第8章立体几何初步 章节复习总结 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册Word

1、了解基本立体图形
2、掌握简单几何体的表面积与体积
3、理解空间直线、平面、点之间的平行、垂直位置关系
一、基本立体图形
1棱柱的结构特征
一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互侧相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
2.棱锥的结构特征
一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥
.这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;
3.圆柱的结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
4.圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
5.棱台于圆台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分，这样的几何体叫做棱台在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点.
6.球的结构
以半圆的直径所在直线为旋转轴.半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.简称球.半圆的圆心叫做球的球心.半圆的半径叫做球的半径.半圆的直径叫做球的直径.
二、直观图
定义:直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何图获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此，直观图汪汪与立体图形的真实形状不完全相同。
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形
画法：斜二测画法和正等测画法.
1、斜二测画法规则
(1）在己知图形中取互相重直的x轴或y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x，轴与y'轴，两轴相交于点O，，且=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段。在直观图中分剔画成平行于x，轴与y，轴的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半
三、棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和
1.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱锥：椎体的底面面积为S，高为h，则V=Sh
棱台：台体的上、下底面面积分别为，,高为h，则
2.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
表面积
（1）圆柱表面积：（r是底面半径，l是母线长）
（2）圆锥表面积：=（r是底面半径，l是母线长）
（3）圆台表面积：（分别是上、下底面半径，是母线长）
（4）球的表面积：
3.体积
（1）圆柱体积：（r是底面半径，h是高）
（2）圆锥体积：（r是底面半径，h是高）
（3）圆台体积：（分别是上、下底面半径，是高）
（4）球的体积：
4.平面
三个基本事实
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）
（2）如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2.三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有一个平面
经过两条平行直线，有且只有一个平面
四、空间点、直线、平面之间的位置关系
空间中直线与直线的位置关系
异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
空间中两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线：在同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点
直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面平行——没有公共点
空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行——没有公共点
两个平面相交——有一条公共直线
1.如图，在长方体
中，
，P，Q分别为
与
中点.
???
??????
（1）经过P，Q作平面
，平面
与长方体
六个表面所截的截面可能是n边形，请根据
的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如
只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若R为直线
上的一点，且
，求过
截面图形的周长.
【答案】
（1）解：
（2）解：如图所示：
分别为
的中点，易知
，确定平面
，
易知
，
，
，
，
，
，故
，
.
，
，故周长为
.
【考点】棱柱的结构特征
【解析】（1）画出截面图得到答案.（2）画出截面图，计算线段长度得到周长.
2.用斜二测画法画出下列水平放置的正五边形和四边形的直观图．
【答案】
解：（1）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
连结EC交y轴为F，
在x′轴上作线段A′B′=AB，
则y′轴上分别作线段O′D′=OD，O′F′=OF，
过F′作线段E′C′=EC，且E′C′∥O′x′，
连结A′B′C′D′E′，即为正五边形的直观图．
（2）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
在x′轴上作线段O′C′=OC，
则y′轴上分别作线段O′A′=OA，
过A′作线段A′B′=AB，且A′B′∥O′x′，
连结A′B′C′O′，即为四边形的直观图．
【考点】斜二测法画直观图
【解析】根据斜二测画法的原则即可得到结论．
3.如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为
和
，侧面积为
，求其体积
【答案】
解：取
的中点
，
的中点
，上、下底面的中心
，则
为斜高，四边形
为直角梯形,
∵
，
∴
，
在直角梯形
中，
，
，
∴
，
故该四棱台的体积为
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】取
的中点
，
的中点
，上、下底面的中心
，根据侧面积求出
，再求出棱台的高，即可求出体积.
4.
（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线
在平面
内；
②直线m不在平面
内；
③直线m与平面
交于点A；
④直线l不经过点A.
（2）如图，在长方体
中，
为棱
的中点，F为棱
的三等分点，画出由
三点所确定的平面
与平面
的交线.(保留作图痕迹)
【答案】
（1）解：
；
；
；
；示意图如下：
（2）解：如图，直线IL即为所求.
【考点】平面的基本性质及推论，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】（1）根据题意，作出示意图即可；（2）根据题意，作出示意图即可.
1.如果一个四面体的三个面是直角三角形，则其第四个面不可能是（???
）
A.?直角三角形????????????????????B.?等边三角形????????????????????C.?等腰直角三角形????????????????????D.?钝角三角形
2.如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面
中，
，
，
，侧棱
，若侧面
水平放置时，水面恰好过
的中点，那么当底面
水平放置时，水面高为（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?
3.三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（???
）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
12.在空间中，设
是不同的直线，
表示不同的平面，则下列命题正确的是
（???
）
A.?若
，则
????????????????????????????????????B.?若
，则
C.?若
，则
???????????????????????????????D.?若
，则
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
当
，
，
且
时，满足题意，四面体
的三个面是直角三角形.
因为
，
平面
，
平面
.
所以
平面
又因为
平面
所以
因为
，
平面
，
平面
.
所以
平面
因为
平面
所以
又因为
所以
为等腰直角三角形.
则第四个面可能为直角三角形或等腰直角三角形.
当
，
，
且
时
则
则第四个面可能等边三角形
综上所述，第四个面不可能是钝角三角形.
2.【答案】
B
【解析】
设四棱柱的底面梯形的高为
，
的中点分别为
，
所求的水面高为h，
则水的体积
，
所以
，
3.【答案】
A
【解析】
按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；
；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；
；（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；
综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，
4.【答案】
D
【解析】
对于A，若
，可得
或
，A不符合题意；
对于B，若
，可得
或
，B不符合题意；
对于C，若
，则
，或
，或
与
相交，C不符合题意；
对于D，若
，则
，正确.