第7章复数 章节复习总结 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册Word

1、了解复数的概念
2、掌握复数的四则运算
3、理解复数的三角表示
一、复数的概念
我们把形如的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.
全体复数梭构成的集合C=叫做复数集，其中
1.复数相等的充要条件
在复数集C=中任取两个数，【a，b，c，d∈R】，
规定：与相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。
2.复数的几何意义
复数z=a+bi.这是复数的一种几何意义.
复数的几何意义---与向量对应
复数z=a+bi,这是复数的另一种几何意义.
3.复数的模和共轭复数
（1）.向量模叫做复数z=,的模或绝对值，记作或.即==，其中a,b∈R，表示复平面内的点Z到原点的距离。
（2）.如果b=0，那么z=是一个实数a，它的模就等于.
共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于
0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi,那么=a-bi.
特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
二.复数的四则运算
1.复数的加、减法法则
设=，=是任意两个复数，
那么他们的和（）+（）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
2.复数的加法运算律
对任意，，∈C,有
（1）交换律：+=+
（2）结合律：（+）+=+（+）
3.复数的减法法则
设=a+bi，=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则-=（）-（）=（a-c）+（b-d）i.
4.复数的乘、除法法则
设=，=，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（）（）=ac+bci+adi+bd=（）+（）
复数的除法法则
规定复数的除法是乘法的逆运算.
法则：
（）÷（）=+i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
复数的运算的常用结论
（1）（1+i）（1-i）=2；；；；
=0（N∈）.
（2）
三、
复数的三角表示
1.复数的三角表示式
记向量的模==r,由图7.3-1可以得到，
所以，=rcos=r（cos+sin），
其中
r=，
cos=，
sin=.
这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角表示复数z.
（1）一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为
r=（cos+icos）的形式
其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。
（2)规定：在0≤<2π范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作
argz,即0≤argz<2π.
3π
例如，,,=π,=
2.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，
=（cos+isin）·（cos+isin）
=（cos+isin）（cos+isin）
=[(coscos-sinsin)]
=[cos（+）+isin（+）
则
(cos+isin)·(cos+isin)
=[cos(+)+isin(+)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
复数除法运算的三角表示
设=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因为
(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，
所以根据复数除法的定义，有，
[cos(-)+isin(-]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
1.??（1）已知
，解关于z的方程
；
（2）已知
是关于x的方程
在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
【答案】
（1）解：设
，则
，即
∴
，解得
，或
∴
或
；
（2）解：由题知方程在复数集内另一根为
，故
，
即
.
【考点】相等向量与相反向量，复数的基本概念
【解析】（1）设
，代入
，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得
的值，由此求得
.（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得
的值.
2.已知复数
，
，
.
（1）求实数a的值；
（2）设
在复平面上对应点分别为
，求
的面积.
【答案】
（1）解：由
，
，
得
，又
，
，解得
或
（舍去），
；
（2）解：由（1）得
，
所以
，所以
，
所以
的面积为
.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算
【解析】（1）求出
，根据已知其虚部为0，建立a的方程，求解即可；（2）利用（1）的结论，求出三角形三顶点坐标，即可求出三角形的面积.
3.已知
，
为虚数，且满足
，
．
（1）若
是纯虚数，求
；
（2）求证：
为纯虚数．
【答案】
（1）解：设
，
则
，
因为
，
是纯虚数，
所以
，解得
或
，
因此
或
；
（2）解：若
，则
是纯虚数；
若
，则
也是纯虚数；
综上，
为纯虚数.
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】（1）利用复数的乘法运算法则求出复数
，
再利用纯虚数的判断方法结合复数的模求解公式和已知条件，进而求出复数
。
（2）利用复数的乘除法运算法则求出复数
，
再利用纯虚数的判断方法，进而证出复数
为纯虚数。
4已知复数
，(
为实数)，且
为实数.
（1）求复数
；
（2）求复数
的模
.
【答案】
（1）解：
为实数
，则
（2）解：由（1）可知
，则
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模
【解析】（1）根据复数的类型确定
的值，即可得出复数
；（2）由模长公式求解即可.
1.若
，则
（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
2.设复数
满足
，在复平面内
对应的点到原点距离的最大值是（???
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?3
3.已知复数z满足
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????D.?
4.已知复数
满足
（其中
为虚数单位），则复数
的虚部为（
??）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
参考答案
1【答案】
B
【解析】
设
，则
，
所以
，解得
，∴
。
2.【答案】
D
【解析】
设
，
则
，所以
，即
，
所以复数
对应的点的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
所以
，
所以复平面内
对应的点到原点距离的最大值是3。
3.【答案】
D
【解析】
因为
，所以
。
4.【答案】
B
【解析】
解：复数
满足
，则
，
即复数
的虚部为
，