1.2 空间向量基本定理
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1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点、难点)
1.通过基底概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过用空间向量基本定理，解决简单的立体几何问题，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.
平面向量基本定理表明，在给定的平面内，当向量a与b不共线时，任意一个向量c都可以写成a与b的线性运算，而且表达式唯一．空间向量有没有类似的结论？如果有，尝试归纳出来，如果没有说明理由．
知识点1 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0?
[提示] 因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0.
(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．
(2)一个基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量的基底是唯一的．
( )
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．
( )
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．
( )
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0.
( )
[提示] (1)× 任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．
(2)√ 若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．
(3)√ ，，，不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点B，因此A，B，M，N四点共面．
(4)√ a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0.
知识点2 空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间的单位正交基底是唯一的．
( )
(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量．
( )
(3)对于单位正交基底{i，j，k},2j＝0i＋2j＋0k.
( )
[提示] (1)× 不唯一．
(2)√ 由单位正交基底的定义可知正确．
(3)√ 由向量正交分解知正确．
类型1 空间的基底
【例1】 {e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以，，不共面．
所以{，，}能作为空间的一个基底．
基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μ
c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．③依托正方体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，构造所需向量，判断它们是否共面．
[跟进训练]
1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是( )
A．
B．
C．
D．或
C [由＝(a－b)知与a，b共面．
所以a，b，不能构成空间的基底，故选C．]
2．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底？
[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
类型2 用空间的基底表示空间向量
【例2】 (对接教材P12例题)如图，在三棱柱ABC?A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.
[解] 连接A′N(图略)．
＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝＋(－)＋
＝＋＋＝(a＋b＋c)．
＝＋
＝＋(＋)
＝＋(＋)＝a＋b＋c.
若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解] 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
所以＝(＋)＝a＋b.
＝(＋)
＝(＋＋)＝＋＋
＝＋(－)＋＝＋－
＝b＋a－c.
基向量的选择和使用方法
(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．
(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
[跟进训练]
3.如图，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.
[解] 连接BO(图略)，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
类型3 空间向量基本定理的应用
【例3】 在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝i，＝j，＝k，
则{i，j，k}构成空间的一个正交基底．
所以＝＋＝－k＋(＋)＝i＋j－k，＝＋＝－i－k，
所以·＝·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0，所以EF⊥B1C．
(2)＝i＋j－k，＝＋＝－k－j，
||2＝2＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，
||＝，
||2＝2＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，
∴cos〈，〉＝
＝＝＝.
本例中设线段A1B的中点为M，证明：MF∥B1C．
[解] 设＝i，＝j，＝k，则＝＋＝－i－k，＝－＝－＝－i－k＝(－i－k)＝，所以MF∥B1C．
基向量法解决平行、垂直及夹角问题
首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的向量用基向量表示．
(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0；
(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线；
(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．
[跟进训练]
4.在所有棱长均为2的三棱柱ABC?A1B1C1中，∠B1BC＝60°，求证：
(1)AB1⊥BC；
(2)A1C⊥平面AB1C1.
[证明] (1)易知〈，〉＝120°，＝＋，则·＝(＋)·＝·＋·＝2×2×＋2×2×＝0.所以AB1⊥BC．
(2)易知四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.因为·＝(－)·(－)
＝(－)·(－－)
＝·－·－·－·＋·＋·
＝·－·－·＋·
＝2×2×－4－2×2×＋4＝0，
所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1＝A，所以A1C⊥平面AB1C1.
1．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是( )
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
C [只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底．故选C．]
2．(多选题)在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间的一个基底，则下列命题正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
ACD [选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底，故选ACD．]
3．设a，b都是非零向量，＝2a＋3b，＝a＋b，则不重合的直线AB与CD( )
A．相交
B．平行
C．垂直
D．无法判位置关系
B [由题意知，＝2，则AB∥CD，故选B．]
4．正方体ABCD?A1B1C1D1中，取{，，}为基底，若G为平面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
2 [如图，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋.
由条件知x＝1，y＝，z＝.
∴x＋y＋z＝1＋＋＝2.]
5．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为________．
，－1，－ [αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.
又d＝e1＋2e2＋3e3，
∴ 解得]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)若{a，b，c}是空间的基底，则a，b，c满足什么条件？
[提示] a，b，c不共面．
(2)叙述空间向量基本定理的内容．
[提示] 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
(3)在用向量法解决平行、垂直、长度、夹角等问题时，如何选择空间的基底？
[提示] 选择三个不共面的向量，且它们的长度和相互之间的角度已知．
PAGE1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
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1.能用向量语言描述直线和平面．(难点)2.理解直线的方向向量与平面的法向量．(重点)3.会求一个平面的法向量．(重点)
1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养直观想象和逻辑推理素养.2.通过直线的方向向量和平面法向量的学习，提升数学运算的核心素养.
(1)如图所示的四面体A?BCD中，怎样借助空间向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？
(2)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？
知识点1 空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
1.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)的位置向量是________．
＝(1,2,3) [位置向量＝(1,2,3)．]
(1)如图所示的长方体ABCD?A1B1C1D1中，设＝v.如果只借助v，能不能确定直线AB在空间中的位置？
(2)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？
知识点2 空间直线的向量表示式
如图①，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t.如图②，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，或＝＋t②.
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
图① 图②
1.根据空间直线的向量表达式＝＋t，线段AB的中点M的向量表达式是什么？
[提示] ＝＋.
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向线．
( )
(2)若向量v是直线l的方向向量，则λv(λ≠0)也是直线l的方向向量．
( )
(3)直线l的方向向量都平行，且方向相同．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能，如何用向量表示这个平面？
知识点3 空间平面的向量表示式
(1)空间平面ABC的向量表示式
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
(2)平面的法向量与平面的向量表示式
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
2.如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与有什么关系？
[提示] n⊥
，即n·＝0.
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面α的所有法向量都平行，且同向．
( )
(2)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量．
( )
(3)向量i＝(1,0,0)是坐标平面Oyz的一个法向量．
( )
[提示] (1)× 法向量也可能方向相反．
(2)× 当λ＝0时，λn＝0，不能作为平面的法向量．
(3)√ x轴垂直于坐标平面Oyz.
类型1 直线的方向向量
【例1】 (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1 C． D．3
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD?A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
(1)A (2)(0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一) [(1)∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，＝(－1,2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，
故设＝km.
∴－1＝2k,2－y＝－k，z－3＝3k.
解得k＝－，y＝z＝.
∴y－z＝0.
(2)∵DD1∥AA1，＝(0,0,1)，
直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
BC1∥AD1，＝(0,1,1)，故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．]
求直线的方向向量的2种方法
(1)在直线l上确定两点A，B，则或就是直线l的方向向量．
(2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则或就是直线l的方向向量．
[跟进训练]
1．(1)(多选题)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6)
B．(1,1,3)
C．(3,1,1)
D．(－3,0,1)
(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为( )
A．(18,17，－17)
B．(－14，－19,17)
C．
D．
(1)AB (2)A [(1)∵M，N在直线l上，∴＝(1,1,3)，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．
(2)设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，因为||＝34，
即＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.]
类型2 求平面的法向量
【例2】 (对接教材P28例题)如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解] 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，P(0,0,1)，E，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
[解] 如图所示，建立空间直角坐标系，则
P(0,0,1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量为(1，，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为(0,1，)．
试总结用待定系数法求平面法向量的步骤
[提示] (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
[跟进训练]
2.如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O?ABC中，O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量．
[解] 由已知可得
＝－＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a，b,0)，
＝－＝(0,0，c)－(a,0,0)＝(－a,0，c)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
将x看成常数，可解得y＝x，z＝x.
令x＝bc，则y＝ac，z＝ab.因此，n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量．
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
A [因为＝(2,4,6)，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．]
2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1)
B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)
D．(－2,3，－1)
D [求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1)．]
3．(多选题)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A．
B．
C．
D．
BC [由AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC知，，是平面ABC的法向量，故选BC．]
4．设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是( )
A．(－1，－2,5)
B．(－1,1，－1)
C．(1,1,1)
D．(1，－1，－1)
B [设c＝(－1,1，－1)，则c·a＝c·b＝0，
即c⊥a，c⊥b，故选B．]
5．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
x＋2y－3z＝0 [由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，
故x＋2y－3z＝0.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何求直线l的方向向量？
[提示] 在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则或就是直线l的方向向量．
(2)平面的法向量有无数个，它们是什么关系？
[提示] 共线．
(3)如何求一个平面的法向量？
[提示] ①设法向量n＝(x，y，z)；
②在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
③建立方程组
④解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
PAGE第2课时 空间中直线、平面的平行
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熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升数学运算及逻辑推理素养.
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
知识点 空间中直线、平面平行的向量表达式
位置关系
向量表达式
线线平行
设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R，使得μ1＝λμ2
线面平行
设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，则l∥α?μ⊥n?μ·n＝0
面面平行
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2
(1)设直线l的方向向量为μ，向量a，b是平面α内的两个不共线向量，若l∥α，则向量μ，a，b有什么关系？
(2)根据上述问题，试研究证明直线与平面平行的另一种方法．
[提示] (1)三向量共面，即μ＝xa＋yb.
(2)若直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面，则直线与平面平行．
(1)若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________．
(2)若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是________．
(1)l∥β (2)α∥β [(1)由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β.
(2)由v＝－4u知u∥v，所以α∥β.]
类型1 直线和直线平行
【例1】 在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
[证明] 法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
则，分别为MN，RS的方向向量，所以＝，＝，
所以＝，所以∥，因为M?RS，
所以MN∥RS.
法二：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c.
所以＝，所以∥.
又R?MN，所以MN∥RS.
1．向量法证明直线平行的两种思路
2．坐标法证明线线平行的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；
(2)求出直线的方向向量的坐标；
(3)证明两个向量共线；
(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证．
[跟进训练]
1．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，求证：直线BD1与直线CE不平行．
[证明] 以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,1,0)，E，所以＝(－1，－1,1)，＝.
又因为≠，所以与不平行．
因为为直线BD1的一个方向向量，为直线CE的一个方向向量，当BD1∥CE时，必有∥.由上可知直线BD1与直线CE不平行．
类型2 直线和平面平行
【例2】 (对接教材P30例3)如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．
在棱PD上是否存在点E，可假设存在，从而，则λ的取值范围是什么？
[解] 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，A(0,0,0)，从而＝(0,2,0)，＝(－1，－1,1)，＝(0,2，－1)．
假设在棱PD上存在符合题意的点E，则＝λ(0≤λ≤1)，
则＝(0,2λ，－λ)，所以＝＋＝(－1,2λ－1,1－λ)．
∵＝(0,2,0)是平面PAB的一个法向量．
∴由CE∥平面PAB可得⊥，即·＝0，
∴2λ－1＝0，解得λ＝，即＝.
即存在点E为PD的中点时CE∥平面PAB．
证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
[跟进训练]
2.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.
[证明] 如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，则A(0,0,0)，B，B1，C1(0，a，b)，D，
∴＝，
＝，
＝.
设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
∴
不妨令y＝2b，则n＝(0,2b，－a)．由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n.
又AB1?平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.
类型3 平面与平面平行
【例3】 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，试用向量的方法证明平面ADE∥平面B1C1F.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2)．
同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，
得解得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)．
因为n1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
证明面面平行问题可由以下方法去证明：
①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法.
[跟进训练]
3.在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．
试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1.
[证明] 因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形．
因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.
取AF的中点M，连接DM，
则DM⊥AB，所以DM⊥CD．
以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，
＝(，－1,0)，＝(0,0,2)，
所以∥，∥，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA?平面AA1D1D，CC1，CF?平面FCC1，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
1．若不重合的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－3，－6,6)，则( )
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直
D．不能确定
A [因为＝＝，所以a∥b.又直线l1，l2不重合，所以l1，l2平行．]
2．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么( )
A．l⊥α
B．l∥α
C．l?α
D．l与α斜交
B [∵直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，
∴a·b＝－4＋0＋4＝0，
∴直线l在平面α内或者与平面平行，
又直线l上有一点P不在平面α上，
∴l∥α.]
3．若平面α∥β，则下面可以是这两个平面法向量的是( )
A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)
B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)
C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)
D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)
D [因为平面α∥β，所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合．]
4．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则直线AB( )
A．与坐标平面Oxy平行
B．与坐标平面Oyz平行
C．与坐标平面Oxz平行
D．与坐标平面Oyz相交
B [因为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，所以＝(0,5，－3)，而坐标平面Oyz的法向量为(1,0,0)，显然(0,5，－3)·(1,0,0)＝0，故直线AB与坐标平面Oyz平行．]
5．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝________.
－8 [设a＝(2，m,1)，b＝.因为l∥α，所以a⊥b.于是a·b＝2＋m＋2＝0，则m＝－8.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)两直线平行的向量表达式是什么？
[提示] 设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R，使得μ1＝λμ2.
(2)直线和平面平行的向量表达式是什么？
[提示] 设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l?α，则l∥α?μ⊥n?μ·n＝0.
(3)平面和平面平行的向量表达式是什么？
[提示] 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.
(4)证明线面平行有哪些方法？
[提示] ①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；
③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
PAGE第3课时 空间中直线、平面的垂直
学
习
任
务
核
心
素
养
熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.
借助用空间向量证明线面和面面垂直的学习，提升数学运算和逻辑推理素养.
因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题．上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题．
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表达式
位置关系
向量表达式
线线垂直
设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2＝0
线面垂直
设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则l⊥α?μ∥n??λ∈R，使得μ＝λn
面面垂直
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．
( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.
( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．
( )
(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1,0,1)，μ2＝(0,2,0)，则平面α，β互相垂直．
( )
[提示] (1)× 两条直线可能异面垂直．
(2)√ 根据线面垂直的定义可知．
(3)× 也可能平行．
(4)√ 由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，从而α⊥β.
类型1 直线和直线垂直
【例1】 (对接教材P32例4)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
[证明] 法一：(基底法)设＝a，＝b，＝c，
则{a，b，c}为空间的一个基底．
∵AE＝EC，DF＝FC，
∴EF∥AD，且EF＝AD，
∴＝＝＝(c－a)．
又＝b，AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴·＝(c－a)·b＝(c·b－a·b)＝0，
∴⊥，
∴EF⊥BC．
法二：(坐标法)由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，
D(，－1,0)，C(0,2,0)，
因而E，F，
所以＝，＝(0,2,0)，
因此·＝0.从而⊥，
所以EF⊥BC．
用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤
(1)基底法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
[跟进训练]
1.已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
[证明] 设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M为BC的中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，
∴AB1⊥MN.
类型2 直线和平面垂直
【例2】 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求证：AE⊥CD；
(2)求证：PD⊥平面ABE.
证明线面垂直，可以证明直线的方向向量与平面的法向量平行，若不求平面的法向量，可用什么方法证明线面垂直？
[解] (1)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)．
因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形．
所以C，E.
设D(0，y,0)，由AC⊥CD得·＝0，
则y＝，则D，
所以＝.又＝，
所以·＝－×＋×＝0，
所以⊥，即AE⊥CD．
(2)法一：由(1)知＝(1,0,0)，＝，
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝2，则n＝(0,2，－)．
又＝，显然＝n，所以∥n，
所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
法二：由(1)知＝，＝.
又·＝×＋×(－1)＝0，
所以⊥，即PD⊥AE.
由(1)知＝(1,0,0)，所以·＝0，所以PD⊥AB．
又AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
1．坐标法证明线面垂直的两种方法
法一利用线线垂直：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
法二利用平面的法向量：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．
[跟进训练]
2.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明] 法一：设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝
(＋)＝(＋)
＝(＋－)＝(－a＋b＋c)．
∵＝＋＝a＋b，
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C?平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)．
∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴⊥，⊥，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1，AC?平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC．
法三：由法二得＝(0,2,2)，
＝(－2,2,0)，＝(－1，－1,1)．
设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，则·n＝0，·n＝0，
即
取x＝1，则y＝1，z＝－1，∴n＝(1,1，－1)，∴＝－n，
∴∥n，∴EF⊥平面B1AC．
类型3 平面和平面垂直
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
[解] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，
则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.
法一：(利用平面的法向量)设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则?
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则?
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
法二：(利用线面垂直)取AC1的中点D，连接ED(图略)．
则D，＝(1,1,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴ED⊥AC1，ED⊥AC，
又AC1∩AC＝A，AC1，AC?平面AA1C1C，
∴ED⊥平面AA1C1C，
又ED?平面AEC1，
∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
[跟进训练]
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：平面AED⊥平面A1FD1.
[证明] 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，
∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
由
得令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
1．已知直线l1的方向向量a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2,3，m)．若l1⊥l2，则m＝( )
A．1
B．2
C．
D．3
B [由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2.]
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
B [∵a·b＝2x(－1)＋(－1)×(－2)＝0，
∴a⊥b，
∴α⊥β，故选B．]
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则实数z等于( )
A．3
B．6
C．－9
D．9
C [由题意可得u⊥v，则u·v＝3＋6＋z＝0，解得z＝－9.故选C．]
4．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t＝________.
－4 [由题意知u∥v，∴＝＝.解得t＝－4.]
5.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________．
PM⊥AM [以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
依题意可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，A(2，0,0)，M(，2,0)，
所以＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，
所以·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，
所以PM⊥AM.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)两直线垂直的向量表达式是什么？
[提示] 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.
(2)直线和平面垂直的向量表达式是什么？
[提示] 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.
(3)平面和平面垂直的向量表达式是什么？
[提示] 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.
(4)证明线面垂直有哪些方法？
[提示] ①基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直．
②坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直．
③坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行．
PAGE1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题
学
习
任
务
核
心
素
养
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重点)2.能描述解决距离问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．(难点、易混点)
空间中点、线、面距离的相互转化，培养直观想象和数学运算素养.
立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．
在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？
知识点1 点P到直线l的距离
如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝.
如何用向量的方法求两条平行线的距离？
[提示] 两条平行线的距离可转化为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离．
1.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为s＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离d为( )
A． B． C． D．
A [＝(2,0,1)，由点到直线的距离公式得d＝＝eq
\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2)))))＝.]
知识点2 点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝.
2.已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________．
[由题意知，＝(－1，－2,4)，|n|＝＝3，
·n＝(－1)×(－2)＋(－2)×(－2)＋4×1＝10，
∴点P到平面α的距离为＝.]
类型1 点到直线的距离
【例1】 已知在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．
[解] 以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，则＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)．
||＝＝，||2＝5，·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
在上的投影向量的长度为＝.
所以点A到EF的距离d＝eq
\r(|\o(FA,\s\up7(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(6)))))＝＝.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，并求相应点的坐标．
(2)求出直线的方向向量a的坐标，并求|a|2.
(3)求以直线上某一特殊点为起点，所求点为终点的向量b的坐标，并求|b|，计算.
(4)利用eq
\r(|a|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|))))求点到直线的距离．
[跟进训练]
1.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD?A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
[解] 因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，所以直线A′C的方向向量＝(1,2，－3)．
＝(0，－2,0)，||＝，||2＝4，所以在上的投影向量的长度为＝，
所以点B到直线A′C的距离
d＝eq
\r(|\o(BC,\s\up7(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\O(\o(BC,\s\up7(→))·\o(A′C,\s\up7(→))),|\o(A′C,\s\up7(→))|))))
＝＝.
类型2 点到平面的距离
【例2】 (对接教材P34例题)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．
[解] 取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD．
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(0,0,2)．
设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．
又＝(0,0,2)，所以所求距离d＝＝.
试总结用向量法求点到平面距离的步骤？
[提示]
[跟进训练]
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，求点B到截面AEC1F的距离．
[解] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F，E，B(1,1,0)，∴＝，＝.
设平面AEC1F的一个法向量为n＝(1，λ，μ)，
则n·＝0，n·＝0，
∴∴∴n＝(1,2，－1)．
又∵＝(0,1,0)，
∴点B到截面AEC1F的距离d＝＝＝.
类型3 直线和平面、平面和平面的距离
【例3】 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系．如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由．
[解] 以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则
M(1,0,0)，E(2,1,2)，
N(0,2,1)，A(2,0,0)，
C(0,2,0)，
所以＝(1,1,2)，
＝(－1,2,1)，
＝(－2,2,0)．
设平面EMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
令z＝1，则得n＝(－1，－1,1)．
因为·n＝(－2)×(－1)＋2×(－1)＋0×1＝0，
所以⊥n，又因为点A显然不在平面EMN内，所以AC与平面EMN平行．
又因为＝(1,0,0)，所以
＝＝，
因此点A到平面EMN的距离为，这也是AC与平面EMN之间的距离．
直线与平面、平面与平面距离的求法
(1)建立空间直角坐标系，求相应点的坐标．
(2)求出直线的方向向量，平面的法向量．
(3)先证明直线与平面、平面与平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离．
(4)求出点到平面的距离即为所求距离．
[跟进训练]
3.在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离．
[解] (1)证明：连接AB1交A1B于点E，连接DE.
?B1C∥平面A1BD．
(2)因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．
如图建立坐标系，
则B1(0,2，3)，
B(0,2，0)，A1(－1,0,3)，
＝(0,2，3)，
＝(0,2，0)，
＝(－1,0,3)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
所以
所以n＝(3,0,1)．
所求距离为d＝＝.
1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( )
A． B．1 C． D．2
A [∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)，
∴点A到直线BC的距离为
d＝eq
\r(|\o(AB,\s\up7(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\O(\o(AB,\s\up7(→))·\o(BC,\s\up7(→))),|\o(BC,\s\up7(→))|))))
＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,3))))＝.]
2．若三棱锥P?ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A．
B．
C．
D．
D [分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
则d＝＝.]
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
A．
B．
C．
D．3
B [∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B．]
4．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．
[因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，
所以点P到l的距离d＝＝＝.]
5．棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．
[如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，M，A(1,0,0)，
∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1)．
∴点M到平面ACD1的距离d＝＝.
又綊，故MN∥平面ACD1，
故直线MN到平面ACD1的距离为.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？
[提示] 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为.
(2)用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？
[提示] 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是.
(3)如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？
[提示] 先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．
PAGE第2课时 用空间向量研究夹角问题
学
习
任
务
核
心
素
养
1.能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角．(重点、易混点)2.能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题．(重点、难点)3.能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.通过学习线线、线面、平面与平面的向量表示，提升直观想象素养.2.通过利用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题，提升逻辑推理和数学运算素养.
设v1，v2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量．通过作图讨论线线角、线面角和平面与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角的关系．
知识点1 利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos
θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
1.两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量的夹角有什么关系？
[提示] 设两角异面所成的角为θ，两条异面直线的方向向量为v1，v2，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．
1.设v1＝(1,2，－2)，v2＝(－2,3,2)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角θ＝________.
[|v1|＝3，|v2|＝，v1·v2＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，
∴cos
θ＝＝0，
∴θ＝.]
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
2.设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v1，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？
[提示] θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－.
2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60° C．150° D．30°
D [直线l和平面α所成的角为120°－90°＝30°，故选D．]
知识点3 利用向量方法求两个平面的夹角
(1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
3.设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？
[提示] θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
3.平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，那么平面α与平面β的夹角等于( )
A．120°
B．30°
C．60°
D．30°或150°
B [cos〈n1，n2〉＝＝－，
设α与β的夹角为θ，
则cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，所以θ＝30°.]
类型1 两条异面直线所成的角
【例1】 (对接教材P36例题)如图，在三棱柱OAB?O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．
[解] 以O为坐标原点，，的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝
＝
＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
[跟进训练]
1.如图所示，在正方形ABCD?A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
A [建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
∴＝(－1，－1，－2)，
＝(1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝.]
类型2 直线与平面所成的角
【例2】 如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
[解] (1)证明：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.
不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．
由·＝0得EF⊥BC．
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ，
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取n＝(1，，1)，故sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
试总结用坐标法求直线和平面所成的角的步骤．
[提示]
[跟进训练]
2.如图所示，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB．
(2)如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝eq
\r(AB2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2))))＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，
则即可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
类型3 两个平面的夹角
【例3】 如图，在正方体ABEF?DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
平面MNA与平面MNB的夹角范围是，它与二面角A?MN?B有什么关系？
[解] 设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则M，N，A(1,0,0)，B(0,0,0)．
法一：取MN的中点G，连接BG，AG，则G.
因为△AMN，△BMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角．
又因为＝，
＝，
所以cos〈，〉＝＝＝－，故所求两平面夹角的余弦值为.
法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．
由于＝，＝.
则即
令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是n1＝(1,1,1)．
同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝(1，－1，－1)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－，
设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，
则cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
故所求两平面夹角的余弦值为.
利用坐标法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)．
[跟进训练]
3.如图所示，在几何体S?ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值．
[解] 如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则有D(0,0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)，
∴取x＝，得平面SAD的一个法向量为m＝(，1,0)．
又＝(2,0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，则
即令a＝，
则n＝(，5,2)，
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是.
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为，则l1与l2所成的角为( )
A． B． C．或 D．以上均不对
A [l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为，故选A．]
2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
B [设l与α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，故选B．]
3．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
B [设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，
则cos
θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°.]
4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos
θ＝________.
[cos
θ＝＝＝.]
5．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．
[设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图．
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．
平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)．
又＝(0,0,1)，
则cos〈，〉＝
＝＝.
即BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)用向量语言表述两条异面直线所成的角．
[提示] 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos
θ＝|cos〈u，v〉|＝.
(2)用向量语言表述直线和平面所成的角．
[提示] 直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos〈u，n〉|＝.
(3)用向量语言表述平面和平面的夹角．
[提示] 平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2，则cos
θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
(4)试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤．
[提示] (1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标．
(2)求出两个平面的法向量．
(3)求出两个法向量的夹角．
(4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角．
PAGE1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解空间向量及相关概念．(重点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及其推论的应用．(重点、难点)
1.通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养.
回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由．
知识点1 空间向量及相关概念
(1)空间向量的定义及表示
定义
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量
长度或模
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模
表示方法
几何表示
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
符号表示
空间向量常用一个小写字母表示．如：向量a，b，c…，其模分别记为|a|，|b|，|c|…
空间向量也可以用有向线段表示．如图所示，向量a也可记作，其模记为|a|或||
(2)几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a；的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
1.若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，那么它们的起点、终点也相同吗？
[提示] 起点、终点未必相同．
单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向．需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与向量的长度相等．
( )
(2)零向量没有方向．
( )
[提示] (1)√ 对于任意向量和，都有||＝||成立．
(2)× 零向量有方向，它的方向是任意的．
回忆平面向量的加法、减法与数乘运算，思考如何定义空间向量的加法、减法与数乘运算，并尝试总结空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有何不同．
知识点2 空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝＋＝
减法
a－b＝－＝
数乘
当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
2.由λa＝0，可否得出λ＝0?
[提示] 不能．λa＝0?λ＝0或a＝0.
2.(1)已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c
B．c－a－b
C．c＋a－b
D．c＋a＋b
(2)化简＋－＝________.
(1)B (2)0 [(1)＝＋＋＝－b－a＋c＝c－a－b，故选B．
(2)＋－＝＋＝0.]
知识点3 共线向量
(1)定义：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
a＝λb.
3.怎样利用向量共线定理证明空间A，B，C三点共线？
[提示] 只需证明向量，(不唯一)共线即可．
向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据．但必须注意在向量a(或b)所在直线上至少有一点不在b(或a)所在的直线上．
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c.
( )
(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
( )
(3)若＝，则A，B，C三点共线．
( )
[提示] (1)× 当b＝0时，a∥c不一定成立．
(2)× 当a是非零向量，b＝0时，不存在实数λ，使得a＝λb.
(3)√ 由＝知∥，且有公共点B，此时A，B，C三点共线．
知识点4 共面向量和共面向量定理
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x
a＋y
b.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),
使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
4.(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)设空间五点O，A，B，C，P，满足＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点是否共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)由x＋y＋z＝1，得＝x＋y＋z
＝(1－y－z)＋y＋z
＝＋y(－)＋z(－)，
即－＝y＋z，
即＝y＋z，
所以P，A，B，C四点共面．
共面向量定理可作为判定三条直线共面的依据，但要注意应用共面向量定理判定三条直线共面时，还需要其中一条直线上有一点在另外两条直线所确定的平面内．
4.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．
( )
(2)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.
( )
(3)对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是共面向量．
( )
[提示] (1)× 三条直线不一定在同一平面内．
(2)× 当与共线，与不共线时，x，y不存在．
(3)√ 由2a－b＝2·a＋(－1)·b得2a－b与a，b共面．
类型1 空间向量的有关概念及简单应用
【例1】 给出下列结论：
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤在如图1所示的正方体ABCD?A1B1C1D1中，必有＝；
图1 图2
⑥如图2所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量有3个．
其中正确的是________．(填序号)
③⑤⑥ [当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误；
要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误；
命题③是相等向量的传递性，显然正确；
空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误；
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故⑤正确；
在平行六面体ABCD?A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量分别为，，，故⑥正确．]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
[跟进训练]
1.如图所示，以长方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解] (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝＝＝＝3.
类型2 空间向量的线性运算
【例2】 (1)(多选题)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的是( )
A．－－
B．＋－
C．－＋
D．－＋
(2)已知正四棱锥P?ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．
①＝＋y＋z；
②＝x＋y＋.
(1)CD [－－＝－＝，A错；
＋－＝＋－＝＋＝，B错；
－＋＝＋＝，C对；
－＋＝－＋＝，D对．故选CD．]
(2)[解] ①如图，∵＝－＝－(＋)
＝－－，
∴y＝z＝－.
②法一：如图，＝＋＝＋2
＝＋2(－)
＝＋2－2
∴x＝2，y＝－2.
法二：由＝x＋y＋得
－＝x＋y，即＝x＋y
又＝2＝2(－)＝2－2
∴x＝2，y＝－2.
1．空间向量加法、减法运算的2个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
[跟进训练]
2．在空间四边形ABCD中，
G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．
(1)＋＋；
(2)(＋－)．
[解] (1)因为G是△BCD的重心，所以||＝||，
所以＝，又因为＝，
所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝.
从而＋＋＝.
(2)法一：由＋＝2，＝得
(＋－)＝－＝.
法二：如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，
连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，
且有＝，＝，
而＋＝，＝，
所以(＋－)＝＋－＝－＝.
类型3 空间向量共线问题
【例3】 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
(1)1 [＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.
设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以解得k＝1.]
(2)[证明] ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝
＝(－)＝＝(C－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
证明空间三点共线有哪些方法？
[提示] 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟进训练]
3．(1)已知空间中三个不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋yn＋2p，且a∥b，则x＝________，y＝________.
(2)如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
(1)－ 1 [由a∥b得，b＝λa(λ∈R)，
即(x＋1)m＋yn＋2p＝3λm－2λn－4λp.
因为向量m，n，p不共面．所以
解得]
(2)[证明] 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，因为EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共线．
类型4 向量共面问题
【例4】 (对接教材P5例题)如图所示，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面．
如何判断空间中的三个向量是否共面？
[证明] 因为＝k＝kb＋kc，
＝＋＝a＋k
＝a＋k(－a＋b)
＝(1－k)a＋kb，
所以＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.
由共面向量定理可知，，a，c共面．
解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
[跟进训练]
4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
[解] (1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
1．下列关于空间向量的命题中，正确的命题是( )
A．任一向量与它的相反向量都不相等
B．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C．平行且模相等的两个向量是相等向量
D．若a≠b，则|a|≠|b|
B [对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错．
对于B，根据相等向量的定义知，B正确．
对于C，两向量平行，方向不一定相同，故C错．
对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错．因此选B．]
2.(多选题)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋
C．(＋)＋
D．(＋)＋
ABCD [对于A，(＋)＋＝＋＝；对于B，(＋)＋＝＋＝；
对于C，(＋)＋＝＋＝；
对于D，(＋)＋＝＋＝.故选ABCD．]
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
A [因为＋＝＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以A，B，D三点共线．]
4．已知点P和不共线的三点A，B，C四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2＋＋λ，则λ＝________.
－2 [对于空间不共线的三点A，B，C和点P，若四点共面，则对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1，∴2＋1＋λ＝1，∴λ＝－2.]
5．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
[若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a＝xb＋yc，
∴2i－j＋3k＝x(－i＋4j－2k)＋y(7i＋5j＋λk)，
∴解得λ＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？
[提示] 适用范围不同，一个在平面内，一个在空间中．
(2)向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？
[提示] 当b＝0时，不一定存在λ值．
(3)共面向量定理是如何得到的？试叙述共面向量定理．
[提示] 根据平面向量基本定理得到共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(4)你是如何证明点P，A，B，C四点共面的？
[提示] 可转化为证明向量，，共面．1.1.2 空间向量的数量积运算
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法．(易混点)2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.了解投影向量的概念以及投影向量的意义．(难点)4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1.通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养.2.借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养.3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
回忆平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角如何定义，并尝试总结两者的不同之处．
知识点1 空间向量的夹角
(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b.
1.(1)对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉，〈－a，－b〉有怎样的关系？
(2)对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈－a，b〉〈a，－b〉有怎样的关系？
[提示] (1)〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉．
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
1.如图所示．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
(1)〈，〉＝________；
(2)〈，〉＝________；
(3)〈，〉＝________；
(4)〈，〉＝________.
(1) (2) (3) (4)π [(1)〈，〉＝〈，〉＝；
(2)〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉＝；
(3)〈，〉＝〈，〉＝；
(4)〈，〉＝〈，〉＝π.]
回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由．
知识点2 空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任意向量的数量积为0.
(2)空间向量数量积的性质
①a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；
②a⊥b?a·b＝0；
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
④a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝；
⑤若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝；
⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．
(3)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a(交换律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
2.(1)对于向量a，b，c.由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？
(2)对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？
[提示] (1)不能．例如，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，·＝·＝0，但，不相等．
(2)不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等．
对于向量a，b，若a·b＝k，则不能写成a＝或b＝，向量没有除法．
2.正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长等于2，则·＝________.
4 [||＝||＝2，〈，〉＝60°，
∴·＝||||cos
60°＝2×2×＝4.]
知识点3 向量a的投影
(1)向量a向向量b(直线l)的投影
如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)向量a向平面β的投影
如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
① ② ③
3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．
( )
(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直．
( )
(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉．
( )
[提示] (1)× 当〈a，b〉>时，反向．
(2)√ 根据向量向直线的投影定义可知，c与a－c垂直．
(3)√ 根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确．
类型1 空间向量数量积的计算
【例1】 (对接教材P7例题)如图所示，在棱长为1的正四面体A?BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
[解] (1)·＝·
＝||||cos〈，〉＝cos
60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·＝||·||cos〈，〉
＝cos
120°＝－.
(4)·＝·(－)＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝cos
60°－cos
60°＝0.
求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
[跟进训练]
1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2
＝1.]
2．已知正四面体D?ABC的各棱长为1，点E是AB的中点，则·的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
A [如图所示，正四面体D?ABC的棱长是1，E是AB的中点．
∴·＝(＋)·
＝－·＋·
＝－×1×1×cos
60°＋1×1×cos
60°＝，故选A．]
类型2 利用数量积证明空间中的垂直关系
【例2】 如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′中，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：
(1)AO⊥CD′；
(2)AC′⊥平面B′CD′.
[解] (1)因为＝＋＝＋(＋)＝(＋＋2)，＝－，
所以·＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，
所以⊥，故AO⊥CD′.
(2)因为·＝(＋＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＋·＋·，且·＝0，·＝0，·＝0，·＝||2，·＝－||2，·＝0，
所以·＝||2－||2＝0，
所以⊥，所以AC′⊥B′C．
同理可证，AC′⊥B′D′.
又B′C，B′D′?平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，
所以AC′⊥平面B′CD′.
用数量积证明线线垂直的步骤？
[提示] (1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知模和夹角向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
[跟进训练]
3．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
[证明] 连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos
θ－|a|2·cos
θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC．
类型3 利用数量积求夹角
【例3】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．
[解] ∵＝－，∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝24－16.
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.
求两条异面直线所成的角的步骤
(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
(3)利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
(4)根据异面直线所成角的余弦值为向量夹角余弦值的绝对值，求出异面直线所成角的大小．
[跟进训练]
4．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________．
[如图，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝.
因为＝(＋)＝(a＋b)，
＝－＝－＝c－b，
所以·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.
又因为||＝||＝，
所以cos〈，〉＝＝－.
所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为.]
类型4 利用数量积求两点间的距离
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
B，D间的距离可用表示，结合题中已知的条件，如何转化向量？
[解] ∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.
求两点间距离的方法
(1)取以两点为起点和终点的向量；
(2)用已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用a2＝|a|2，计算出|a|，|a|即为所求距离．
[跟进训练]
5.如图所示，在平面角为120°的二面角α?AB?β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B．已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
[解] ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.
∵二面角α?AB?β的平面角为120°，∴〈，〉＝180°－120°＝60°.
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos
60°＝144，
∴CD＝12.
1.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
A [〈，〉＝〈，〉＝45°，故选A．]
2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·等于( )
A．0 B． C．－ D．
D [·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝，故选D．]
3．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m既不平行于n，也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
B [由已知得m·a＝0，m·b＝0，
所以m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.
因此m⊥n，故选B．]
4．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为________．
60° [设向量a，b的夹角为θ，则cos
θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]
5．如图，在三棱锥A?BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，则MN的长为________．
a [因为＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋，
所以2＝
＝2－·－·＋·＋2＋2
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.
所以||＝a，即MN＝a.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？
[提示] 一致．
(2)向量a在向量b上的投影向量为向量c.则如何求|c|？试列举出你知道的方法．
[提示] |c|＝|a|cos〈a，b〉或|c|＝.
(3)利用空间向量的数量积可研究哪些问题？
[提示] 可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题．
PAGE1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
学
习
任
务
核
心
素
养
1.了解空间直角坐标系．(易混点)2.掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念．(重点)3.能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标．(重点、难点)
1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升数学抽象的核心素养.2.通过空间向量的坐标表示，培养数学运算的核心素养.
(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？
(2)我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置．那么，怎样才能刻画空间中点的位置呢？
知识点1 空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量．
通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)空间直角坐标系的画法和右手直角坐标系
①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．
1.用刀切一个圆形西瓜，如何做到“三刀切八块”？
[提示] 纵向交叉切两刀，再横向切一刀．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴与y轴的夹角为45°.
( )
(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分．
( )
(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系．
( )
[提示] (1)× 空间直角坐标系中，三条坐标轴相互垂直．
(2)× 空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成8个部分．
(3)√ 原点位置不同，就得到不同的空间直角坐标系．
在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，对空间直角坐标系中的一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
知识点2 空间中点的坐标和空间向量的坐标
(1)点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
(2)空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2.(1)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
(2)空间向量的坐标和空间向量终点的坐标有什么关系？
[提示] (1)x轴上的点纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)；
y轴上的点横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)；
z轴上的点横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
(2)当空间向量的起点在原点时，空间向量的坐标恰好是空间向量终点的坐标．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z)．
( )
(2)若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)．
( )
(3)若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．
( )
(4)若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．
( )
[提示] (1)× {e1，e2，e3}不一定是单位正交基底．
(2)× 点A不一定和原点O重合．
(3)√ 根据空间向量的坐标定义可知．
(4)√ 由＝可知与的坐标相同．
类型1 求空间点的坐标
【例1】 (1)(对接教材P18例题)如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
①顶点A1，B的坐标分别为________；
②长方形BB1C1C对角线交点的坐标为________．
(2)在棱长均为2a的正四棱锥P?ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系．
①写出正四棱锥P?ABCD各顶点的坐标；
②写出棱PB的中点M的坐标．
(1)①(3,0,5)，(3,4,0) ② [(1)①由＝3i＋0j＋5k得A1(3,0,5)，
由＝3i＋4j＋0k得B(3,4,0)．
②设长方形BB1C1C对角线的交点为E，则点E为线段BC1的中点，又C1(0,4,5)，∴点E的坐标为.]
(2)[解] 如图，连接AC，BD交于点O，连接PO.
∵四棱锥P?ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.
∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD．
∴OA＝a，
PO＝＝＝a.
以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
①正四棱锥P?ABCD中各顶点坐标分别为A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，D(0，－a,0)，P(0,0，a)．
②∵M为棱PB的中点，
∴M，即M.
1．建立空间直角坐标系的原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面．
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面Oxy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
[跟进训练]
1.如图，棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．
[解] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在Dxy平面中，
且|EA|＝.
所以＝i＋j＋0k，所以E点的坐标为.
同理B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，
又因为F是BB1的中点，故F点坐标为.
同理可得G点坐标为.
类型2 求对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[解] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
1．点P(x，y，z)关于坐标轴，坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？
[提示] 关于谁对称、谁保持不变，其余坐标相反．
2．点P(a，b，c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标是什么？
[提示]
对称轴或对称中心
对称点坐标
P(a，b，c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
Oxy平面
(a，b，－c)
Oyz平面
(－a，b，c)
Ozx平面
(a，－b，c)
坐标原点
(－a，－b，－c)
[跟进训练]
2．点P(－3,2，－1)关于平面Ozx的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．
(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点P(－3,2，－1)关于平面Ozx的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3,2，－1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．
则解得
故点P(－3,2，－1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]
类型3 求空间向量的坐标
【例3】 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
设＝i，＝j，＝k，
则＝0i＋j＋0k＝(0,1,0)，
＝－＝k＋－＝i－j＋k＝(1，－1,1)，
＝－＝＋－＝i－j＋2k＝(1，－1,2)．
求空间向量坐标的步骤
[跟进训练]
3．如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
设＝i，＝j，＝k，
则＝＝0i＋1j＋0k＝(0,1,0)，
＝－＝－i＋0j＋0k＝(－1,0,0)，
＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝＝－＋＋(＋＋)＝＋＝j＋k
＝.
1．点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上
B．Oxy面上
C．Ozx面上
D．Oyz面上
C [点P的纵坐标为0，因此点P在xOz面上，故选C．]
2.如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是( )
A．(－1，－1，－1)
B．(1，－1,1)
C．(1，－1，－1)
D．(－1,1，－1)
C [依据空间点的坐标定义可知，
点A的坐标为(1，－1，－1)，故选C．]
3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于Ozx平面对称的点的坐标为( )
A．(3，－1,5)
B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5)
D．(－3,1，－5)
A [点P(3,1,5)关于Ozx平面对称的点的坐标为(3，－1,5)故选A．]
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是________
(3,2,5) [＝＋＋＝3i＋2j＋5k＝(3,2,5)．]
5．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
(2，－3,1) [由题意知P1(2,3,1)，P2(－2,3,1)，P3(2，－3,1)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？
[提示] ①观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线．
②让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内．
③充分利用几何图形的对称性．
(2)如何确定空间一点P的坐标？
[提示] 先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z)．
(3)如何求空间向量的坐标？
[提示] 在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示，从而求出空间向量的坐标．
PAGE1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学
习
任
务
核
心
素
养
1.掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)
1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养数学运算素养.2.借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升数学运算及逻辑推理素养.
平面向量运算的坐标表示：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，
a·b＝a1b1＋a2b2.
你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？
知识点1 空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
1.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
[提示] 空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的．
1.已知空间向量m＝(1，－3,5)，n＝(－2,2，－4)，则m＋n＝________，3m－n＝________，(2m)·(－3n)＝________.
(－1，－1,1) (5，－11,19) 168 [m＋n＝(1，－3,5)＋(－2,2，－4)＝(－1，－1,1)；
3m－n＝3(1，－3,5)－(－2,2，－4)＝(3，－9,15)－(－2,2，－4)＝(5，－11,19)；
(2m)·(－3n)＝(2，－6,10)·(6，－6,12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168.]
知识点2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)?a＝λb?
垂直(a⊥b)
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模
|a|＝＝
夹角公式
cos〈a，b〉＝＝
2.若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？
[提示] 当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
2.已知a＝(1,0,1)，b＝(2，－2,0)，则〈a，b〉＝_______.
60° [因为a·b＝1×2＋0×(－2)＋1×0＝2，
|a|＝＝，
|b|＝＝2，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因此〈a，b〉＝60°.]
知识点3 向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
3.已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
[提示] OA＝||＝.
3.若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则＝__________，||＝________.
(1，－1，－1) [＝(1，－1，－1)，||＝＝.]
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.
(2)已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使＝(－)．
(1)2 [c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.]
(2)[解] ＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
∴－＝(6,3，－4)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(－)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.
进行空间向量的数量积坐标运算的技巧
利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧．
(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．
(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
[跟进训练]
1．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________.
(1，，) (1,0，) 4 [∵a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，
∴2a＝(2,2，2)，2b＝(2,0,2)，
∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)，
∴a·b＝1×1＋×0＋×＝4.]
类型2 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题
【例2】 (1)已知a＝(3,2λ－1,1)，b＝(μ＋1,0,2μ)．
若a⊥b，则μ＝________；
若a∥b，则λ＋μ＝________.
(2)(对接教材P20例题)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：
①AB1∥GE，AB1⊥EH；
②A1G⊥平面EFD．
(1)－ [由a⊥b，得a·b＝3(μ＋1)＋2μ＝0，
解得μ＝－.由a∥b，得＝，且2λ－1＝0，解得μ＝，λ＝，所以λ＋μ＝.]
(2)[证明] 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H.
①＝(1,0,1)，＝，＝.
因为＝2，·＝1×＋1×＝0，
所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH.
②＝，＝，＝.
因为·＝－＋0＝0，
·＝＋0－＝0，
所以⊥，⊥，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，
因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD．
1．判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；
(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
2．由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．
[跟进训练]
2．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解] (1)∵＝(－2，－1,2)且c∥，
∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．
∴|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.
类型3 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
【例3】 在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量的方法求解下列问题：
(1)求EF与C1G所成角的余弦值；
(2)求FH的长．
[解] 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.
(1)＝－＝，
＝－(0,1,1)＝，
∴||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(2)∵F，H，∴＝，
∴FH＝||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝.
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？
[提示] ?1?根据条件建立适当的空间直角坐标系；
?2?写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
?3?通过向量的坐标运算求夹角和距离.
[跟进训练]
3．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，Q为A1A的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉，〈，〉的大小．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，＝(1，－1,2)．
(1)||＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∵·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∵0<<<1，∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos
x在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4,2)
B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2)
D．(2,1，－3)
B [b＝(a＋b)－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)，故选B．]
2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于( )
A．5
B．4
C．3
D．2
C [λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3.]
3．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为( )
A．(－1,3，－3)
B．(9,1,1)
C．(1，－3,3)
D．(－9，－1，－1)
B [＝＝－，＝＋＝(9,1,1)．]
4．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________.
4 [由a∥b得a＝λb，所以解得
所以x－y＝4.]
5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角的大小是________．
[∵＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
∴||＝，||＝，
·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
又〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？
[提示] 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则当b≠0时
，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝.
(2)你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？
[提示] ①根据条件建立适当的空间直角坐标系；
②求出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
③通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离．
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