第八讲
万有引力应用
知识讲解
一、计算中心天体质量
1、万有引力等于重力（黄金代换）
当物体在某天体表面随该天体自转一起做匀速圆周运动时，重力近似等于万有引力，即：
（M表示中心天体质量，m表示天体表面物体质量，R表示天体半径）
化简可得中心天体的质量为
黄金代换：
2、万有引力提供向心力
当天体A在一定高度的轨道上绕天体B做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力
得天体质量
其中r表示轨道半径
随堂练习
1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．地球的密度
【答案】B
2.已知下列哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G已知)( )
A．月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B．地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C．人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
【答案】AC
3.通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是（
）
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
【答案】AD
4.2011年科学家发现了可能存在生命的行星“开普勒22b”，它与地球相隔600光年，半径约为地球半径的2．4倍。“开普勒22b”绕恒星“开普勒22”运动的周期为290天，轨道半径为R1，地球绕太阳运动的轨道半径为R2，测得R1：R2=
0．85。由上述信息可知，恒星“开普勒22”与太阳的质量之比约为（
）
A．0．l
B．l
C．10
D．100
【答案】B
5.2013年6月13日，“神州十号”与“天宫一号”目标飞行器在离地面343km的圆轨道上成功进行了我国第5次载人空间交会对接。在进行对接前，“神州十号”飞船在比“天宫一号”目标飞行器较低的圆形轨道上飞行，这时“神州十号”飞船的速度为v1，“天宫一号”目标飞行器的速度为v2，“天宫一号”目标飞行器运行的圆轨道和“神州十号”飞船运行圆轨道最短距离为h，由此可求得地球的质量为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】Ｃ
6.若贴近太阳系内某个行星表面运行的卫星的周期用T表示，该行星的平均密度是ρ，到太阳的距离是r，已知引力常量G，则下列说法正确的是( )
A．可以求出该行星的质量
B．可以求出太阳的质量
C．ρT2是定值
D．是定值
【答案】C
7.
如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。若已知—个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为，地球半径为(地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为，引力常量为。由以上条件可以求出（
）
A．卫星运行的周期
B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量
D．地球的质量
【答案】ABD
8.随着我国“嫦娥工程”启动，我国航天的下一目标是登上月球，古人幻想的“嫦娥奔月”将变成现实假若宇航员登陆月球后，用弹簧秤称得质量为m的砝码重量为F，乘宇宙飞船在靠近月球表面的圆形轨道空间环绕月球飞行，测得其环绕周期为T，引力常量为根据上述数据，求月球的半径及及月球的质量M。
二、计算中心天体密度
1、万有引力等于重力（黄金代换）
由重力近似等于万有引力
物体密度
,
球体体积
得
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径
2、万有引力提供向心力
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
万有引力提供向心力
，
物体密度
,
球体体积
得
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为．
随堂练习
9.地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量计算出来的地球平均密度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
10.已知万有引力常量为G，则在下列给出的各种情景中，能求出月球密度的是
（
）
A．在月球表面上让一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．测出月球绕地球做匀速圆周运行的周期T和轨道半径r
C．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T
D．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的探月飞船．测出飞船运行的周期T
【答案】D
11.假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极大小为g0，在赤道的大小为g；地球的自转周期为T，引力常量为G，地球密度为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
12.近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为（k为某个常数）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
13.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍.已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
14.“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（ ）
A．月球平均密度为
B．月球平均密度为
C．月球表面重力加速度为
D．月球表面重力加速度为
【答案】BD
15.一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿水平方向以速度v0从高h处抛出一个小球，测得小球落地时的水平位移为x，已知该星球半径为R，引力常量为G．求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的质量；
(3)该星球的密度．
解析：(1)在星球上小球做平抛运动
x＝v0t
h＝gt2
联立解得g＝．
(2)因为星球表面的重力等于万有引力：
mg＝G
则星球的质量为：M＝＝．
(3)星球的密度为：ρ＝＝．
三、双星问题
如图，绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，称之为双星系统．
（1）模型特点
①两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。
②各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
③两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
④两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
（2）处理方法
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即
＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
（3）两个结论
①运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
②质量之和：由于ω＝，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝。
随堂练习
16.天文学家将相距较近，仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星；若双星的质量分别为M、m,间距为L，双星各自围绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，角速度分别为ω1和ω2，质量为M的恒星的轨道半径为R，已知引力常数为G，则描述该双星运动的上述物理量满足：
A.
B.
C.
D.
【答案】Ｃ
17.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为
【答案】B
18.2012年7月26日，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示。此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（
）
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【答案】Ｃ
19.美国科学家宣布探测到引力波.双星的运动是产生引力波的来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下作匀速圆周运动,测得a星的周期为T,a、b两颗星的距离为l,a、b两颗星的轨道半径之差为△r（a星的轨道半径大于b星的）,则（ ）
A.b星的周期为
B.a星的线速度大小为
C.a、b两颗星的轨道半径之比为
D.a、b两颗星的质量之比为
【答案】B
20.如图，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则
A.甲星所受合外力为
B·乙星所受合外力为
C.甲星和丙星的线速度相同
D.甲星和丙星的加速度相同
【答案】A
21.宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用，四颗星稳定地分布在一个正方形的四个定点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。假设每颗星的质量为，正方形的边长为Ｌ，每颗星的半径为Ｒ，引力常量为Ｇ，则（
?
）
每颗星做圆周运动的半径为
每颗星做圆周运动的向心力大小为
每颗星表面的重力加速度为
每颗星做圆周运动的周期为
【答案】ＣD
22.宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
【答案】（１）、（２）
课后巩固
1.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比:＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比:
【解析】(1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：，
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：
，所以．
(2)星球表面物体所受的重力等于其所受星球的万有引力，则有，
所以，可解得:＝1:80
2.一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量。
【答案】
3.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量
【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有
ω1＝ω2
①
r1+r2＝r
②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
③
④
联立①②③④式解得
⑤
根据角速度与周期的关系知
⑥
联立③⑤⑥式解得
4.如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)卫星B的运行周期是多少？
(2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π
④
由③得 ωB＝
⑤
代入④得t＝.
【答案】 (1)2π (2)
1第八讲
万有引力应用
知识讲解
一、计算中心天体质量
1、万有引力等于重力（黄金代换）
当物体在某天体表面随该天体自转一起做匀速圆周运动时，重力近似等于万有引力，即：
（M表示中心天体质量，m表示天体表面物体质量，R表示天体半径）
化简可得中心天体的质量为
黄金代换：
2、万有引力提供向心力
当天体A在一定高度的轨道上绕天体B做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力
得天体质量
其中r表示轨道半径
随堂练习
1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．地球的密度
2.已知下列哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G已知)( )
A．月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B．地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C．人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D．地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
3.通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是（
）
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
4.2011年科学家发现了可能存在生命的行星“开普勒22b”，它与地球相隔600光年，半径约为地球半径的2．4倍。“开普勒22b”绕恒星“开普勒22”运动的周期为290天，轨道半径为R1，地球绕太阳运动的轨道半径为R2，测得R1：R2=
0．85。由上述信息可知，恒星“开普勒22”与太阳的质量之比约为（
）
A．0．l
B．l
C．10
D．100
5.2013年6月13日，“神州十号”与“天宫一号”目标飞行器在离地面343km的圆轨道上成功进行了我国第5次载人空间交会对接。在进行对接前，“神州十号”飞船在比“天宫一号”目标飞行器较低的圆形轨道上飞行，这时“神州十号”飞船的速度为v1，“天宫一号”目标飞行器的速度为v2，“天宫一号”目标飞行器运行的圆轨道和“神州十号”飞船运行圆轨道最短距离为h，由此可求得地球的质量为（
）
A.
B.
C.
D.
6.若贴近太阳系内某个行星表面运行的卫星的周期用T表示，该行星的平均密度是ρ，到太阳的距离是r，已知引力常量G，则下列说法正确的是( )
A．可以求出该行星的质量
B．可以求出太阳的质量
C．ρT2是定值
D．是定值
7.
如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。若已知—个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为，地球半径为(地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为，引力常量为。由以上条件可以求出（
）
A．卫星运行的周期
B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量
D．地球的质量
8.随着我国“嫦娥工程”启动，我国航天的下一目标是登上月球，古人幻想的“嫦娥奔月”将变成现实假若宇航员登陆月球后，用弹簧秤称得质量为m的砝码重量为F，乘宇宙飞船在靠近月球表面的圆形轨道空间环绕月球飞行，测得其环绕周期为T，引力常量为根据上述数据，求月球的半径及及月球的质量M。
二、计算中心天体密度
1、万有引力等于重力（黄金代换）
由重力近似等于万有引力
物体密度
,
球体体积
得
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径
2、万有引力提供向心力
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
万有引力提供向心力
，
物体密度
,
球体体积
得
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为．
随堂练习
9.地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量计算出来的地球平均密度是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.已知万有引力常量为G，则在下列给出的各种情景中，能求出月球密度的是
（
）
A．在月球表面上让一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．测出月球绕地球做匀速圆周运行的周期T和轨道半径r
C．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T
D．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的探月飞船．测出飞船运行的周期T
11.假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极大小为g0，在赤道的大小为g；地球的自转周期为T，引力常量为G，地球密度为
A.
B.
C.
D.
12.近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为（k为某个常数）（
）
A．
B．
C．
D．
13.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍.已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为( )
A．
B．
C．
D．
14.“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（ ）
A．月球平均密度为
B．月球平均密度为
C．月球表面重力加速度为
D．月球表面重力加速度为
15.一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿水平方向以速度v0从高h处抛出一个小球，测得小球落地时的水平位移为x，已知该星球半径为R，引力常量为G．求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的质量；
(3)该星球的密度．
三、双星问题
如图，绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，称之为双星系统．
（1）模型特点
①两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。
②各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
③两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
④两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
（2）处理方法
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即
＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
（3）两个结论
①运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
②质量之和：由于ω＝，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝。
随堂练习
16.天文学家将相距较近，仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星；若双星的质量分别为M、m,间距为L，双星各自围绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，角速度分别为ω1和ω2，质量为M的恒星的轨道半径为R，已知引力常数为G，则描述该双星运动的上述物理量满足：
A.
B.
C.
D.
17.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为
18.2012年7月26日，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示。此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中（
）
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
19.美国科学家宣布探测到引力波.双星的运动是产生引力波的来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下作匀速圆周运动,测得a星的周期为T,a、b两颗星的距离为l,a、b两颗星的轨道半径之差为△r（a星的轨道半径大于b星的）,则（ ）
A.b星的周期为
B.a星的线速度大小为
C.a、b两颗星的轨道半径之比为
D.a、b两颗星的质量之比为
20.如图，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则
A.甲星所受合外力为
B·乙星所受合外力为
C.甲星和丙星的线速度相同
D.甲星和丙星的加速度相同
21.宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用，四颗星稳定地分布在一个正方形的四个定点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动。假设每颗星的质量为，正方形的边长为Ｌ，每颗星的半径为Ｒ，引力常量为Ｇ，则（
?
）
每颗星做圆周运动的半径为
每颗星做圆周运动的向心力大小为
每颗星表面的重力加速度为
每颗星做圆周运动的周期为
22.宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
课后巩固
1.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比:＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比:
2.一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量。
3.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量
4.如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)卫星B的运行周期是多少？
(2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？
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