高考数学冲刺资料（共14份）

【2012高考冲刺样本】3-2函数试题精粹2
11．（江苏省2012届苏北四市第一次联考）已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，且的最大值为1，则满足的解集为 ▲ ．
13．（江苏省2012届苏北四市第一次联考）已知函数，给出下列命题：
（1）当时，的图像关于点成中心对称；
（2）当时，是递增函数；
（3）当时，的最大值为.
其中正确的序号是 ▲ ．（1）（3）
（无锡市1月期末调研）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为 ▲ ．8
（无锡市1月期末调研）已知函数f（x）=|x2－2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为 ▲ ．
14．（姜堰二中学情调查（三））已知函数,若对任意，存在，使，则实数取值范围是
7. （泰州市2012届高三第一次模拟考试）设函数，若曲线在点处的切线方程为，则 。1
13. （泰州市2012届高三第一次模拟考试）已知函数，若，且，则的取值范围为 。
12．（江苏省南通市2012届高三第一次调研测试）已知函数 HYPERLINK "http://www." ，若 HYPERLINK "http://www." 在（1，3]上有解，则实数 HYPERLINK "http://www." 的取值范围为 ▲ ． HYPERLINK "http://www."
13．（江苏省南通市2012届高三第一次调研测试）已知 HYPERLINK "http://www." ，若对 HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." ，则实数 HYPERLINK "http://www." 的取值范围是 ▲ ． HYPERLINK "http://www."
6、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知函数，其图象在点(1,)处的切线方程为,
则它在点处的切线方程为 ▲
10. （苏北四市2012届高三第一次调研考试）已知函数及其导函数的图象如图所示，
则曲线在点P处的切线方程是 ▲ ．
讲评建议：此题也体现着解决问题的本质思想，求一个函数在某点处
的切线方程的关键是什么，当然是某点的坐标及此点的导数值，有了
这样的分析此题就太简单了，也许这就是高考想要的思相方法。此题
可能出现的问题是由于导函数是一次函数，原函数是二次函数，学生
会求两个函数，再求切线方程，既走了回路。放在第10题也正是这种用意。
9、（宿迁市高三12月联考）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ；
13、（宿迁市高三12月联考）如图放置的边长为的正三角形沿轴滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，则在区间上的解析式是　　 　　；
14、（宿迁市高三12月联考）关于函数，有下列命题：
①若，则函数的定域为R；
②若，则的单调增区间为
③函数的值域为R，则实数a 的取值范围是且
④定义在R的函数，且对任意的都有：
则4是的一个周期。
其中真命题的序号是 ；①③④
14．（徐州市12月高三调研）设，函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 ▲ .
14．（盐城市第一次调研）已知函数
,,
设,且函数的零点均在区间内,
则的最小值为 ▲ .9
12. （苏北四市2012届高三第二次调研）已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ▲ ．
14. （苏北四市2012届高三第二次调研）
已知函数，
且，则满足条件的所有整数的和是 ▲ ．6
20．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2012届高三调研考试）（本小题满分16分）
已知函数，a为正常数．
⑴若，且a，求函数的单调增区间；
⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．
⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围．
解：⑴
∵a，令得或
∴函数的单调增区间为 ……………………………4
⑵证明：当时
∴ ∴
又
不妨设 ， 要比较与的大小，
即比较与的大小，又∵，
∴ 即比较与的大小．
令 ………………………………………8
则
∴在上位增函数．
又，∴， ∴，
即 ……………………………………………10
⑶∵ ， ∴
由题意得在区间上是减函数．………………………………………12
当， ∴
由在恒成立．
设，，则
∴在上为增函数，∴ ………………………………………14
当，∴
由在恒成立
设，为增函数∴
综上：a的取值范围为 ………………………………………16
19．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2012届第一次联考）（16分）设函数 的最小值为，两个实根为． .
（1）求的值；（2）若关于的不等式解集为，函数在上不存在最小值，求的取值范围；（3）若，求的取值范围。
19．解：（1）∵
∴ ∴ . （4分）
（2）不妨设；，在不存在最小值，∴或 （8分）
又， ∴ （10分）
（3）∵， ∴ （12分）
又 ∴ ∴在上为增函数.
∴ （16分）
20．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2012届第一次联考）（16分）函数，，.
（1）①试用含有的式子表示；②求的单调区间；
（2）对于函数图像上的不同两点，，如果在函数图像上存在点（其中在与之间），使得点处的切线∥，则称存在“伴随切线”，当时，又称存在“中值伴随切线”。试问：在函数的图像上是否存在两点．，使得存在“中值伴随切线”？若存在，求出．的坐标；若不存在，说明理由。
20．解：（1）① ∵ ∴ . （2分）
② ∵， ∴当时 ，
当时，
∴增区间为，减区间为 （6分）
（2）不存在 （7分） （反证法）
若存在两点，，不妨设，则
曲线在的切线斜率
又
∴由得 ① （11分）
法一：令
∴在上为增函数 （15分）
又 ∴ 与①矛盾
∴不存在 （16分）
法二：令，则①化为 ②
令 ∵
∴在为增函数 （15分）
又 ∴此与②矛盾，∴不存在 （16分）
x
y
O
1
（第10题图）
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1【2012高考冲刺样本】1—1.应用问题的题型与方法
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力.
由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.
一、知识整合
1．“考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际.
2．应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：
（1）、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验.
（2）、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流.
（3）、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来求解.
3．求解应用题的一般步骤是（四步法）：
（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.
4．在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.
Ⅰ．函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
⑴ 根据题意，熟练地建立函数模型；
⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.
Ⅱ．几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.
Ⅲ．数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.
二、例题分析
例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
（粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝）
分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.
解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝， 主要关系是：P≥P .
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）
另解：1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；
而主要关系是：粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）.
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）
说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.
在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1，算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上.
A
M C D B
例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？
分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.
解：1.读题：主要关系：人均住房面积＝
2.建模：2000年底人均住房面积为
3.求解：化简上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面积为≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m.
说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.
例3．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中
在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中
sinβ= 现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.
（1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时.
解：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，
则
设N（x0，y0），
又B（p，0），∴直线BC的方程为：
由得C的纵坐标
，∴
（2）由（1）得 ∴，∴当且仅当时，上式取等号，∴当公里时，抢救最及时.
例4．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.
解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：
y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .
整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得：
当当≥c时，则v＝c时，y取最小值.
综上所述，为使全程成本y最小，当说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.
2.二次函数、指数函数以及函数（a＞0，b＞0）的性质要熟练掌握.
3.要能熟练地处理分段函数问题.
例5． 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风
的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
例6．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.
甲 乙 丙
维生素A（单位/千克） 600 700 400
维生素B（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）确定x，y，z的值，使成本最低.
解:（1）依题意得 .
（2）由 ， 得
，
当且仅当时等号成立.，
∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.
说明：线性规划是高中数学的新增内容， 涉及此类问题的求解还可利用图解法.
例7． 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？
分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，
考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，），则P至三
镇距离的平方和为
所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
解法二：P至三镇的最远距离为
由解得记于是
函数的图象如图，因此，
当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，
所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线
MA的反向延长线上，记P为P2，
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.
答:点P的坐标是
例7．A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B
队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη.
分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
，
根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=
P(η=2)=P(ξ=1)= ， P(η=3)=P(ξ=0)= .
（2）； 因为ξ+η=3，所以
例8．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一
旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，
损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概
率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费
用最少.
例9．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则
，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，则，即，此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，
由，得
，
要使对于任意正整数，均有恒成立，
即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 ， 得，
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.
说明：本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.
例10．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
解：每月生产x吨时的利润为
，故它就是最大值点，且最大值为：
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
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10【2012高考冲刺样本】3-2函数试题精粹6
20．（2012年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分16分)
已知函数（，实数，为常数）．
（1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；
（2）若对于任意的实数，，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)设g(x)=，
19．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）（本题满分16分）
已知函数为奇函数，
且在处取得极大值2.
（1）求函数的解析式；
（2）记，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当时，若函数的图像的直线的下方，求的取值范围。
解析：（1）由（≠0）为奇函数，
∴，代入得， 1分
∴，且在取得极大值2.
∴ 3分
解得，，∴ 4分
（2）∵，
∴ 5分
因为函数定义域为（0，+∞），所以
得，（舍去）.
由函数定义域为（0，+∞）， 13分
则当时，，当时，
∴当时，函数取得最小值1-。 15分
故的取值范围是（1，+∞）。答也正确 16分
20．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）（16分）已知函数。
（1）若证明：对于任意的两个正数，总有成立；
（2）若对任意的，不等式：恒成立，求的取值范围。
即：
19、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）（16分）设m为实数，函数， .
（1）若≥4，求m的取值范围；
（2）当m＞0时，求证在上是单调递增函数；
（3）若对于一切，不等式≥1恒成立，求实数m的取值范围.
② 当时，
易证 在为递增，由②得在为递增，
所以，，即， 所以 。 （14分）
③当时， （无解） （15分）
综上所述 。 （16分）
20．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）（本小题满分16分）
已知函数 ，
（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。
（Ⅱ）若为奇函数，
（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围。
20．（本小题满分16分）
（Ⅰ）∵在上存在最大值和最小值，
∴（否则值域为R），
∴
，
又，由题意有，
∴； （4分）
（Ⅱ）若为奇函数，∵，∴，
20. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.
（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；
（2）求证：函数在内至少有一个零点；
（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
当时，，故．
所以所求的取值范围是或．
20．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题满分16分）
已知函数，（其中为常数）；
（1）如果函数和有相同的极值点，求的值；
（2）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．
20．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.
（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？ 并说明理由；
（2）设是（1）中的“平底型”函数，为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.
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3【2012高考冲刺样本】1—2试题精粹2
17、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式；
（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
17、解：（1） ………5分
（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费
y＝125tx＋100x＋60（500＋100t） …………9分
＝ …………10分
＝
＝ …………11分
…………12分
当且仅当，即x＝27时，y有最小值36450． …………13分
答：略 …………14分
17．（无锡市1月期末调研）（本小题满分14分）
已知 A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取．
用及R表示和；
求的最小值．
17．（1）因为，则，
则．………………………………………3分
设AB的中点为O，连MO、NO，则．
易得三角形AMC的面积为， …………………………5分
三角形BNC的面积为， …………………………………7分
∴+
　　　． ……………………………………………………8分
（2）∵，…………………10分
令，则．
∴． ……………………………………………………12分
∴的最小值为．……………………………………………………14分
18．（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)
某广告公司为2012年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以为直径的半圆，点为圆心，下部分是以为斜边的等腰直角三角形，是两根支杆，其中米，. 现在弧、线段与线段上装彩灯，在弧、弧、线段与线段上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为，节能灯的比例系数为，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有灯“心悦效果”的和.
（Ⅰ）试将表示为的函数；
（Ⅱ）试确定当取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
18．解：（Ⅰ）因为,所以弧EF、AE、BF的长分别为…3分
连接OD，则由OD=OE=OF=1，，所以
…………6分
所以
…………………………………9分
（Ⅱ）因为由…………………………………11分
解得，即 …………………………………………13分
又当时，，所以此时y在上单调递增；
当时，，所以此时y在上单调递减.
故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16分
18．（盐城市第一次调研）(本小题满分14分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,
当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).
18．解：（Ⅰ）因为,所以………………………………1分
则当时,由,解得,所以此时……………… 3分
当时,由,解得,所以此时………………………5分
综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………… 6分
（Ⅱ）当时,………………………9分
==,因为,而,
所以,故当且仅当时,y有最小值为 ……12分
令,解得,所以的最小值为 ……14分
17. （苏北四市2012届高三第二次调研）（本小题满分14分）
据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．
（1）试将表示为的函数；
（2）若，且时，取得最小值，试求的值．
17．解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． ………………………………………………4分
从而点C处受污染程度． …………………………6分
（2）因为，所以，， ………………8分
，令，得， ………………12分
又此时，解得，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度的值为8． ………………14分
17. （苏州市2012届高三调研测试）（本小题满分14分）
有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与车身长的积，且车距不得小于一个车身长（假设所有车身长均为）.而当车速为时，车距为1.44个车身长.
⑴求通过隧道的最低车速；
⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量最多？
17.【解析】（1）依题意，设，其中是待定系数，
因为当时，
所以，，
所以
因为，所以，
所以最低车速为
(2)因为两车间距为，则两辆车头间的距离为
一小时内通过汽车的数量为，
因为所以
所以当即时，单位时段内通过的汽车数量最多.
试题精粹
江苏省2012年高考数学联考试题
19．(江苏通州市2012年3月高三素质检测)（本小题满分16分）
某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1≤a≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为元（8≤x≤9）时，一年的销售量为(10－x)2万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最
大值M(a)．
18．（2012年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分16分)
如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为m，m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)．[]
(1) 用x的代数式表示AM；
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义
域；
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
19．（江苏省无锡市部分学校2012年3月联考试卷）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？（16分）
19．解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令，得，所以=64
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
D
O
A
B
E
F
第18题
2x
N
M
P
F
E
D
C
B
A
（第18题图）
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8【2012高考冲刺样本】3-3函数问题的题型与方法-1
三、函数的概念
函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：
1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．
2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．
3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．
Ⅰ 深化对函数概念的认识
例1．下列函数中，不存在反函数的是　　　　　　　　　　（ ）
分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法。
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．
由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．
例1．（重庆市）函数的定义域是（ D ）
A、 B、 C、 D、
例2．（天津市）函数（）的反函数是（ D ）
A、 B、
C、 D、
也有个别小题的难度较大，如
例3．（北京市）函数其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
其中正确判断有（ B ）
A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个
分析：若，则只有这一种可能．②和④是正确的．
Ⅱ 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法
1．求函数定义域的基本类型和常用方法
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字
例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．
解：(1)由0＜x＜2， 得
说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．
求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域。
2．求函数值域的基本类型和常用方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．
3．求函数解析式举例
例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？
所以
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：
(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．
(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．
四、函数的性质、图象
(一)函数的性质
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．
对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．
1．对函数单调性和奇偶性定义的理解
例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是　　 （　　　 ）
A．1　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．
说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．
2．复合函数的性质
复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
(1)单调性规律
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．
(2)奇偶性规律
若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．
例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ 　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，选B．
说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．
3．函数单调性与奇偶性的综合运用
例6．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
故所求函数及其定义域为
但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要
论函数的增减性来解决．
由于vv＞0，v-v＞0，并且
又S＞0，所以即
则当v=c时，y取最小值．
说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．
（二）函数的图象
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
1．作函数图象的一个基本方法
例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)
说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．
在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．
2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．
一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．
在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．
(1)平移变换
函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；
函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．
(2)伸缩变换
函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．
函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上
而得到．
(3)对称变换
函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．
函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．
函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．
函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。
函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到．
函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到．
例8．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．
五、函数综合应用
函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:
1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展．
2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思想．
3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑．
具体要求是：
1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．
2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养．
3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力．
4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．
本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用．
难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高．
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识
在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．
例9．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（　　　 ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．
2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力
高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．
函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．
例10．方程lgx+x=3的解所在区间为（　　　 ）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．
说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．
例11．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：
若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．
(1)证明：
当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．
所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．
(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则
f(a)=(b+c)a+bc+1．
当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1．
因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．
当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．
因为|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．
由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。
例12．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k·3＜-3+9+2得
上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
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1【2012高考冲刺样本】3-3函数问题的题型与方法-2强化训练
1．对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) A． B．
C．g(t)=(t－1)2 D．g(t)=cost
2．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )
3．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数
是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
A．a≤1 B．a<2 C．14.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为 （ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
5.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）
A. f(2)C. f(2)6.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) （ ）
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
7.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tanθ的值是 （ ）
A. － B. － C. D.
8.已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。
9.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
10.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
11. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
12．已知函数满足：，，则
。
13．已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为________________________。
14．设函数f(x)=lg(ax+2x+1)．
(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．
15．设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
16. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。
①.求公差d的取值范围；
②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(1992年全国高考)
P
M
A H B
D C
17. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
18. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA·tanC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
19. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求 实数a的取值范围。
20．已知偶函数f(x)=cossinx－sin(x－)+(tan－2)sinx－sin的最小值是0，求f(x)的最大值 及此时x的集合．
21．已知，奇函数在上单调．
（Ⅰ）求字母应满足的条件；
（Ⅱ）设，且满足，求证：．
、参考答案
1．不改变f(x)值域，即不能缩小原函数定义域。选项B，C，D均缩小了的定义域，故选A。
2．先作出f(x,y)=0关于轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0的图象，又
f(2－x,y)=0即为，即由f(-x,y)=0向右平移2个单位。故选C。
3．命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。
若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为14．图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
5．函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
6．从反面考虑，注意应用特例，选B；
7．设tan＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；
8．利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、
(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
9．设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；
10．设高h，由体积解出h＝2，答案：24；
11．设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。
12．运用条件知：=2，且
==16
13．依题意可知，从而可知，所以有
，又为正整数，取，则
，所以，从而，所以，又，所以，因此有最小值为。
下面可证时，，从而，所以, 又,所以,所以,综上可得:的最小值为11。
14．分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解．
切实数x恒成立． a=0或a＜0不合题意，
解得a＞1．
当a＜0时不合题意； a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；
a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．
所以当0≤a≤1时f(x)的值域是R．
15．分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。
解：问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则
解得x∈（,）
说明 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
16．分析： ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。
解：① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－[(5－)]
因为d<0，故[n－(5－)]最小时，S最大。由－说明： 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。
17．分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
P
M
A H B
D C
解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
说明：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。
18．分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。
解： 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得
tanA＋tanC＝tanB(tanA·tanC－1)＝ (1＋)
设tanA、tanC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋
设A由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。
说明：本题的解答关键是利用“△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC”这一条性质得到tanA＋tanC，从而设立方程求出tanA和tanC的值，使问题得到解决。
19．分析：当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。
解：由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
所以a的取值范围是a>－。
说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
在解决不等式()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝(), t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a>－。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。
20．解：f(x)=cossinx－(sinxcos－cosxsin)+(tan－2)sinx－sin
=sincosx+(tan－2)sinx－sin
因为f(x)是偶函数，
所以对任意xR，都有f(－x)=f(x)，
即sincos(－x)+(tan－2)sin(－x)－sin=sincosx+(tan－2)sinx－sin,
即(tan－2)sinx=0，
所以tan=2
由
解得或
此时，f(x)=sin(cosx－1).
当sin=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sin=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，
当cosx=－1时，f(x)有最大值为,
自变量x的集合为{x|x=2k+,kZ}．
21．解：（1）；．，
若上是增函数，则恒成立，即
若上是减函数，则恒成立，这样的不存在．
综上可得：．
（2）（证法一）设，由得，于是有，（1）－（2）得：，化简可得
，，，故，即有．
（证法二）假设，不妨设，由（1）可知在
上单调递增，故，
这与已知矛盾，故原假设不成立，即有．
过关测试
一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．．
1．(06广东B1)函数的定义域是_____
2.定义在R上的函数的值域为［a,b］,则的值域为____
3．若函数的定义域为R，则的值为____
4. 函数f(x)= 若f(f(x))=1，则x的取值范围是_____
5. 规定记号“”表示一种运算，即，若，则函数的值域为
6. （08江苏）A=，则AZ的元素的个数．
7．函数，若则的所有可能值为
8. 已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f（3－x）的定义域是
9. 函数的单调递增区间是.
10. 设函数满足，则．
11. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为
12. 若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.
13. （10天津）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________
14．已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题：
①f(x)必是偶函数； ②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；
③f(x)有最大值|a2-b|; ④若a2-b≤0，则f(x)在区间[a，+∞上是增函数.
其中正确命题的序号是_________.
三、解答题：本大题共5小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数，a为常数.
16. (本题14分)已知函数，，．
⑴讨论在定义域上的单调性，并给予证明；
⑵若在上的值域是,，求的取值范围和相应的，的值．
17. (本题14分)已知，是二次函数，是奇函数，且当时，的最小值为1，求的表达式．
18．（09广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分7分，第三小问满分3分）
设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且f(x)＝，
(1) 求证：直线x＝1是函数y＝ f(x)的对称轴;
(2) 当时，求的解析式；
(3) 若A＝，求a的取值范围.
20．（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分7分）
定义：若存在常数，使得对定义域D内的任意两个不同的实数，均有：成立，则称在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件．
（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值，并加以验证；
（2）若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数的最小值；
（3) 现有函数，请找出所有的一次函数，使得下列条件同时成立：
①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件；
②方程的根也是方程的根，且；
③方程在区间上有且仅有一解．
答案
一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．．
1．(06广东B1)函数的定义域是
2.定义在R上的函数的值域为［a,b］,则的值域为［a,b］
3．若函数的定义域为R，则的值为－6.
若a+2=0,则b=0
若a+2≠0由题意知,不合，所以a=－2,b=0.所以3a+b=－6.
4. 函数f(x)= 若f(f(x))=1，则x的取值范围是{或}. 当时， 当时，又解得。故{或}。．
5. 规定记号“”表示一种运算，即，若，则函数的值域为
由条件=解得。1=
6. （08江苏）A=，则AZ的元素的个数0 ．
7．函数，若则的所有可能值为_-eq \F(,2)_1__
8. 已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f（3－x）的定义域是[2,3].
9. 函数的单调递增区间是（－1，0.
10. 设函数满足，则 ．
11. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为＿1＿＿3＿＿
12. 若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________.0＜a＜
13. （10天津）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________
若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
M<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即>1,解得m<-1.
14．已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题：
①f(x)必是偶函数； ②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；
③f(x)有最大值|a2-b|; ④若a2-b≤0，则f(x)在区间[a，+∞上是增函数.
其中正确命题的序号是___④______.
三、解答题：本大题共5小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数，a为常数.
(1)求a的值； (2)判断f(x)在区间(－1、1)上的增减性.
(1) ∵ f(x)在R上是奇函数，∴ f(0)=0 ∴a=0 ………………… 6分
(2) 由上可知f(x)=－.设x1、x2∈(－1，1)且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)=－
=. …………………………………………………………（9分）
∵ －1＜x1＜x2＜1, ∴x2－x1＞0,x1·x2－1＜0, 1+＞0, 1+＞0,
∴ f(x2)－f(x1)＜0, 即f(x2)＜f(x1)， ……………… 12分
∴ f(x)在(－1，1)上为减函数. ……………… 14分
16. (本题14分)已知函数，，．
⑴讨论在定义域上的单调性，并给予证明；
⑵若在上的值域是,，求的取值范围和相应的，的值．
解：（1）在定义域上单调递增．
任取,=
∵,∴，,∴,
∴在定义域上单调递增． ……………………………………6分
（2）由（1）知在[m，n]上单调递增， ∴在[m，n]上的值域是
即， ………………………10分
∴，为方程的两个正相异实根，
∴△=1＞0，且可得 　 ………………………12分
　　　 ， ……………………14分
17. (本题14分)已知，是二次函数，是奇函数，且当时，的最小值为1，求的表达式．
解：设，则为奇函数，
∴，, ……………………………………4分
∴
∵当时，的最小值为1
∴或或 …………10分
解得　 或， ……………………………………13分
∴或 ………………………………14分
18．（09广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
【解析】（1）设，则；
又的图像与直线平行
又在取极小值， ，
， ；
， 设
则
（2）由，
得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点
19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分7分，第三小问满分3分）
设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且f(x)＝，
(1) 求证：直线x＝1是函数y＝ f(x)的对称轴;
(2) 当时，求的解析式；
(3) 若A＝，求a的取值范围.
略
20．（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分7分）
定义：若存在常数，使得对定义域D内的任意两个不同的实数，均有：成立，则称在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件．
（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值，并加以验证；
（2）若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数的最小值；
（3) 现有函数，请找出所有的一次函数，使得下列条件同时成立：
①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件；
②方程的根也是方程的根，且；
③方程在区间上有且仅有一解．
（1）例如令由
知可取满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）.……………………… 4分
（2）在为增函数对任意有
，……………… 7分
所以. ……………… 9分
（3）由于所有一次函数均满足（1）故设是的根，，又
若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形。
设
①若，则由，且
所以，在中另有一根，矛盾。 …………………………………… 12分
②若，则
所以，在中另有一根，矛盾。 ……………………………… 14分
以下证明，对任意符合题意。
当时，由图象在连接两点的线段的上方知
当时，
当时，
综上：有且仅有一个解，在满足题意。
综上所述： ………… 16分
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1【2012高考冲刺样本】2-1集合知识点总结精华及试题精粹1
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： ( http: / / www. / )
二、知识回顾：
集合
基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为；
②空集是任何集合的子集，记为；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同时，那么A = B.
如果.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.
3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例： 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.
例：①若应是真命题.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.
② .
解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.
,故是的既不是充分，又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
例：若.
集合运算：交、并、补.
主要性质和运算律
包含关系：
等价关系：
集合的运算律：
交换律：
结合律:
分配律:.
0-1律：
等幂律：
求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U
反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(3) card(UA)= card(U)- card(A)
试题精粹
江苏省2012年高考数学联考试题
1．（江苏省2012届苏北四市第一次联考）设集合A={︱}，B={︱}，则满足C（A∩B）的集合C的个数是 ▲ ．2
15、（江苏省2012届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)
已知集合， （1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.
15、解：（1）A=[-8，-4] ………………2分
当时，， ………………4分
∴） ………………5分
（2）
①当时，恒成立； ………8分
②当时，
∴或解得或（舍去）
所以 ………………11分
③当时，
或（舍去）解得 ………………13分
综上，当，实数的取值范围是． ………………14分
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）已知集合
（1）求时，求实数a的取值范围； （2）求使的实数a的取值范围。
15、解：（1）若……………4分
∴当的取值范围为……………6分
（2）∵……………7分
①当
要使……………10分
②当……………11分
③当
要使……………13分
综上可知，使的实数a的取值范围是[2，3] ……………14分
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1【2012高考冲刺样本】1—2试题精粹1
江苏省2012年高考数学联考试题
11. （苏州市2012届高三调研测试）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径，
满盘时直径，已知卫生纸的厚度为，
则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ （取，精确到）.
【解析】
17．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2012届高三调研考试）（本小题满分14分）
如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口（为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中，．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．
⑴ 求S关于m的函数关系式；
⑵ 应征调m为何值处的船只，补给最适宜．
解 ⑴以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则直线OZ方程为． …………………………………………………………………2
设点， 则，，
即，又，所以直线AB的方程为．
上面的方程与联立得点 ……………………………5
……………………………8
⑵…………………12
当且仅当时，即时取等号， …………………………14
18．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2012届第一次联考）（16分）某企业有两个生产车间分别在．两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工，现要在公路上找一点，修一条公路，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知．．中任意两点间的距离均是1，设，所有员工从车间到食堂步行的总路程为.
（1）写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；
（2）问食堂建在距离多远时，可使总路程最少？

18．解：（1）在中，∵，
∴，.则. （6分）
其中 . （8分）
（2） （12分）
令，得. 当时，，是的单调减函数；
当时，，是的单调增函数.
∴当时，取得最小值. 此时，， （14分）
. （答略） （16分）
18、（江苏省2012届苏北四市第一次联考）(本小题满分16分)
某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产个月的累计产量为吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害.
（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；
（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳万元的环保税，已知每吨产品售价万元，第个月的工人工资为万元，若每月都赢利，求出的范围.
18、解：（1）第个月的月产量=. ……………3分
，
. ……………………………………………………6分
令
…………………………………………………………………9分
（2）若每月都赢利，则恒成立.
即恒成立，…………………………………………12分
令…………14分
所以.…………………………………………………………………………16分
17．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）
如图：设工地有一个吊臂长的吊车，吊车底座高，现准备把一个底半径为高的圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？（参考数据：）
吊车能把工件吊上的高度取决于吊臂的张角，
由图可知，
． ………　6分
所以，由
得时，有最大值，
………12分
所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上． ………　14分
17. （泰州市2012届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)
某地区的农产品第天的销售价格（元∕百斤），一农户在第天农产品的销售量（百斤）。
（1）求该农户在第7天销售农产品的收入；
（2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？
17. ⑴由已知第7天的销售价格，销售量. ∴第7天的销售收入 (元) . ……………………………………………………（3分）
⑵设第天的销售收入为，则.…（6分）
当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值.………………………………（9分）
当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值. …………………………（12分）
由于，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分）
答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分）
17．（江苏省南通市2012届高三第一次调研测试）（本题满分15分）
如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数 HYPERLINK "http://www." HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." 时的图象，且图象的最高点为B（－1，2）。赛道的中间部分为长 HYPERLINK "http://www." 千米的直线跑道CD，且CD// EF。赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧 HYPERLINK "http://www." ．
（1）求 HYPERLINK "http://www." 的值和 HYPERLINK "http://www." 的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧 HYPERLINK "http://www." 上，且 HYPERLINK "http://www." ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时 HYPERLINK "http://www." 的值．
解：（1）由条件，得 HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." ． ……………………………………………………………2分
∵ HYPERLINK "http://www." ，∴ HYPERLINK "http://www." ．……………………………………………………………………4分
∴ 曲线段FBC的解析式为 HYPERLINK "http://www." ．
当x=0时， HYPERLINK "http://www." ．又CD= HYPERLINK "http://www." ，∴ HYPERLINK "http://www." ．……………7分
（2）由（1），可知 HYPERLINK "http://www." ．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故 HYPERLINK "http://www." ．……………8分
设 HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." ，“矩形草坪”的面积为
HYPERLINK "http://www."
= HYPERLINK "http://www." ．…………………………………13分
∵ HYPERLINK "http://www." ，故 HYPERLINK "http://www." 取得最大值．………………………15分
18、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分15分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
解：(1)乙方的实际年利润为： ．
，当时，取得最大值．
　　 所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)． ………………7分
　(2)设甲方净收入为元，则．
　将代入上式，得：．
　　　　又
　　　　令，得．
　　　　当时，；当时，，所以时，取得最大值．
　　　　因此甲方向乙方要求赔付价格 (元／吨)时，获最大净收入．　
………………15分
19. （苏北四市2012届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）
如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点分别修建与OA，OB平行的栈桥MG，MK，且以MG，MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD的方程是，曲线EF的方程是，设点的坐标为．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）
（1）求三角形观光平台MGK面积的最小值；
（2）若要使的面积不小于320平方米，求的范围．
讲评建议：此题当初（1）是求的最小值，
但两问题过于孤单，且不好设问题，另外量太大了，
两个模型。后只保留现在的（1），但作为倒数第二题，
份量又轻了，最后设计成现在的形式。
对于（2）可以解两次不等式，也可以利用（1）中的单调性，
解一次方程，解一次不等式，建议大家解一次方程，解一次不等式，
因为（1）中提供条件、得出的结论要考虑（2）是否需要。
讲评中求的最小值最好加上去。
19．（1）由题意，得， ，
又因为在线段CD：上，
所以，
……………4分
由，得，当且仅当，时等号成立.
……………………………………6分
令，则，.
又,故在上单调递减，
（注意：若在上单调递减未证明扣1分）
所以，此时，.
所以三角形MGK面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分
（2）由题意得，
当，解得或（舍去），
由（1）知， ……………………………………14分
即，解之得.
所以的范围是．………………………………………………………16分
Z
东
北
A
B
C
O
C
D
B
A
E
F
G
H
图1
图2
图2
S
T
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1【2012高考冲刺样本】3-2函数试题精粹3
19、（江苏省2012届苏北四市第一次联考）(本小题满分16分)
已知二次函数，若不等式的解集为C。
（1）求集合C；
（2）若方程在C上有解，求实数a的取值范围；
（3）已知，记在C上的值域为A， 若，的值域为B，且，求实数t的取值范围.
19、解： （1）原不等式可转换为, 当 ……2分
当 ，所以 ……4分
（2）由得
令，因为，所以
则问题转化为求内有解。 ……6分
……7分
由图象及根的存在性定理得 ……9分
解得。 ……10分
（3） （因为）
所以在上单调递增。所以函数的值域 …13分
因为，所以 解得 ……………16分
19. （常州市2012届高三数学调研）（16） 已知.
（1）若,求的单调区间；
（2）若当时,恒有,求实数的取值范围.
19、解：（1）
当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为
（2）(i)当时,显然成立;
(ii)当时,由,可得,
令,则有.
由单调递增,可知.
又是单调减函数,
故,故所求的取值范围是.
20. （泰州市2012届高三第一次模拟考试）(本小题满分16分)
已知常数，函数
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求在区间上的最小值；
（3）是否存在常数，使对于任意时，
恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
20. ⑴当时，为增函数. ……………………………（1分）
当时，=.令，得.…………（3分）
∴的增区间为，和.……………………………（4分）
⑵由右图可知，
①当时，，在区间上递减，在上递增，最小值为；………（6分）
②当时，在区间为增函数，最小值为；……………………………（8分）
③当时，在区间为增函数，最小值为； ……………………………（9分）
综上，最小值. …………………………（10分）
⑶由，
可得， …………………………（12分）
即或成立，所以为极小值点，或为极大值点.又时没有极大值，所以为极小值点，即………（16分）
（若只给出，不说明理由，得1分）
19．（江苏省南通市2012届高三第一次调研测试）（本题满分16分）
设 HYPERLINK "http://www." 是定义在 HYPERLINK "http://www." 上的奇函数，函数 HYPERLINK "http://www." 与 HYPERLINK "http://www." 的图象关于 HYPERLINK "http://www." 轴对称，且当 HYPERLINK "http://www." 时， HYPERLINK "http://www." ．
（1）求函数 HYPERLINK "http://www." 的解析式；
（2）若对于区间 HYPERLINK "http://www." 上任意的 HYPERLINK "http://www." ，都有 HYPERLINK "http://www." 成立，求实数 HYPERLINK "http://www." 的取值范围．
解：（1） ∵ HYPERLINK "http://www." 的图象与 HYPERLINK "http://www." 的图象关于y轴对称，
∴ HYPERLINK "http://www." 的图象上任意一点 HYPERLINK "http://www." 关于 HYPERLINK "http://www." 轴对称的对称点 HYPERLINK "http://www." 在 HYPERLINK "http://www." 的图象上．
当 HYPERLINK "http://www." 时， HYPERLINK "http://www." ，则 HYPERLINK "http://www." ．……………2分
∵ HYPERLINK "http://www." 为 HYPERLINK "http://www." 上的奇函数，则 HYPERLINK "http://www." ．……………………………4分
当 HYPERLINK "http://www." 时， HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." ．……………6分
∴ HYPERLINK "http://www." …………………………………………………7分
（1）由已知， HYPERLINK "http://www." ．
①若 HYPERLINK "http://www." 在 HYPERLINK "http://www." 恒成立，则 HYPERLINK "http://www." ．
此时， HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." 在 HYPERLINK "http://www." 上单调递减， HYPERLINK "http://www." ，
∴ HYPERLINK "http://www." 的值域为 HYPERLINK "http://www." 与 HYPERLINK "http://www." 矛盾．…………………………11分
②当 HYPERLINK "http://www." 时，令 HYPERLINK "http://www." ，
∴ 当 HYPERLINK "http://www." 时， HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." 单调递减，
当 HYPERLINK "http://www." 时， HYPERLINK "http://www." ， HYPERLINK "http://www." 单调递增，
∴ HYPERLINK "http://www." ．
由 HYPERLINK "http://www." ，得 HYPERLINK "http://www." ．……………………15分
综上所述，实数 HYPERLINK "http://www." 的取值范围为 HYPERLINK "http://www." ． ………………………………16分
20、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分16分）设，函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若时，不等式恒成立，实数的取值范围.
解：（1）当时，
…………（2分）
当时，，在内单调递增；
当时，恒成立，故在内单调递增；
的单调增区间为。 …………（6分）
（2）①当时，，
，恒成立，在上增函数。
故当时，。 …………（8分）
②当时，，
（Ⅰ）当，即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时 …………（10分）
（Ⅱ）当，即时，在时为负数，在时为正数，所以在区间上为减函数，在上为增函数。故当时，，且此时。 …………（12分）
（Ⅲ）当，即时，在进为负数，所以在区间上为减函数，故当时，。 …………（14分）
所以函数的最小值为。
由条件得此时；或，此时；或，此时无解。
综上，。 …………（16分）
20. （苏北四市2012届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）
已知函数(，且a为常数)．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若方程只有一解，求a的值；
（3）若对所有都有，求a的取值范围．
20．（1），………………………………………………………………1分
当时，，在上是单调增函数．…………………3分
当时，
由，得，在上是单调增函数；
由，得，在上是单调减函数．
综上，时，的单调增区间是．
时，的单调增区间是，单调减区间是．…6分
（2）由（1）知，当，时，最小，即，
由方程只有一解，得，又考虑到，
所以，解得．…………………………………………………10分
（3）当时，恒成立，
即得恒成立，即得恒成立，
令（），即当时，恒成立．
又，且，当时等号成立．
………………………………………………………………………………………12分
①当时，，
所以在上是增函数，故恒成立．
②当时，若，，
若，，
所以在上是增函数，故恒成立．…………………14分
③当时，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，与时，恒成立矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．……………………………………16分
讲评建议：此题当初是（1）只有一解，求a的范围，大家感觉，作为（1）起点太高，学生不易得分，且上来讨论，又两问题都求范围可以，但还是单调形式单调，后改为现在形式。对于（3）主要是想改变教学中老师不研究情况，分参法是解决参数的一种好方法，但不唯一，且有时其方法不好图象快，如在区间是恒小于，用图象法就很快，同时也要注意到解决参数问题还有很多求不出最值问题。如本题，分参后求不出函数的最值，而且很多参数的范围是求不出来的，是对关键点进行分类讨论求得的。
19、（宿迁市高三12月联考）（本题满分16分）已知。
（1）求函数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）证明对一切，都有成立。
19、解：（1）的定义域为，， ……………1分
令，得，
当时，；当时，， ……………3分
所以在上单调递减；在上单调递增，
故当时取最小值为。 ……………5分
（2）存在，使成立，即在能成立，等价于在能成立；
等价于 ……………8分
记，
则
当时，；当时，，
所以当时取最小值为4，故。 ……………11分
（3）记，则
当时，；当时，，
所以当时取最大值为。 ……………14分
又由（1）知当时取最小值为，
故对一切，都有成立。 ……………16分
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5【2012高考冲刺样本】3-1函数知识点总结精华及试题精粹1
数学探索 版权所有www.考试要求：
数学探索 版权所有www.（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
数学探索 版权所有www.（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
数学探索 版权所有www.（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
数学探索 版权所有www.（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．
数学探索 版权所有www.（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
数学探索 版权所有www.（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
知识要点
一、本章知识网络结构：
( http: / / www. )
二、知识回顾：
映射与函数
映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1⑵若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
②满足，或，若时，.
⑵奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.
②满足，或，若时，.
8. 对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是 .
解：的值域是的定义域，的值域，故，而A，故.
11. 常用变换：
①.
证：
②
证：
12. ⑴熟悉常用函数图象：
例：→关于轴对称. →→
( http: / / www. )
→关于轴对称.
⑵熟悉分式图象：
例：定义域，
值域→值域前的系数之比.
（三）指数函数与对数函数
指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，00时，01.
（5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数
a>1 0对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算：
（以上）
注⑴：当时，.
⑵：当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
⑵（）与互为反函数.
当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
（以上）
注⑴：当时，.
⑵：当时，取“+”，当是偶数时且时，，而，故取“—”.
例如：中x＞0而中x∈R）.
⑵（）与互为反函数.
当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；②判定f(x)与f(x)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
补充：函数图象的几种常见变换
⑴平移变换：左右平移----“左加右减”（注意是针对而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对而言).
⑵翻折变换：；.
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②函数与的图像关于原点成中心对称
③函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数的图像关于直线(轴)对称；
④函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称；
⑤若对时,恒成立,则图像关于直线对称；
⑥函数,的图像关于直线对称(由确定)；
9.函数的周期性：⑴若对时恒成立,则 的周期为；
⑵若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑶若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；
⑷若关于点,对称,则的周期为；
⑸对时,或,则的周期为；
试题精粹
江苏省2012年高考数学联考试题
5．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2012届高三调研考试）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则与的关系是 ．（+=0）
14．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2012届高三调研考试）设函数，区间，集合，则使成立的实数对有 ▲ 对．（0）
4、（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2012届第一次联考）已知函数是上的偶函数，则常数= .（0）
9．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2012届第一次联考）设曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 .（ ）
11．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2012届第一次联考）已知函数的图像是一个中心对称图形，则图像的对称中心坐标为 .
12．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2012届第一次联考）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为 .
14．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2012届第一次联考）如图放置的等腰直角三角形薄片（，）沿轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则在其相邻两个零点间的图像与轴所围区域的面积为 .
3．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）
设是奇函数，则的取值范围是 ▲ .
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6【2012高考冲刺样本】2-1集合知识试题精粹2
试题精粹
江苏省2012年高考数学联考试题
6．（江苏省南通市2012年高三二模）设全集U=R，，B={x | sin x≥}，则A∩B ▲ ．
4．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知集合，。则= 。
解析：因,,则=.
2．（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知集合，则的所有非空真子集的个数是 。
解析：，共9个元素，所以非空真子集个数为=510
9．（2012年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知集合，设函数（）的值域为，若，则实数的取值范围是 ▲ ．[]
1．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知集合，，若，则的值为______▲_______．
解析：由集合，，且则的值为0．
1. （江苏省盐城市2012年高三第二次调研考试） 已知全集，集合，，则等于 ▲ .
1、（江苏省连云港市2012届高三二模试题）若，则集合的元素个数为 ▲ ．3
1．（江苏省苏南六校2012年高三年级联合调研考试）已知全集，集合，则_____________．
1.（2012年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知集合，，若，则实数的值为 ▲ .2
1、（江苏省南京市2012年3月高三第二次模拟）已知集合，，则=
集合的真子集的个数是
讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是
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1【2012高考冲刺样本】3-2函数试题精粹5
14．（江苏省无锡市2012年普通高中高三质量调研）已知函数，，若存在，使为的最小值，为的最大值，则此时数对为
。
解析：由知，又得
；而的最小值时=，又为的最大值即
所以得得0或1，则此时数对为（1，2）。
3．（江苏省泰州市2012届高三联考试题）设是定义在上的奇函数，且，则______▲_______．
解析：由是定义在上的奇函数，且,知,
则.
7．（江苏省泰州市2012届高三联考试题）已知函数，若，则实数的取值范围是__▲___．
14．(江苏通州市2012年3月高三素质检测)若函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为 ▲ ．{k|或k>0}
11．（2012年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则 ▲ ．
（2012年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若函数（）的最大值是正整数，则= ▲ ．7
7．（江苏省无锡市部分学校2012年4月联考试卷）设是给定的常数，是上的奇函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是 。
10．（江苏省无锡市部分学校2012年4月联考试卷）已知四次多项式的四个实根构成公差为2的等差数列，则的所有根中最大根与最小根之差是
解析：不妨设，
则，所以，最大根与最小根之差为。
13．（江苏省盐城市2012年高三第二次调研考试）若二次函数的值域为，则的最小值为 ▲ .
14．（江苏省盐城市2012年高三第二次调研考试）设函数，则下列命题中正确命题的序号有 ▲ . （请将你认为正确命题的序号都填上）①③④
①当时，函数在R上是单调增函数； ②当时，函数在R上有最小值；
③函数的图象关于点对称； ④方程可能有三个实数根
11、（江苏省连云港市2012届高三二模试题）已知函数．
（Ⅰ）方程在区间上实数解的个数是_____▲_____；（Ⅱ）对于下列命题：① 函数是周期函数； ② 函数既有最大值又有最小值；
③ 函数的定义域是R，且其图象有对称轴；
④对于任意（是函数的导函数）．
其中真命题的序号是 ▲ ．（填写出所有真命题的序号）；②③
13、（江苏省连云港市2012届高三二模试题）函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 ＜0的解集为 ▲ ．（－，－1）∪（1，）
2．（江苏省苏南六校2012年高三年级联合调研考试）是偶函数，且在上是减函数，则_____________．1或2
12．（江苏省苏南六校2012年高三年级联合调研考试）
（其中），则_____________．
7. （2012年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知函数（为常数且），若在区间的最小值为，则实数的值为 ▲ .
14. （2012年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）若函数的定义域和值域均为，则的取值范围是 ▲ ___.
12、（江苏省南京市2012年3月高三第二次模拟）定义在R上的满足=则 。
14、（江苏省南京市2012年3月高三第二次模拟）已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②=；③=；④=，其中是“倍约束函数的是 。①③④
10、（江苏省南京市2012年3月高三第二次模拟）定义在R上的奇函数,当x∈（0，+∞）时，f(x)=,则不等式f(x)<-1的解集是 。
13．（江苏省洪泽中学2012年3月高三年级第三次月考试卷已知映射.设点，，点M 是线段AB上一动点，.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为
20．（江苏省南通市2012年高三二模）（本小题满分16分）
设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．
（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．
19．（江苏省南通市2012年高三二模）（本小题满分16分）
如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
当时，．……………………………………………14分
综上，时，当时，，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米． ( http: / / www. / )时，当时，， 即与之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．………………16分
C
A
B
M
N
D
E
m
m
A
B
C
D
E
M
N
（第19题）
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5【2012高考冲刺样本】1—2试题精粹3
17、（江苏省连云港市2012届高三二模试题）（14分）某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险(简称“医保”)政策，制定了如下实施方案：2009年底通过农民个人投保和政府财政投入，共集资1000万元作为全县农村医保基金，从2012年起，每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的10%，并且每年底县财政再向医保基金注资m万元(m为正常数).
（1）以2009年为第一年，求第n年底该县农村医保基金有多少万元？
（2）根据该县农村人口数量和财政状况，县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加，同时不超过1500万元，求每年新增医保基金m(单位：万元)应控制在什么范围内。
17．（江苏省苏南六校2012年高三年级联合调研考试）（本小题满分14分）
某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元。假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元。
（1）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？
17．（本小题满分14分）
19. （2012年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．
（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．
即．
答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．17．（江苏省泰州市2012届高三联考试题）（本小题满分14分）
甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：，乙水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？
（参考数据：）．
18．（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.
（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.
（2）若，求当为何值时，矩形的面积有最大值？
其最大值是多少？(精确到0.01m2)
18．【解】（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.
设OM于BC的交点为F，则，.
.
所以
，.
（Ⅱ）因为，则.所以当 ，即 时，S有最大值. .
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2.
N
M
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
1m EMBED Equation.DSMT4
1m EMBED Equation.DSMT4
A
B
C
D
M
O
P
Q
F
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1【2012高考冲刺样本】3-2函数试题精粹4
20．（无锡市1月期末调研）(本小题满分16分)
对于定义在区间D上的函数和，如果对于任意，都有成立，那么称函数在区间D上可被函数替代．
(1) 若，试判断在区间[]上能否被替代？
(2) 记，证明在上不能被替代；
(3) 设，若在区间上能被替代，求实数的范围．
20．∵ ，
令，∵，……………………………2分
∴在上单调增，∴．……………………………3分
∴，即在区间[]上能被替代．…………………4分
（2）令．
，…………………………………………………………………5分
且当时，；当时，，…………………………………6分
，即，…………………………7分
∴在上不能被替代． ……………………………………8分
（3）∵在区间上能被替代，即对于恒成立．
∴． ， …………9分
由（2）的知，当时，恒成立，
∴有① ，………………………………………………………10分
令，
∵，
由（1）的结果可知，…………………………………………11分
∴恒大于零，∴．……………………………………………………12分
② ，………………………………………………………………13分
令，
∵，
∵，……………………………………………14分
∴恒大于零，
∴， …………………………………………………………15分
即实数的范围为
． …………………………………………………………16分
20．（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)
已知函数．
（Ⅰ）若有两个不同的解，求的值；
（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）求在上的最大值.
20．解：（Ⅰ）方程，即，变形得，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程
“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1” ……3分
结合图形，得或……………………………………………………5分
（Ⅱ）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时 ……………………………………6分
②当x≠1时，（*）可变形为，令，
因为当x>1时，；而当x<1时，.
所以，故此时……………………………………………9分
综合①②，得所求的取值范围是 ……………………………10分
（Ⅲ）因为=,
当时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，此时h(x)在[-2，2]上的最大值为…11分
当时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，上递减，
在，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，
经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为……………………12分
当时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，上递减，
在，[1，2]上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，
经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为………………………13分
当时，结合图形可知h(x)在，上递减，
在，上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，
经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为………………………14分
当时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为h(1)=0………………………………15分
综上所述，当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为；
当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为；
当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为0…………………………………16分
20．（盐城市第一次调研）(本小题满分16分)
已知函数,.
（Ⅰ）当时,求函数在区间上的最大值；
（Ⅱ）若恒成立,求的取值范围；
（Ⅲ）对任意,总存在惟一的,使得成立, 求的取值范围.
20．解：（Ⅰ）当,时,,
所以在 递增,所以………………………4分
（Ⅱ）①当时，，，，恒成立,
在上增函数,故当时，………………………5分
②当时，，，
（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数,故当时，，且此时…………………7分
(ii)当,即时，在时为负数，在间 时为正数,所以在区间上为减函数，在上为增函数,故当时，，
且此时……………………………………………………8分
(iii)当,即 时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，
故当时，…………………………………………………9分
综上所述，函数的最小值为…………10分
所以当时,得；当()时,无解；
当 （）时,得不成立.
综上,所求的取值范围是…………………………………………11分
（Ⅲ）①当时,在单调递增,由,
得………………………………………………………………………12分
②当时，在先减后增,由,
得,
设,,
所以单调递增且，所以恒成立得…………………14分
③当时,在递增，在递减，
在递增,所以由,
得,设,
则,所以递增，且,
所以恒成立，无解.
④当时，在递增，在递减，在递增,
所以由得无解.
综上,所求的取值范围是………………………16分
20. （苏北四市2011届高三第二次调研）(本小题满分16分)
已知函数．
（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．
20．（1）方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，
有且仅有一个等于1的解或无解 ，
结合图形得. ……………………4分
（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时；
②当时，（*）可变形为，令
因为当时，，当时，，
所以，故此时.
综合①②，得所求实数的取值范围是. …………………………………8分
（3）因为=…10分
当时，结合图形可知在上递减，在上递增，
且，经比较，此时在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且，，
经比较，知此时在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且，，
经比较，知此时 在上的最大值为.
当时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且, ，
经比较，知此时 在上的最大值为.
当时，结合图形可知在上递减，在上递增，
故此时 在上的最大值为.
综上所述，当时，在上的最大值为；
当时， 在上的最大值为；
当时， 在上的最大值为0.…………………………………………16
20. （苏州市2011届高三调研测试）（本小题满分16分）
设函数.
⑴当时，判断函数的单调性，并加以证明；
⑵当时，求证：对一切恒成立；
⑶若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数.
20.【解析】(1)当时，，
，
所以函数在上是单调减函数.
(2) 当时, ,.
令得
当时，，是单调减函数；
当时，，是单调增函数；
所以当时，有最小值，
即对一切恒成立.
(3) ,所以。
令，得，
（舍）或，所以.
当时，，是单调减函数；
当时，，是单调增函数。
当时，有极小值，
而是与无关的常数，
所以是与无关的常数，
即的极小值是一个与无关的常数.
江苏省2010年高考数学联考试题
3．（江苏省南通市2010年高三二模）曲线在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．
解析：由函数知,切线方程是:,即.
8．（江苏省南通市2010年高三二模）已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
解析：函数 得到图象为:
又函数有3个零点知有三个零点,
则实数m的取值范围是.
14．（江苏省南通市2010年高三二模）设函数，．若存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
6．（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）直线是曲线的一条切线，则实数的值为 。
解析：设切点为,而的导数为,在切点处的切线斜率为
,得切点为,所以实数的值为.
y
a
x
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