双曲线及其标准方程
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文档简介
双曲线及其标准方程
主要内容
双曲线的定义
双曲线的标准方程
学习指导
1、双曲线的定义用集合表示为{P|||PF1|-|PF2||=2a，2a>0，F1、F2是定点，2a<|F1F2|}。
当2a=|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线（线段F1F2的反向延长线）。
当2a<|F1F2|时，平面上的点P不存在。
称F1、F2为双曲线的焦点，线段F1F2的长度为焦距，用2c表示。
2、焦点在x轴上的双曲线，其标准方程为（a>0，b>0）。若记左焦点为F1（-c，0），右焦点为F2（c，0），则|PF1|>|PF2|时，点P在双曲线右支上；|PF1|<|PF2|时，点P在双曲线的左支上。
焦点在y轴上的双曲线，其标准方程为（a>0，b>0），若记下焦点为F1（-c，0），上焦点为F2（c，0），则|PF1|>|PF2|时，点P在双曲线的上支上；|PF1|<|PF2|时，点P在双曲线的下支上。
三个正实数a，b，c恒满足c2=a2+b2，应将它们的关系与椭圆相区别，椭圆中a2=b2+c2，a>b，a>c，b与c无大小关系；双曲线中，c>a，c>b，a与b无大小关系。
3、求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程的方法完全类似。一般分两步：（1）选标准。判断焦点在哪根数轴上，还是两者均有可能；（2）定参数。途径一是待定系数法，即解方程组的思想；途径二是定义法。
典型例题
就实数k的取值范围，讨论方程表示的曲线。
解题思路分析：
关键是抓住椭圆及双曲线标准方程的特征，采用分类讨论的思想方法。
当，3当，6当，k=6时，方程表示圆心在原点，半径为6的圆。
当，k<3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；
当，k>9时，方程表示焦点在y轴上的双曲线。
注：在判断方程表示的曲线时，应至少交代焦点的位置特征，在方程表示椭圆时，还应注意圆的情形是否存在。
求过点E（5，0）且与圆F：(x+5)2+y2=36外切的圆的圆心P轨迹。
解题思路分析：
运用与圆有关的平面几何的性质寻找动圆圆心的几何等量关系。
设动圆圆心为r，则
由E在圆P上知，|PE|=r
由圆P与圆F外切知，|PF|=r+6
消去参数r得：|PF|-|PE|=6
∴ 点P在以F、E为焦点的双曲线的一支上。
∴ 2a=b，a=3
又 c=5
∴ b=4
∴ 所求双曲线的轨迹方程为（x≥3），轨迹为该双曲线的右支。
注：利用双曲线的定义解题是解决双曲线问题的一个重要思想方法。本题利用定义求点P轨迹方程，免去了很多繁琐的方程化简过程，希望同学们引起重视。
双曲线定义中的距离差含有绝对符号，本题没有，因此只表示双曲线的一支。
例3、已知椭圆（m>n>0）和双曲线（s>0，t>0）有相同的焦点F1、F2，P是两条双曲线的一个交点，求|PF1||PF2|的值。
解题思路分析：
当题设涉及到焦点的距离时，一般考虑用定义解题，避免用两点间距离公式，增加计算的复杂程度。
当P在椭圆上，|PF1|+|PF2|= ……①
当点P在双曲线上，||PF1|-|PF2||= ……②
①、②两式分别平方得：
两式相减得：
4|PF1||PF2|=4(m-s)
∴ |PF1||PF2|=m-s
注：从计算的角度看，本题涉及到整体运算的思想，把|PF1|·|PF2|作为一个变量。
例4、焦点在x轴上的双曲线过点P（，-3），且点Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程。
解题思路分析：
用待定系数求标准方程。同时注意分析图形位置特征。
∵ 两焦点F1、F2关于y轴对称，点Q在y轴上
∴ △QF1F2为等腰直角三角形
∴ c=|OF1|=|OF2|=|QA|（O为坐标原点）
∴ c=5
设双曲线方程
则
∴
去分母，整理得
a4-66a2+800=0
∴ a2=16，或a2=50（舍）
∴ b2=9
∴ 所求双曲线的标准方程为
例5、若双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的直线互相垂直，求点P坐标。
解题思路分析：
法一：不妨设F1（0，-），F2（0，），P（x0，y0），则
解之得：
∴ 点P坐标为
法二：用轨迹的思想解题
因点P对定线段F1、F2张角等于900
故点P在圆x2+y2=2上
又点P在双曲线y2-x2=1上
∴ 点P坐标为方程组的解
解此方程组：，，下略
同步练习
选择题
1、双曲线的两个焦点分别为F1、F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为
A、17 B、7 C、7或17 D、2或22
2、在方程mx2-my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在x轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的双曲线 D、焦点在y轴上的椭圆
3、方程表示
A、椭圆 B、圆 C、双曲线 D、以上三种均有可能
4、已知双曲线的焦距为26，，则双曲线的标准方程是
A、 B、
C、 D、
5、F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=900，则△F1PF2的面积是
A、2 B、4 C、8 D、16
6、双曲线焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上，两焦点关于原点对称，，则此双曲线方程是
A、 B、 C、 D、
7、双曲线8mx2x-my2=8的焦点为6，则m的值是
A、±1 B、-1 C、1 D、8
8、设θ是第三象限角，方程x2+y2sinθ=cosθ表示的曲线是
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的椭圆
C、焦点在x轴上的双曲线 D、焦点在y轴上的双曲线
9、双曲线中，，且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点，则双曲线的方程是
A、 B、 C、 D、
10、过（1，1）且的双曲线的标准方程为
A、 B、
C、 D、或
填空题
11、θ是三角形的一个内角，若方程x2+y2 cosθ=1表示双曲线，则θ的取值范围是
____________。
12、以椭圆的顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是__________。
13、已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点（0，3），则k=__________。
14、双曲线ax2-ay2=b（ab<0）的焦点坐标是__________。
15、若双曲线与圆x2+y2=1无公共点，则实数k的取值范围是_________。
解答题
16、已知F1、F2是双曲线的两个焦点，|F1F2|=10，过F2的直线交双曲线一支于A、B两点，若|AB|=5，△AF1B的周长等于26，求双曲线方程。
17、已知定点A（3，0）和定圆C：(x+3)2+y2=16，动圆和圆C相外切，并经过点A，求动圆圆心P的轨迹方程。
18、一炮弹在某处爆炸，在F1（-5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1m，声速为340m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在曲线方程。
19、一动圆C与两定圆C1：x2+(y-1)2=1和圆C2：x2+(y+1)2=4都外切，求动圆圆心C的轨迹方程。
20、已知双曲线的焦点在y轴上，且双曲线过P1（-2，），P2（，4），求双曲线的标准方程。
参考答案
选择题
1、D。 不妨设F1为左焦点，F2为右焦点。当点P在双曲线左支时，|PF2|-|PF1|=10，|PF2|=22；当点P在双曲线右支时，|PF1|-|PF2|=10，|PF2|=2。
2、C。 首先将方程变形为，∵mn<0，∴，∴，再将方程变形。
表示焦点在y轴上的双曲线。
9-k>0
3、D。 当 k-3>0 ,39-k≠k-3
当，k=6时，方程表示圆
当（9-k)(k-3)<0，k>9，或k<3时，方程表示双曲线。
4、2c=26，c=13，∴a2=25，b2=c2-a2=144，分焦点在x轴，y轴进行讨论。
5、B。 双曲线标准方程为，a2=1， b2=4，c2=5，不妨设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r12+r22=4c2=20。∴(r1-r2)2+2r1r2=20，∴2r1r2=20-|2a|2=16，∴r1r2=8，
∴
6、D。 在5x-2y+20=0中，令x=0，y=10，∴一个焦点为（0，10），∴c=10，a=6∴b2=c2-a2=64。
7、A。 当m>0时，标准方程为=1，，，∴，∴，∴m=1。当m<0时，标准方程为，，，∴，∴m=-1。
8、D。 ∵θ∈Ⅲ，∴sinθ<0，cosθ<0，标准方程为=1，表示焦点在y轴上的双曲线。
9、B。 椭圆标准方程为，∴焦点（，0），∴c=，a=2，∴b2=c2-a2=1，焦点在x轴上。
10、D。 设b=k，a=k，当焦点在x轴上时，设双曲线方程，令x=1，y=1，则，∴双曲线方程为；
当焦点在y轴上时，双曲线方程为
填空题
。∵cosθ<0，θ∈（0，π），∴θ∈（。
12、。椭圆顶点（±4，0），焦点（±，0），∴双曲线的顶点为
（±，0），∴a=，焦点为（±，0），∴c=4，∴b2=c2-a2=9。
13、 -1 。 双曲线标准方程为，∴，∴k=-1。
14、。双曲线的标准方程为，∴c2=，∴。
15、。画图分析，|3k|>1，∴，或。
（三）解答题
16、解 |AF1|+|BF2|+|AB|=26 ①
|AF1|+|BF2|=5 ②
①-②得：(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)=16
∴ 4a=16，a=4
又 c=5
∴ b=4
∴ 所求双曲线方程为或。
17、解：圆心C（-3，0），设动圆半径为r
则
∴ |PC|-|PA|=4
∴ 点P轨道为双曲线的一支
∵ a=2，c=3
∴ b=
∴ 所求轨迹方程为（x>0）。
18、解：设爆炸点为P，则|PF1|-|PF2|==6000<|F1F2|
∴ 点害以F1、F2为焦点，2a=6000的双曲线上
∵ a=3000，c=5000
∴ b2=16×106
∴ 爆炸点在双曲线上，其方程为。
19、解：
∴ |cc2|-|cc1|=1<|c1c2|
∴ 点c的轨迹为双曲线的一支
∵ ，c=1
∴
∴ c轨迹方程为4y2-x2=1（y≥）
20、解：设双曲线方程为（a>0，b>0）
则
解之得：
∴ 双曲线方程为
七、附录
例1的解：当3k-3>0，方程表示焦点在x轴上椭圆；
当69-k>0，方程表示焦点在y轴上椭圆；
当k=6时，方程为x2+y2=6，表示圆心在原点，半径为的圆；
当k<3时，9-k>0>k-3，方程表示焦点在x轴上的双曲线；
当k>9时，k-3>0>9-k，方程表示焦点在y轴上的双曲线。
例2的解：设动圆P的半径为r，则
∴ |PF|-|PE|=6
∴ 点P的轨迹是以F、E为焦点的双曲线的一支，2a=6，c=5，b=4
∴ 点P的轨迹方程为（x≥3）
例3的解： |PF1|+|PF2|= ①
|PF1|-|PF2|= ②
2-②2得：4|PF1||PF2|=4(m-s)
∴ |PF1||PF2|=m-s
例4的解：设左、右焦点分别为F1、F2
∵ ∠F1QF2=900，|QF1|=|QF2|
∴ c=|OQ|=5
设双曲线方程为
∴
整理得：a4-66a2+800=0
∴ a2=50（舍）或a2=16
∴ b2=9
∴ 双曲线方程为
例5的解：法一：设F1（0，-），F2（0，），P（x0，y0）
则
∴
∴
∴
∴ 点P为
法二：点P满足
∴
∴
∴ 点P为
主要内容
双曲线的定义
双曲线的标准方程
学习指导
1、双曲线的定义用集合表示为{P|||PF1|-|PF2||=2a，2a>0，F1、F2是定点，2a<|F1F2|}。
当2a=|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线（线段F1F2的反向延长线）。
当2a<|F1F2|时，平面上的点P不存在。
称F1、F2为双曲线的焦点，线段F1F2的长度为焦距，用2c表示。
2、焦点在x轴上的双曲线，其标准方程为（a>0，b>0）。若记左焦点为F1（-c，0），右焦点为F2（c，0），则|PF1|>|PF2|时，点P在双曲线右支上；|PF1|<|PF2|时，点P在双曲线的左支上。
焦点在y轴上的双曲线，其标准方程为（a>0，b>0），若记下焦点为F1（-c，0），上焦点为F2（c，0），则|PF1|>|PF2|时，点P在双曲线的上支上；|PF1|<|PF2|时，点P在双曲线的下支上。
三个正实数a，b，c恒满足c2=a2+b2，应将它们的关系与椭圆相区别，椭圆中a2=b2+c2，a>b，a>c，b与c无大小关系；双曲线中，c>a，c>b，a与b无大小关系。
3、求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程的方法完全类似。一般分两步：（1）选标准。判断焦点在哪根数轴上，还是两者均有可能；（2）定参数。途径一是待定系数法，即解方程组的思想；途径二是定义法。
典型例题
就实数k的取值范围，讨论方程表示的曲线。
解题思路分析：
关键是抓住椭圆及双曲线标准方程的特征，采用分类讨论的思想方法。
当，3
当，k<3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；
当，k>9时，方程表示焦点在y轴上的双曲线。
注：在判断方程表示的曲线时，应至少交代焦点的位置特征，在方程表示椭圆时，还应注意圆的情形是否存在。
求过点E（5，0）且与圆F：(x+5)2+y2=36外切的圆的圆心P轨迹。
解题思路分析：
运用与圆有关的平面几何的性质寻找动圆圆心的几何等量关系。
设动圆圆心为r，则
由E在圆P上知，|PE|=r
由圆P与圆F外切知，|PF|=r+6
消去参数r得：|PF|-|PE|=6
∴ 点P在以F、E为焦点的双曲线的一支上。
∴ 2a=b，a=3
又 c=5
∴ b=4
∴ 所求双曲线的轨迹方程为（x≥3），轨迹为该双曲线的右支。
注：利用双曲线的定义解题是解决双曲线问题的一个重要思想方法。本题利用定义求点P轨迹方程，免去了很多繁琐的方程化简过程，希望同学们引起重视。
双曲线定义中的距离差含有绝对符号，本题没有，因此只表示双曲线的一支。
例3、已知椭圆（m>n>0）和双曲线（s>0，t>0）有相同的焦点F1、F2，P是两条双曲线的一个交点，求|PF1||PF2|的值。
解题思路分析：
当题设涉及到焦点的距离时，一般考虑用定义解题，避免用两点间距离公式，增加计算的复杂程度。
当P在椭圆上，|PF1|+|PF2|= ……①
当点P在双曲线上，||PF1|-|PF2||= ……②
①、②两式分别平方得：
两式相减得：
4|PF1||PF2|=4(m-s)
∴ |PF1||PF2|=m-s
注：从计算的角度看，本题涉及到整体运算的思想，把|PF1|·|PF2|作为一个变量。
例4、焦点在x轴上的双曲线过点P（，-3），且点Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程。
解题思路分析：
用待定系数求标准方程。同时注意分析图形位置特征。
∵ 两焦点F1、F2关于y轴对称，点Q在y轴上
∴ △QF1F2为等腰直角三角形
∴ c=|OF1|=|OF2|=|QA|（O为坐标原点）
∴ c=5
设双曲线方程
则
∴
去分母，整理得
a4-66a2+800=0
∴ a2=16，或a2=50（舍）
∴ b2=9
∴ 所求双曲线的标准方程为
例5、若双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的直线互相垂直，求点P坐标。
解题思路分析：
法一：不妨设F1（0，-），F2（0，），P（x0，y0），则
解之得：
∴ 点P坐标为
法二：用轨迹的思想解题
因点P对定线段F1、F2张角等于900
故点P在圆x2+y2=2上
又点P在双曲线y2-x2=1上
∴ 点P坐标为方程组的解
解此方程组：，，下略
同步练习
选择题
1、双曲线的两个焦点分别为F1、F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为
A、17 B、7 C、7或17 D、2或22
2、在方程mx2-my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在x轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的双曲线 D、焦点在y轴上的椭圆
3、方程表示
A、椭圆 B、圆 C、双曲线 D、以上三种均有可能
4、已知双曲线的焦距为26，，则双曲线的标准方程是
A、 B、
C、 D、
5、F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=900，则△F1PF2的面积是
A、2 B、4 C、8 D、16
6、双曲线焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x-2y+20=0上，两焦点关于原点对称，，则此双曲线方程是
A、 B、 C、 D、
7、双曲线8mx2x-my2=8的焦点为6，则m的值是
A、±1 B、-1 C、1 D、8
8、设θ是第三象限角，方程x2+y2sinθ=cosθ表示的曲线是
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的椭圆
C、焦点在x轴上的双曲线 D、焦点在y轴上的双曲线
9、双曲线中，，且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点，则双曲线的方程是
A、 B、 C、 D、
10、过（1，1）且的双曲线的标准方程为
A、 B、
C、 D、或
填空题
11、θ是三角形的一个内角，若方程x2+y2 cosθ=1表示双曲线，则θ的取值范围是
____________。
12、以椭圆的顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是__________。
13、已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点（0，3），则k=__________。
14、双曲线ax2-ay2=b（ab<0）的焦点坐标是__________。
15、若双曲线与圆x2+y2=1无公共点，则实数k的取值范围是_________。
解答题
16、已知F1、F2是双曲线的两个焦点，|F1F2|=10，过F2的直线交双曲线一支于A、B两点，若|AB|=5，△AF1B的周长等于26，求双曲线方程。
17、已知定点A（3，0）和定圆C：(x+3)2+y2=16，动圆和圆C相外切，并经过点A，求动圆圆心P的轨迹方程。
18、一炮弹在某处爆炸，在F1（-5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1m，声速为340m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在曲线方程。
19、一动圆C与两定圆C1：x2+(y-1)2=1和圆C2：x2+(y+1)2=4都外切，求动圆圆心C的轨迹方程。
20、已知双曲线的焦点在y轴上，且双曲线过P1（-2，），P2（，4），求双曲线的标准方程。
参考答案
选择题
1、D。 不妨设F1为左焦点，F2为右焦点。当点P在双曲线左支时，|PF2|-|PF1|=10，|PF2|=22；当点P在双曲线右支时，|PF1|-|PF2|=10，|PF2|=2。
2、C。 首先将方程变形为，∵mn<0，∴，∴，再将方程变形。
表示焦点在y轴上的双曲线。
9-k>0
3、D。 当 k-3>0 ,3
当，k=6时，方程表示圆
当（9-k)(k-3)<0，k>9，或k<3时，方程表示双曲线。
4、2c=26，c=13，∴a2=25，b2=c2-a2=144，分焦点在x轴，y轴进行讨论。
5、B。 双曲线标准方程为，a2=1， b2=4，c2=5，不妨设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r12+r22=4c2=20。∴(r1-r2)2+2r1r2=20，∴2r1r2=20-|2a|2=16，∴r1r2=8，
∴
6、D。 在5x-2y+20=0中，令x=0，y=10，∴一个焦点为（0，10），∴c=10，a=6∴b2=c2-a2=64。
7、A。 当m>0时，标准方程为=1，，，∴，∴，∴m=1。当m<0时，标准方程为，，，∴，∴m=-1。
8、D。 ∵θ∈Ⅲ，∴sinθ<0，cosθ<0，标准方程为=1，表示焦点在y轴上的双曲线。
9、B。 椭圆标准方程为，∴焦点（，0），∴c=，a=2，∴b2=c2-a2=1，焦点在x轴上。
10、D。 设b=k，a=k，当焦点在x轴上时，设双曲线方程，令x=1，y=1，则，∴双曲线方程为；
当焦点在y轴上时，双曲线方程为
填空题
。∵cosθ<0，θ∈（0，π），∴θ∈（。
12、。椭圆顶点（±4，0），焦点（±，0），∴双曲线的顶点为
（±，0），∴a=，焦点为（±，0），∴c=4，∴b2=c2-a2=9。
13、 -1 。 双曲线标准方程为，∴，∴k=-1。
14、。双曲线的标准方程为，∴c2=，∴。
15、。画图分析，|3k|>1，∴，或。
（三）解答题
16、解 |AF1|+|BF2|+|AB|=26 ①
|AF1|+|BF2|=5 ②
①-②得：(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)=16
∴ 4a=16，a=4
又 c=5
∴ b=4
∴ 所求双曲线方程为或。
17、解：圆心C（-3，0），设动圆半径为r
则
∴ |PC|-|PA|=4
∴ 点P轨道为双曲线的一支
∵ a=2，c=3
∴ b=
∴ 所求轨迹方程为（x>0）。
18、解：设爆炸点为P，则|PF1|-|PF2|==6000<|F1F2|
∴ 点害以F1、F2为焦点，2a=6000的双曲线上
∵ a=3000，c=5000
∴ b2=16×106
∴ 爆炸点在双曲线上，其方程为。
19、解：
∴ |cc2|-|cc1|=1<|c1c2|
∴ 点c的轨迹为双曲线的一支
∵ ，c=1
∴
∴ c轨迹方程为4y2-x2=1（y≥）
20、解：设双曲线方程为（a>0，b>0）
则
解之得：
∴ 双曲线方程为
七、附录
例1的解：当3
当6
当k=6时，方程为x2+y2=6，表示圆心在原点，半径为的圆；
当k<3时，9-k>0>k-3，方程表示焦点在x轴上的双曲线；
当k>9时，k-3>0>9-k，方程表示焦点在y轴上的双曲线。
例2的解：设动圆P的半径为r，则
∴ |PF|-|PE|=6
∴ 点P的轨迹是以F、E为焦点的双曲线的一支，2a=6，c=5，b=4
∴ 点P的轨迹方程为（x≥3）
例3的解： |PF1|+|PF2|= ①
|PF1|-|PF2|= ②
2-②2得：4|PF1||PF2|=4(m-s)
∴ |PF1||PF2|=m-s
例4的解：设左、右焦点分别为F1、F2
∵ ∠F1QF2=900，|QF1|=|QF2|
∴ c=|OQ|=5
设双曲线方程为
∴
整理得：a4-66a2+800=0
∴ a2=50（舍）或a2=16
∴ b2=9
∴ 双曲线方程为
例5的解：法一：设F1（0，-），F2（0，），P（x0，y0）
则
∴
∴
∴
∴ 点P为
法二：点P满足
∴
∴
∴ 点P为