正弦定理和余弦定理水平测试题
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正弦定理和余弦定理水平测试题
A组
一、选择题
1.在△ABC中，,,,则（ ）
A. B. C. D.
答案：D 提示：由正弦定理知，故==.
2.已知三角形的三边长分别为a，b和则这个三角形的最大角是（ ）
A. B. C. D.
答案：D 提示：∵>a，>b，设该三角形的最大角为，则==，又，故.
3.在△ABC中，若,,则等于（ ）
A.2 B. C. D.
答案：A 提示：由=2.
4.△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
答案：A 提示：利用正弦定理可得，故a=b，所以△ABC为等腰三角形.
5.已知锐角三角形的三边长为2，3，x，则x的取值范围是（ ）
A .1答案：B 提示：利用余弦定理.
6.在△ABC中，A=60°，AB=2，S△ABC=，则BC的长为（ ）
A. B.7 C. D.3
答案：C 提示：由S△ABC=，且A=60°，AB=2可得AC=1.再由余弦定理可求得.
二、填空题
7. 在△ABC中，如果，那么这个三角形的最小角是________.
答案： 提示：不妨设三角形三边分别为，则长为的边对的角为最小角，由余弦定理得，又，∴.
8.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cos∠ABC=_______.
答案： 提示：由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R为该三角形外接圆的半径.设sinA=2k，sinB=3k，sinC=4k (k>0) ，则a=4kR，b=6kR，c=8kR..由余弦定理得cos∠ABC=
9.在△ABC中，=____________.
答案： 提示：由余弦定理将，，代入整理即得.
10.△ABC中，C是直角，，则 .
答案： 提示：由得，利用正弦定理可得，又，，故，即，解得或（舍去）.
三、解答题
11.在△ABC中，A=75°，B=45°，，解此三角形.
解：C=180°―A―B=180°―75°―45°=60°.
由正弦定理知
===.
同理==2.
12.三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，试求这个三角形的
面积.
解：由题意可设另两边长度分别为，则由余弦定理可得，
，解得，∴另两边长度分别为.
∴这个三角形的面积
13.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.
解：由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（A－C）cos（A+C）=，
即cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
所以sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得
故，所以或（舍去）.
于是 B= 或 B=.
又由 知或.
所以B=.
B组
一、选择题
1.在△ABC中，下列关系一定成立的是（ ）
A.absinA D.a≥bsinA
答案：D 提示：结合图形即知.
2.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
答案：A 提示：设三角形三边长分别为,且当三边长均增加时，，从而说明其最大角为锐角，∴此时三角形为锐角三角形.
3. 若△ABC的边角满足，则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
答案：D 提示：解法1 利用余弦定理将条件化为边之间的关系可得
，所以或，故△ABC是等腰或直角三角形.
解法2 利用正弦定理化为角的关系可得
，
所以，
即，
即，
所以，结合角的范围知或，即或，即或，可知△ABC为等腰或直角三角形.
4.如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.或
答案：D 提示：当即时，三角形只有一个；当时，三角形也只有一个.
二、填空题
5.在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，则b=______________.
答案： 提示：利用正弦定理.
6.如果△ABC满足，∠B=30°，且其面积为，那么b=____________.
答案： 提示：联立即可求得b=.
三、解答题
7.如图，已知
求的长.
解：解法一：
连结，在△ABC中，由余弦定理得
7
在△ABC中，由正弦定理得
又
在△BCD中，由正弦定理得
在Rt△ABD中，由勾股定理得
解法二：
四点共圆，且为直径.
在△ABC中，由正弦定理得
由解法一知.
8.已知分别是△ABC中的角对边，且.
（1）求角的大小；
（2），求的值.
解：（1）由余弦定理知，又.
(2)解法1（利用余弦定理）
将代入得.
.
又
.
解法2（利用正弦定理＋余弦定理）
将代入得.
由正弦定理得.
又∴为锐角.
，
.
解法3（利用正弦定理）
即
解得.
备用题
1. 若一个三角形的三边之比为，则该三角形最大内角的度数为（ ）
A.30° B.120° C.135° D.150°
答案：B 提示：利用余弦定理.
2.若，则△ABC的形状为（ ）
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.有一个角为30°的直角三角形 D.有一个角为30°的等腰三角形
答案：B 提示：由题意知，又，故，同理，所以△ABC为等腰直角三角形.
3.在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=则三角形的面积为（ ）
A. B.16 C.或16 D.或
答案：D 提示：利用正弦定理，注意此题有两解.
4.在△ABC中，若，则C=（ ）
A.60° B.30° C.120° D.45°或135°
答案：D
提示：由可得，故.
5.在△ABC中，AB=3，BC=，AC= 4，则边AC上的高为______.
答案： 提示：由余弦定理，∴所以边AC上的高.
6.在△ABC中，已知，，，则_______.
答案： 提示：由三角形面积公式，得，
由余弦定理，，∴，
∴.
7.在锐角中，则的值等于 ____，的取值范围为 ___________.
答案：2， 提示： 设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，
8.在△ABC中，，b+c=4，试确定边a的取值范围.
解：由正弦定理得，所以，
故有==，
而==，当B=时，取得最大值1，此时a取得最小值2.
9.已知a、b、c为三角形ABC中角A、B、C的对边，且，求这个三角形的最大内角.
解：因为，所以
所以
因为b>0,所以所以a>3,所以
即b所以c>a ② 由①②可得c边最大.
在三角形ABC中，有余弦定理得：
.
所以C=1200,即三角形的最大内角为1200.
B
D
C
A
A组
一、选择题
1.在△ABC中，,,,则（ ）
A. B. C. D.
答案：D 提示：由正弦定理知，故==.
2.已知三角形的三边长分别为a，b和则这个三角形的最大角是（ ）
A. B. C. D.
答案：D 提示：∵>a，>b，设该三角形的最大角为，则==，又，故.
3.在△ABC中，若,,则等于（ ）
A.2 B. C. D.
答案：A 提示：由=2.
4.△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
答案：A 提示：利用正弦定理可得，故a=b，所以△ABC为等腰三角形.
5.已知锐角三角形的三边长为2，3，x，则x的取值范围是（ ）
A .1
6.在△ABC中，A=60°，AB=2，S△ABC=，则BC的长为（ ）
A. B.7 C. D.3
答案：C 提示：由S△ABC=，且A=60°，AB=2可得AC=1.再由余弦定理可求得.
二、填空题
7. 在△ABC中，如果，那么这个三角形的最小角是________.
答案： 提示：不妨设三角形三边分别为，则长为的边对的角为最小角，由余弦定理得，又，∴.
8.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cos∠ABC=_______.
答案： 提示：由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R为该三角形外接圆的半径.设sinA=2k，sinB=3k，sinC=4k (k>0) ，则a=4kR，b=6kR，c=8kR..由余弦定理得cos∠ABC=
9.在△ABC中，=____________.
答案： 提示：由余弦定理将，，代入整理即得.
10.△ABC中，C是直角，，则 .
答案： 提示：由得，利用正弦定理可得，又，，故，即，解得或（舍去）.
三、解答题
11.在△ABC中，A=75°，B=45°，，解此三角形.
解：C=180°―A―B=180°―75°―45°=60°.
由正弦定理知
===.
同理==2.
12.三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，试求这个三角形的
面积.
解：由题意可设另两边长度分别为，则由余弦定理可得，
，解得，∴另两边长度分别为.
∴这个三角形的面积
13.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.
解：由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（A－C）cos（A+C）=，
即cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
所以sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得
故，所以或（舍去）.
于是 B= 或 B=.
又由 知或.
所以B=.
B组
一、选择题
1.在△ABC中，下列关系一定成立的是（ ）
A.a
答案：D 提示：结合图形即知.
2.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
答案：A 提示：设三角形三边长分别为,且当三边长均增加时，，从而说明其最大角为锐角，∴此时三角形为锐角三角形.
3. 若△ABC的边角满足，则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
答案：D 提示：解法1 利用余弦定理将条件化为边之间的关系可得
，所以或，故△ABC是等腰或直角三角形.
解法2 利用正弦定理化为角的关系可得
，
所以，
即，
即，
所以，结合角的范围知或，即或，即或，可知△ABC为等腰或直角三角形.
4.如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.或
答案：D 提示：当即时，三角形只有一个；当时，三角形也只有一个.
二、填空题
5.在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，则b=______________.
答案： 提示：利用正弦定理.
6.如果△ABC满足，∠B=30°，且其面积为，那么b=____________.
答案： 提示：联立即可求得b=.
三、解答题
7.如图，已知
求的长.
解：解法一：
连结，在△ABC中，由余弦定理得
7
在△ABC中，由正弦定理得
又
在△BCD中，由正弦定理得
在Rt△ABD中，由勾股定理得
解法二：
四点共圆，且为直径.
在△ABC中，由正弦定理得
由解法一知.
8.已知分别是△ABC中的角对边，且.
（1）求角的大小；
（2），求的值.
解：（1）由余弦定理知，又.
(2)解法1（利用余弦定理）
将代入得.
.
又
.
解法2（利用正弦定理＋余弦定理）
将代入得.
由正弦定理得.
又∴为锐角.
，
.
解法3（利用正弦定理）
即
解得.
备用题
1. 若一个三角形的三边之比为，则该三角形最大内角的度数为（ ）
A.30° B.120° C.135° D.150°
答案：B 提示：利用余弦定理.
2.若，则△ABC的形状为（ ）
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.有一个角为30°的直角三角形 D.有一个角为30°的等腰三角形
答案：B 提示：由题意知，又，故，同理，所以△ABC为等腰直角三角形.
3.在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=则三角形的面积为（ ）
A. B.16 C.或16 D.或
答案：D 提示：利用正弦定理，注意此题有两解.
4.在△ABC中，若，则C=（ ）
A.60° B.30° C.120° D.45°或135°
答案：D
提示：由可得，故.
5.在△ABC中，AB=3，BC=，AC= 4，则边AC上的高为______.
答案： 提示：由余弦定理，∴所以边AC上的高.
6.在△ABC中，已知，，，则_______.
答案： 提示：由三角形面积公式，得，
由余弦定理，，∴，
∴.
7.在锐角中，则的值等于 ____，的取值范围为 ___________.
答案：2， 提示： 设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，
8.在△ABC中，，b+c=4，试确定边a的取值范围.
解：由正弦定理得，所以，
故有==，
而==，当B=时，取得最大值1，此时a取得最小值2.
9.已知a、b、c为三角形ABC中角A、B、C的对边，且，求这个三角形的最大内角.
解：因为，所以
所以
因为b>0,所以所以a>3,所以
即b
在三角形ABC中，有余弦定理得：
.
所以C=1200,即三角形的最大内角为1200.
B
D
C
A