四川省南充市高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学（理）试卷 PDF版含答案

南充高中 2020－2021 学年度下期 ? 1 ?
7.设数列? 2 ?的前n项和为Sn，则S10 ? （ ）
?4n ?1?
高 2020 级中期考试（理科）数学试卷 10 20 9 18
A. B. C. D.
21 21 19 19
? 2 2
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A? ，且b ?a ?ac，则B= （ ）
6
? ? 2? ? 2?
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） A. B. C. D. 或
6 3 3 3 3
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 9.设Sn等差数列?an?的前n项和，且满足S2018 ?0，S2019 ?0，对任意正整数n，都有 an ? ak ，
1. ? ? ? ?
sin115 cos5 ?sin25 cos95 等于 （ ） 则k的值为 （ ）
A.1008 B.1009 C.1010 D.1011
1 1 3 3 ?
A. B.? C. D.? 10.P为△ABC所在平面内一点，AB?PB?PC ?0， PB ? PC ? AB ?2，则△PBC的面
2 2 2 2
积等于 （ ）
? ? ? ? ?
2.已知a ?(5,m)，b ?(2,?2)且(a?b)?b，则m等于 （ ） A.3 3 B.4 3 C. 3 D.2 3
A.-9 B. 9 C. 6 D.-6
3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5, 11.为献礼建党一百周年，南高嘉陵校区在学校后山修建“初心园”，现有半径为30 3m，圆心角
*
8,13,21,34,55，...，即F(1)? F(2)?1，F(n)? F(n?1)?F(n?2)(n?3,n?N ), ?
为 的扇形空地OPQ（如图所示），需要在空地内修建一平行四边形景观场地ABCD，则该景
3
此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列 观场地的面积最大值为 （ ）
被 2 整除后的余数构成一个新数列?an?，则数列?an?的前 2020 项和为 （ ）
2
A.672 B.673 C.1347 D.2020 2 ?
A.450 3m B.450? 3 1?m
? ?
4.在△ABC 中，a ?1，A? ,B ? ,则 c等于 （ ） 2 2
6 4 C.1350?2? 3?m D.1350? 2 ?1?m
6 2 6? 2 6? 2
A. B. C. D. an 1 * 1 1
已知数列? ?满足 ? a ? (n?N ) 且 ? ，若记 为满足不等式 ? ?
2 2 2 2 12. an n 1 , a1 1 bn n ak n?1
an ?2 2 2 2
5.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、
n
春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春 * (?1) bn
(n?N )的正整数k的个数，设Tn ?1? ? n ，数列?Tn?的最大项的值为M与最
分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影 bn bn ?(?1)
长为 （ ） 小项的值为N，则M-N= ( )
A.七尺五寸 B.六尺五寸 C.五尺五寸 D.四尺五寸
? 1 ?
6.若sin( ??)? ，则cos(2?? )? （ ） 7 1 5 17
3 3 3 A.? B. C. D.
12 3 6 12
7 7 8 8
A. B.? C. D.?
9 9 9 9
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20. （本题满分 12 分）
2
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 数列?an?的前 n 项和为Sn，已知an ?0，an ?2an ?4Sn ?3.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. （1）求数列?an?的通项公式；
13.数列7,77,777,7777，???的一个通项公式为an=_____.
an ?1 ? 1 ? 1
（2）令b ? ，设数列? ?的前 n 项和为Tn，若不等式Tn ? loga(1?a)对
? ? n
14.4cos80 ? 3tan10 ?__________. 2 ?bnbn?2? 3
任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围
? ? ? n a .
15.等比数列?an?的各项均为正数，已知向量a ?(a4，a5)， ?
b ?(a7，a6)，a?b ?18，
则log 3 a1?log 3 a2 ?????log 3 a10 ? . 21. （本题满分 12 分）
x x 2 x
16.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB、AC分别相交于点P、Q. 若 已知函数 f(x)?2 3sin cos ?1?2cos .
AP ?tAB， 2 2 2
20
则当△ABC与△ （ ）求y ? f(x)的单调递减区间；
APQ的面积之比为 时，实数t的值为 . 1
9
三、解答题：本题共 6 小题，共 70分. 2?
（2）将y ? f(x)图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位
3
17.（本题满分 10 分） ? 6 ?
? ? ? ? ? ? 2 得到y ? g(x)，若g(2?? )? ，??(0, )，求sin?的值.
已知向量a，b 满足|a|?2，|b|? 3，且(a?b) ?1． 3 5 2
? ?
（1）求a和b 的夹角；
???? ???? ? ????
（2）在?ABC 中，若 ?
AB?a，AC ?b，求|BC|． 22. （本题满分 12 分）
1 1 1 *
已知数列?an?满足a1 ?1，a1? a2 ? a3 ????? an?an?1?3(n?N ).
2 3 n
18.（本题满分 12 分）
2 （1）求数列?an?的通项公式；
在公差为d 的等差数列?an?中，已知a1 ?10，且5a1a3 ?(2a2 ?2) .
a
（2）令 n
x1 ?4, xn ?2 (n?2)，如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，
（1）求公差d 和通项公式an；
P2(x2，2)?Pn?1(xn?1，n?1)得到折线P1 P2?Pn?1，求由该折线与直线y?0，x? x1，
（2）若d ?0，求 a1 ? a2 ? a3 ????? an .
x?xn?1所围成的区域的面积Tn．
19. （本题满分 12 分）
已知△ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3bcosA?asinB.
（1）求角 A；
（2）若a ?2 3，△ABC 的面积为 3，求b?c.
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南充高中 2020－2021 学年度下期
高 2020 级中期考试（理科）数学试卷答案
1—5：CBC DD 6—10：BAB C C 11—12：AD
7 n 3 3
13. (10 ?1) 14. 1 15. 20 16. 或
9 4 5
?
17.（1）因为 ? 2 ?2 ?
2 ? ?
2 2 ? ?
(a?b) ?a ?b ?2a?b ?2 ?( 3) ?2a?b ?1
?
所以，?
a?b ??3，....................................................................2分
? ? ?
a b ?3 3
所以， ? ?
cos?a,b ?? ? ? ? ?? ，
|a||b| 2? 3 2
? 5
又夹角在 ?
[0，?]上，??a,b ?? ?；..................................................5分
6
???? ???? ???? ?
（2）因为 ?
BC ? AC?AB?b?a，
???? ? ? ?
所以， 2 ? 2 2 ?2 ? 2 2
|BC| ?(b ?a) ?b ?a ?2b?a ?( 3) ?2 ?2?(?3)?13 ，
????
所以，BC边的长度为|BC|? 13 ．.....................................................10分
18. (1)因为 2 2
5a1a3 ?(2a2 ?2) ,所以d ?3d ?4?0,解得d ??1或d ?4.
故an ??n?11或an ?4n?6.........................................................4分
（2）因为d ?0，所以由（1）得d ??1，an ??n?11.
1 21
设数列 2
?an?的前n项和为Sn，则Sn ?? n ? n.......................................6分
2 2
1 2 21
当n?11时， a1 ? a2 ? a3 ??????an ? Sn ?? n ? n；.............................8分
2 2
1 21
当n?12时， 2
a1 ? a2 ? a3 ??????an ??Sn ?2S11 ? n ? n?110.....................10分
2 2
? 1 2 21
??? n ? n,n?11,
2 2
综上所述， a1 ? a2 ? a3 ??????an ?? ........................12分
?1 2 21
? ? ?
? n n 110,n 12.
?2 2
a b c
19.（1）在△ABC中，由正弦定理的： ? ? ,
sin A sinB sinC
? 3bcosA?asinB可等价转化为 3sinBcosA?sin AsinB,其中B?（0，?），故sinB ?0.
?
? 3cosA?sin A,即tan A? 3,由于A?（0，?）,A? ..............................6分
3
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?
（2）在△ABC中，由余弦定理得： 2 2 2
a ?b ?c ?2bccosA，代入a ?2 3，A? 得：
3
2 2
12?b ?c ?bc，即 2
12?(b?c) ?3bc， ..............................................8分
又 1 3
?S?ABC ? bcsin A? bc ? 3，?bc ?4. .......................................10分
2 4
联立解得：b?c?2 6 . ..................................................................12分
20.（1）当 2
n?1时，a1 ?2a1 ?4a1?3解得a1 ?3或a1 ??1.
?an ?0，?a1 ?3.
2 2
?an ?2an ?4Sn ?3①，?an?1 ?2an?1 ?4Sn?1?3,n?2②. ................................3分
①-②化简得：(an ?an?1)(an ?an?1?2)?0，?an ?0，?an ?an?1 ?0
?an ?an?1 ?2，??an?是以 3为首项，2 为公差的等差数列.
?an ?2n?1. .............................................................................6分
an ?1 1 1 1 1 1
（2）由（1）可得bn ? ?n， ? ? ( ? ).
2 bnbn?2 n(n?2) 2 n n?2
1 1 1 1
?Tn ? ? ? ?????
b1b3 b2b4 b3b5 bnbn?2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
? ( ? )? ( ? )? ( ? )????? ( ? )? ( ? )................10分
2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 n?1 n?1 2 n n?2
1 1 1 1 3 1 1 1
? (1? ? ? )? ? ( ? )
2 2 n?1 n?2 4 2 n?1 n?2
1 1
?Tn?1?Tn ? ?0，?数列?Tn?单调递增，?（Tn）min ?T1 ? .
(n?1)(n?3) 3
1 1?a 1 1 1?a
要使不等式Tn ? loga 对任意正整数 n 恒成立，只要 ? loga 即可.
3 3 3
1
?1?a ?0,?0?a?1.解得1?a ?a，得0?a? . ...........................................12分
2
x x 2 x ? ??
21.（1） f?x??2 3sin cos ?2cos ?1? 3sinx?cosx?2sin?x? ? ..................3分
2 2 2 ? 6?
? ? 3? ? 4?
令 ?2k?? x? ? ?2k?,k?Z ，即 ?2k?? x? ?2k?,k?Z ，
2 6 2 3 3
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?? 4? ?
y ? f?x?的单调递减区间为： ，
? ?2k? ?2k?，
? k?Z ................................6分
?3 3 ?
x ? ?? ? ?? 6 ? ?? 3
(2)结合题意知g?x??2cos ，所以g?2?? ??2cos??? ?? ，所以cos??? ?? . ......8分
2 ? 3? ? 6? 5 ? 6? 5
? ?? ? ?? 2?? ? ?? 4
因为???0, ?，所以?? ?? , ?，所以sin??? ?? . ..............................10分
? 2? 6 ? 6 3 ? ? 6? 5
?? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?
所以 4 3 3 1 4 3 3
sin??sin???? ?? ? ?sin??? ?cos ?cos??? ?sin ? ? ? ? ? ...12分
?? 6? 6? ? 6? 6 ? 6? 6 5 2 5 2 10
1 1 1 *
22. （1）由a1? a2 ? a3 ????? an?an?1?3(n?N )①可得
2 3 n
当n?1时，a1 ?a2 ?3，可得a2 ?4.
1 1 1 *
当n?2时，a1? a2 ? a3 ????? an?1?an ?3(n?N )②.
2 3 n
1 an?1 n?1
①-②化简得： an?an?1?an，所以 ? . .........................................3分
n an n
a3 a4 a5 an 3 4 5 n
由累乘法可得： ? ? ????? ? ? ? ????? .
a2 a3 a4 an?1 2 3 4 n?1
an n
化简得： ? ，所以an ?2n.
a2 2
?1, n?1
因为a1 ?1不满足上式，故an ?? . .........................................6分
?2n,n?2
n *
（2）由（1）可知xn ?4 ,n?N .过P1,P2,P3,???,Pn?1向 x 轴作垂线，垂足分别为Q1,Q2,Q3,???,Qn?1.
n *
则xn?1?xn ?3?4 ,n?N ，记梯形PnPn?1Qn?1Qn的面积为bn.
(n?n?1) n 3 n
由题意bn ? ?3?4 ?(3n? )?4 ， ...............................................8分
2 2
所以Tn ?b1?b2 ?b3 ?????bn
3 1 3 2 3 3 3 n
?(3?1? )?4 ?(3?2? )?4 ?(3?3? )?4 ?????(3n? )?4 ③
2 2 2 2
3 2 3 3 3 4 3 n?1
4Tn?(3?1? )?4 ?(3?2? )?4 ?(3?3? )?4 ?????(3n? )?4 ④
2 2 2 2
1 n?1
③-④化简得：?3Tn ?2?(3n? )?4 ， .........................................10分
2
1 n?1 2
所以Tn ?(n? )?4 ? . .........................................................12分
6 3
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