(共21张PPT)
复习
如图直线AB、CD交于E,若
∠AED=90 ,则∠AEC=____,
∠BEC=____,∠BED=_______.
90
90
90
新课引言
2、同一平面内,两条不重合的直线有哪些位置关系?
同一平面内两条不重合的直线有两种位置关系:相交、平行。
这节课我们来研究两条直线相交中一种特殊情况-------垂直
3.6.1 垂线
主题讲解
主题一 、垂线的概念
观察:
画框的边线、十字路口的两条笔直街道、房屋横梁和支撑梁等都相交成多少度的角?
1、什么叫垂直?
两条直线相交所成的四
个角中, 有一个是直角时(
易知其余三个角也是直角),
这两条直线叫做互相垂直
(perpendicular), 其中每一条直线叫做另一条的垂线( perpendicular ), 它们的交点叫做垂足(footofaperpendicularf).
由定义知道:(1)若AB⊥CD,
则∠AED=∠AEC=∠BEC=∠BED=90
(2)若∠AED=90 ,则AB⊥CD
2、怎样表示垂直关系?
垂直用符号“⊥” 表示, 如图, AB 与CD垂直(E为垂足), 记做:AB⊥CD,
读做AB 垂直于CD.
说明:
1、垂直是两条直线相交中的一种特殊情形。特殊在相交成的角中有一个是直角(当然其它的三个也是直角)。
2、垂直用符号“⊥”表示,AB与CD垂直(E为垂足),记作:AB⊥CD,读作AB垂直于CD。
【例1】如图,已知AOB为一条直线,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,试判断OD、OE的位置关系。
【解】因为OD平分∠BOC,
OE平分∠AOC(已知)
所以∠1=0.5∠AOC,
∠2 =0.5∠BOC,(角平分线定义)
所以∠1+∠2=0.5∠AOC+0.5∠BOC
=0.5(∠AOC+∠BOC)
=0.5×180 =90
所以OE⊥OD.
点评:判两条直线垂直,指需要判定它们
相交形成的四个角中有一个是直角。
【变式练习】
(2011.梧州)如图,直线EO⊥CD,垂足为O,AB平分∠EOD,则∠BOD的度数为( )
A、 120 , B、 130
C、 135 , D 、 140
【解】因为EO⊥CD(已知),
所以∠EOD=90 (垂直的定义)
因为OA平分∠EOD(已知),
所以∠AOD=0.5∠EOD=0.5×90 =45
因为∠AOD+∠BOD=180 ,所以,
∠BOD=180 -∠AOD=180 -45 =135 ,选C.
点评:两条直线相交,形成的四个角都是直角。
C
主题二、垂线的性质
动脑筋:
如图,在同一平面内,如果a⊥m,b⊥m,那么a∥b吗?
【解】:∵a⊥m,b⊥m(已知),
∴∠1=∠2=90
(垂直定义)
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)
由此你能得到什么结论?
推理格式:若a⊥m,b⊥m,那么a∥b.
在同一平面内,垂直于同
一直线的两条直线互相平行.
垂直于同一直线的两条直线互相平行互相平行吗?.
如图,直线AB,A D ′都与AA ′垂直,但AB与AD ′不平行。
在同一平面内,垂直于同
一直线的两条直线互相平行.
上面问题中的条件“a⊥m”与结论“a∥b”交换,即:在同一平面内,如果a∥b,,m⊥b那么m⊥a吗?
【解】:∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2=90
(两直线平行,同位角相等),
∵b⊥m (已知)
∴∠2=90 (垂直定义)
∴∠1=∠2=90 (等量代换)
∴m⊥a(垂直定义)
由此你能得到什么结论?
推理格式:
若a ∥b,m ⊥b,则m ⊥a
在平面内,如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条,那么这条直线必垂直于另一条。
【例2 】如图简易屋架中,BD,AE,HF都垂直于CG,若∠1=60°,求∠2的度数。
【解】:因为BD⊥CG,AE⊥CG(已知)
所以BD∥AE
(同一平面内,垂直于同一
条直线的两条直线互相平行),
所以∠1=∠2=60
(两直线平行,同位角相等)
【变式练习】
如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠3,那么AD平分∠BAC吗?为什么?
【解】因为AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
所以AD∥EG
(同一平面内,垂直于同一条直线的
两条直线互相平行),
所以,∠1=∠E,∠2=∠3
(两直线平行,内错角相等,同位角相等),
又因为∠E=∠3(已知)
所以,∠1=∠2(等量代换),
所以AD平分∠BAC(角平分线定义).
应用迁移
1、垂直定义
【例3】如图,AB⊥AC,AD⊥BC垂足为D,那么∠1与∠B,∠2与∠C有什么关系?为什么?
【解】因为AB⊥AC,AD⊥BC(已知)
所以∠1+∠2=90 (垂直定义),
∠B+∠2=90 ,∠1+∠C=90
(三角形的三个内角的和等于180 )
所以∠1=∠B,∠2=∠C
(同角或等角的余角相等)
【变式练习】
如图,直线a∥b,AC⊥AB,AC交直线b于点C,∠1=65 ,则∠2的度数是( )
A 65 ,B 50 ,C 35 ,D 25
【解】因为AB⊥AC(已知)
所以∠BAC=90 (垂直定义)
,∠B+∠1=180 -90 =90
(三角形三个内角的和等于180 )
所以∠B=90 -∠1=90 -65 =25
因为a∥b(已知),
所以∠2=∠B=25 (两直线平行,同位角相等)
2、平行线性质
【例2】 如图 已知CD⊥AB,∠1=∠2,
求∠BFE的度数。
【解法一】∵CD⊥AB(已知)
∴∠CDB=90 (垂直定义)
∵∠1=∠2(已知)
∴EF∥CD
(同位角相等,两直线平行)
∠BFE=∠CDB=90
(两直线平行,同位角相等)
【解法二】∵CD⊥AB(已知)
∴∠CDB=90 (垂直定义)
∵∠1=∠2(已知)
∴EF∥CD
(同位角相等,两直线平行)
所以AB⊥EF
( 平面内,一条直线垂直于两条平行线中的一条也垂直于另一条)
所以∠EFB=90 (垂直定义)
【例2】 如图 已知CD⊥AB,∠1=∠2,
求∠BFE的度数。
【变式练习】
如图, AB⊥AD, CD⊥AD, ∠B=56°, 求∠C.
【解】因为AB⊥AD, CD⊥AD(已知)
所以,DC∥AB
(垂直于同一条直线
的两条直线平行),
所以,∠B+∠C=180 ,
(两条直线平行,同旁内角互补)
所以∠C=180 -∠B=180 -56 =134
反思小结
1、由垂线的概念知道,(1)如果两条直线垂直,则它们相交形成的四个角都是直角,(2)要判定两条直线垂直,只需要判定两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角。
2、垂线的两条性质:
(1)同一平面内,两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线互相平行。前提是“同一平面内”,作用:判定两条直线平行;
(2)平面内,一条直线垂直于两条平行线中的一条,必垂直另一条。
作用:判定两条直线垂直。
作业
1、直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°,
求∠BOE和∠AOC的度数。
2、如图BD⊥AC,EF⊥AC,垂足为D,F,∠1=∠2,则∠ADG=∠C吗?为什么?
3.6.1 垂线
教学目标:
掌握互相垂直及其有关概念。
理解并掌握垂线的两条性质。
教学重点、难点:
重点:两直线互相垂直的概念及垂线的有关性质。
难点:垂线的有关性质的理解
教学过程:
一创设情境,导入新课
1、如图直线AB、CD交于E,若∠AEC=90 ,则∠AED=_____,∠BEC=_____,∠BED=_______.
【解】因为∠AEC和∠AED互补,所以∠AEC+∠AED=180
所以∠AED=180 -∠AEC=180 -90 =90 .
因为∠AEC和∠BED,∠AED和∠BEC是对顶角,所以,∠AED=∠BEC=90 ,∠BED=∠AEC=90 .
2、同一平面内,两条不重合的直线有哪些位置关系?
同一平面内两条不重合的直线有两种位置关系:相交、平行。
这节课我们来研究两条直线相交中一种特殊情况-------垂直
二 合作交流,探究新知
主题一 、垂线的概念
观察:
画框的边线、十字路口的两条笔直街道、房屋横梁和支撑梁等都相交成多少度的角?
两条直线相交所成的四个角中, 有一个是直角时(易知其余三个角也是直角), 这两条直线叫做互相垂直(perpendicular), 其中每一条直线叫做另一条的垂线(perpendicular line), 它们的交点叫做垂足(foot of a perpendicular).
垂直用符号“⊥” 表示, 如图, AB 与CD垂直(E为垂足), 记做AB⊥CD, 读做AB 垂直于CD.
说明:
垂直是两条直线相交中的一种特殊情形。特殊在相交成的角中有一个是直角(当然其它的三个也是直角)
垂直用符号“⊥”表示,AB与CD垂直(E为垂足),记作:AB⊥CD,读作AB垂直于CD。
【例1】如图,已知AOB为一条直线,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,试判断OD、OE的位置关系。
【解】因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC(已知)
所以∠1=0.5∠AOC, ∠2=0.5∠BOC,(角平分线定义)
所以∠1+∠2=0.5∠AOC+0.5∠BOC
=0.5(∠AOC+∠BOC)
=0.5×180 =90
所以OE⊥OD.
【变式练习】
(2011.梧州)如图,直线EO⊥CD,垂足为O,AB平分∠EOD,则∠BOD的度数为( )
A、 120 , B、 130 , C、 135 , D 、 140
【解】因为EO⊥CD(已知),所以∠EOD=90 (垂直的定义)
因为OA平分∠EOD(已知),所以∠AOD=0.5∠EOD=0.5×90 =45
因为∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC45
因为∠BOC+∠BOD=180 ,所以,∠BOD=180 -∠BOD=180 -45 =135 ,选C.
主题二、垂线的性质
动脑筋:
如图,在同一平面内,如果a⊥m,b⊥m,那么a∥b吗?
【解】:∵a⊥m,b⊥m(已知),
∴∠1=∠2=90 (垂直定义,等量代换)
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)
由此你能得到什么结论?
在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.
(2)上面问题中的条件“a⊥m”与结论“a∥b”交换,在同一平面内,如果a∥b,,m⊥b那么m⊥a吗?
由此你能得到什么结论?
【解】:∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2=90 (两直线平行,同位角相等),
∵b⊥m (已知)
∴∠2=90 (垂直定义)
∴∠1=∠2=90 (等量代换)
∴m⊥a(垂直定义)
在平面内,如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条,那么这条直线必垂直于另一条。
【例2 】如图简易屋架中,BD,AE,HF都垂直于CG,若∠1=60°,求∠2的度数。
【解】:因为BD⊥CG,AE⊥CG(已知)
所以BD∥AE(垂直于同一条直线的两条直线互相平行),
所以∠1=∠2=60 (两直线平行,同位角相等)
【变式练习】
如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠3,那么AD平分∠BAC吗?为什么?
【解】因为AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
所以AD∥EG(垂直于同一条直线的两条直线互相平行),
所以,∠1=∠E,∠2=∠3(两直线平行,内错角相等,同位角相等),
又因为∠E=∠3(已知)
所以,∠1=∠2(等量代换),所以AD平分∠BAC(角平分线定义).
三、应用迁移,巩固提高
垂直定义
【例3】如图,AB⊥AC,AD⊥BC垂足为D,那么∠1与∠B,∠2与∠C有什么关系?为什么?
【解】因为AB⊥AC,AD⊥BC(已知)
所以∠1+∠2=90 (垂直定义),∠B+∠2=90 ,
∠1+∠C=90 (三角形的三个内角的和等于180 )
所以∠1=∠B,∠2=∠C(同角或等角的余角相等)
【变式练习】
如图,直线a∥b,AC⊥AB,AC交直线b于点C,∠1=65 ,则∠2的度数是( )
A 65 ,B 50 ,C 35 ,D 25
【解】因为AB⊥AC(已知)所以∠BAC=90 (垂直定义)
,∠B+∠1=180 -90 =90 (三角形三个内角的和等于180 )
所以∠B=90 -∠1=90 -65 =25
因为a∥b(已知),所以∠2=∠B=25 (两直线平行,同位角相等)
2、平行线性质
例2 如图 已知CD⊥AB,∠1=∠2,求∠BFE的度数。
【解法一】∵CD⊥AB(已知)∴∠CDB=90 (垂直定义)
∵∠1=∠2(已知)
∴EF∥CD(同位角相等,两直线平行)
∠BFE=∠CDB=90 (两直线平行,同位角相等)
【解法二】∵CD⊥AB(已知)∴∠CDB=90 (垂直定义)
∵∠1=∠2(已知)
∴EF∥CD(同位角相等,两直线平行)
所以AB⊥EF(一条直线垂直于两条平行线中的一条也垂直于另一条)
所以∠EFB=90 (垂直定义)
【变式练习】
如图, AB⊥AD, CD⊥AD, ∠B=56°, 求∠C.
【解】因为AB⊥AD, CD⊥AD(已知)
所以,DC∥AB(垂直于同一条直线的两条直线平行),
所以,∠B+∠C=180 ,所以∠C=180 -∠B=180 -56 =134
四 反思小结,拓展提高
这节课你有什么收获?
垂线的概念和垂线的两条性质。第一条性质可用于两条直线平行的判定方法,第二条性质可用于两条直线垂直的判定方法。
五 作业
1直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°,求∠BOE和
∠AOC的度数。
2、如图BD⊥AC,EF⊥AC,垂足为D,F,∠1=∠2,则∠ADG=∠C吗?为什么?