第10章概率 章节复习总结 讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册Word

1、了解随机事件与概率
2、掌握事件的相互独立性
3、理解频率与概率
一、随机事件与概率
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.例如，抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等,都可以看成随机试验.
2.样本点和样本空间
（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间
（2）表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点
（3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间
3.事件
(1)随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.
(3)不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.
二、古典概率
1.概率的定义
对随机事件发生可能性大小的度重(数值)称为事件的概率,事件
A的概率用P（A）表示.
2.古典概型
（1）古典概型的定义
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(2)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点(基本事件)个数有限,但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限,但等可能;
③样本点(基本事件)个数无限,也不等可能.
3.古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间包含n个样本点,事件
A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
其中,n(A)和n(）分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
三、事件的相互独立性
1.事件的相互独立性
(1)定义:对任意两个事件A与B.如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:如果事件A与事件B相互独立,那么A与,不与B,与B也相互独立
(3)"A与B相互独立"是“P(AB)=P(A)P(B)"的充要条件
(4)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们的概率之积”
2.相互独立事件与互斥事件的概率计算
已知两个事件A,B,它们的概率为P(A),P(B),将A,B中至少有一个发生记为事件AB,都发生记为事件AB,都不发生记为事件,恰有一个发生记为事件,至多有一个发生记为事件
四、频率与概率
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大
用频率估计概率：大量试验表妹，在任何次数的随机试验候总，一个随机事件A发生的频率具有随机性，一般的，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A），我们称概率的这个性质为频率的稳定性，因此，我们可以用频率估计概率P（A）
1.高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.
（1）求射击一次，命中10环或9环的概率；
（2）求射击一次，至少命中8环的概率；
（3）求射击一次，命中环数小于9环的概率．
【答案】
（1）解：设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．
由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.
记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.
（2）解：记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.
（3）解：“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，
∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】
（1）利用互斥事件概率加法公式求解．
（2）利用互斥事件概率加法公式求解．
（3）利用对立事件概率公式求解．
2.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试,在备选的6道题中,甲答对其中每道题的概率都是
,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)得0分.
（1）求乙得分的分布列和数学期望;
（2）规定:每个人至少得20分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.
【答案】
（1）解：设乙的得分为
的可能值有
乙得分的分布列为:
X
0
10
20
30
P
?
所以乙得分的数学期望为
（2）解：乙通过测试的概率为
?
甲通过测试的概率为
,?
甲、乙都没通过测试的概率为
所以甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】（1）求出随机变量X的可能取值及相应的概率，即可得到分布列，结合分布列求出期望即可；
（2）求出甲乙通过测试的概率，根据互斥事件概率的特点，即可求出至少一人通过测试的概率.
3..设
.
（1）若
,且
是实系数一元二次方程
的一根,求b和c的值；
（2）若
是纯虚数,已知
时,
取得最大值,求
；
（3）肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,己知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.
【答案】
（1）解：
.因为
是实系数一元二次方程
的一根,所以
也是实系数一元二次方程
的一根,因此由根与系数关系可知：
,所以
和
的值分别为
；
（2）解：设
.
是纯虚数,所以有
,它表示以
为圆心，2为半径的圆,
的几何意义是圆上的点
到点
是距离.
在同一条直线上且
同向时,
取得最大值,
因为
,所以
所以
,因此
所以
（3）解：该题不能被正确解答的概率为
,因此能被正确解答的概率为：
.
【考点】复数代数形式的乘除运算，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】(1)利用复数除法的运算法则化简
,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出
和
的值；(2)设出复数
的代数形式,利用复数的除法法则和
是纯虚数,可得出复数
的实问部和虚部之间的关系,再由
时,
取得最大值,这样可以求出
；(3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.
4.生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼，常用一种称为“标记后再捕”的方法．先从湖中随意捕捉一定数量的鱼，例如1
000条鱼，在每条鱼的身上作记号后又放回湖中；隔了一定时间后，再从湖中捕捉一定数量的鱼，例如300条鱼，查看其中有多少条有标记的鱼，假设有20条有标记，估计湖中鱼的总数．
.【答案】
解：设湖中鱼大约由x条，
则有
=
，
得x=15000条，
经检验x=15000是方程的解．
答：湖中鱼大约有15000条．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】第二次捕捞鱼共300条，有20条做了记号，即有记号的鱼占到总数的
，
然后根据一共1000条做了记号，来估算总数．
1.在区间
上任取一个实数，则
的概率为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（???
）.
A.?是对立事件???????????B.?都是不可能事件???????????C.?是互斥事件但不是对立事件???????????D.?不是互斥事件
3.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(??
)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.从区间[0，1]内随机抽取2n个数
，
，…
，
，..
，
构成n个数对(
，
)，…，(
，
)，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为(??
)
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
由
可得
所以在区间
上任取一个实数，则
的概率为
2.【答案】
D
【解析】
事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.
3.【答案】
A
【解析】
甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场输且第二场赢.甲第一场赢的概率为
，甲第一场输第二场赢的概率为
.故甲赢得冠军的概率为
.
4.【答案】
D
【解析】
由题意，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1
，
x2
，
…，xn
，
y1
，
y2
，
…，yn
，
构成n个数对（x1
，
y1），（x2
，
y2），…，（xn
，
yn），对应的区域的面积为12
．
而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1-
π?12
，
∴
=1-
，
∴π
．