坐标为，，且 ；
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为 ，其中焦点坐标为，，且 .
当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式。
三．双曲线的几何性质
方程
图形
范围 或
对称性 关于轴，轴及原点对称 关于轴，轴及原点对称
顶点
离心率
准线
渐近线
[典例精析]
设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。
例2．设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.
［剖析］由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值 范围.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，点与其渐近线的距离为，过点P作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于M，且是与的等比中项.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的方程.
［剖析］(1)由点与其渐近线的距离为，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标。（变训练：求及的周长，）
（解几问题，求两曲线的交点，一般是通过联立方程组求解）
例5、已知双曲线的焦点在轴上，方程为，两顶点的距离为8，一渐近线上有点
，试求此双曲线的方程。
【随堂练习】
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．
2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线
B．圆
C．双曲线的一支
D．椭圆
4．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．内切或外切
C．外切
D．相离或相交
5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（ ）
A．m-a B．
C． D．
二、填空题
7．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
答案与提示
一、1．D
2．A
3．C
4．B
5．B
6．A
二、7．-2
8．
三、9．提示：易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）
10．不存在
11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4
∴ P点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为
又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上
联立解得 ∴
又 ∴α=60°
∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
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x
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