第九讲
万有引力与航天
知识讲解
一、卫星运行的规律
1、各物理量之间的关系
（1）只要中心天体M与轨道半径r确定，其他运行参数都是确定的。（一定而四定）
（2）统一轨道上的卫星不会相撞，因为速度相等。
（3）轨道越靠近中心天体，转的越快，周期越小。
2、人造卫星
（1）所有人造卫星轨道的圆心（或焦点）都在地心上。
（2）极地卫星与近地卫星
①极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
②近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9
km/s.
③上述两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
（3）同步卫星
①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24
h＝86400
s.
③角速度一定：与地球自转的角速度相同．
④高度一定：据G＝mr得r＝
≈4.24×104
km，卫星离地面高度h＝r－R≈3.6×104
km(为恒量)．
⑤速率一定：运行速度v＝≈3.08
km/s(为恒量)．
⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
（4）人造卫星的两个速度
①发射速度：将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度．
②环绕速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度．
由于发射过程中要克服地球的引力做功，所以发射速度越大，卫星离地面越高，实际绕地球运行的速度越小．向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难得多．
3、变轨问题
（1）第一次变轨
点火加速：v2>v1
在椭圆轨道上运行：v2>v3
（2）第二次变轨
点火加速：v4>v3
在圆形轨道上稳定运行：v1>v4
结果：v2>v1>v4>v3
随堂练习
1.如图中的四种虚线轨迹,可能是人造地球卫星轨道的是( )
2.“奋进”号宇航员斯蒂法尼斯海恩·派帕在2008年11月18日进行太空行走时,丢失了一个工具包。关于工具包丢失的原因,
下列说法可能的是( )
A.宇航员松开了拿工具包的手,在万有引力作用下工具包“掉”了下去
B.工具包太重,因此宇航员一松手,工具包就“掉”了下去
C.宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包,使其速度发生了变化
D.由于惯性,工具包做直线运动而离开了圆轨道
3.近年来,我国航天事业不断创新发展,已成为人造卫星大国。我国发射的某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,由于实际需要实施变轨,变轨后卫星仍做匀速圆周运动,但卫星的线速度减小到原来的一半,则( )
A.卫星的周期增大
B.卫星的角速度增大
C.卫星离地球更近了
D.卫星的向心加速度增大
4.我国发射的“天宫二号”绕地球运行的轨道比“天宫一号”绕地球运行的轨道高约50
km。假设“天宫二号”和“天宫一号”均绕地球做匀速圆周运动,则( )
A.“天宫二号”绕地球运行的线速度比“天宫一号”绕地球运行的线速度大
B.“天宫二号”与“天宫一号”绕地球运行的线速度大小相等
C.“天宫二号”绕地球运动的周期比“天宫一号”绕地球运动的周期大
D.“天宫二号”与“天宫一号”绕地球运动的周期相等
5.在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星,它到地面的距离等于地球半径R,地面处的重力加速度为g,则( )
A.卫星运动的线速度大小为
B.卫星运动的周期为2π
C.卫星运动的角速度为
D.卫星运动的向心加速度为
6.关于“亚洲一号”地球同步通信卫星,下列说法正确的是( )
A.已知它的质量是1.24
t,若将它的质量增为2.50
t,其同步轨道半径变为原来的2倍
B.它的运行速度为7.9
km/s
C.它可以绕过北京的正上方,所以我国能利用其进行电视转播
D.它距地面的高度约为地球半径的5倍,卫星的向心加速度约为其正下方地面上物体的重力加速度的
7.有a、b、c、d四颗人造地球卫星,a还未发射,在地球赤道上随地球一起转动,b在地面附近的近地轨道上正常运动,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,各卫星排列位置如图所示,则有( )
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.b在相同时间内转过的弧长最长
C.c在4
h内转过的圆心角是
D.d的运动周期有可能是20
h
8.嫦娥工程分为三期,简称“绕、落、回”三步走。我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器,经变轨成功落月。如图所示为其飞行轨道示意图,则下列说法正确的是( )
A.嫦娥三号的发射速度应该大于11.2
km/s
B.嫦娥三号在环月轨道1上P点的加速度等于在环月轨道2上P点的加速度
C.嫦娥三号在动力下降段一直处于完全失重状态
D.嫦娥三号在环月轨道2上运行周期比在环月轨道1上运行周期小
9.在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动的三颗卫星A、B、C,它们的轨道半径分别为r1、r2、r3,且r1>r2>r3,其中B为地球同步卫星。若三颗卫星在运动过程中受到的向心力大小相等,则( )
A.相同的时间内,A通过的路程最大
B.三颗卫星中,C的质量最大
C.三颗卫星中,A的线速度最大
D.C绕地球运动的周期小于24小时
10.a、b、c是在地球大气层外的圆形轨道上匀速运行的三颗人造地球卫星,其中a、b的轨道半径相同,b、c的轨道在同一平面内。某时刻a处于a、b运行轨道的交点,c处于b的正上方,如图所示,则下列说法正确的是( )
A.a、b在此后有可能相撞
B.a、b的加速度大小相等,且小于c的加速度
C.a、b的线速度大小相等,且大于c的线速度
D.下一次c处于b的正上方一定仍在图示位置处
11.发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点(如图)。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是( )
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
12.如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ωo，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行周期．
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
二、宇宙速度
1、第一宇宙速度（环绕速度）
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，其大小为
（1）第一宇宙速度的推导
根据万有引力提供向心力可得：
所以
若已知地球表面的重力加速度，则由万有引力和重力近似相等有
所以
（2）特点
①是人造卫星的最小发射速度，最大环绕速度。
②周期最短
③v发＝7.9
km/s时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)
2、第二宇宙速度（逃逸速度）
（1）在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去所必须的最小发射速度，其大小为
（2）7.9
km/skm/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆
（3）对于任何中心天体，其第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，及
3、第三宇宙速度（脱离速度）
（1）在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必须的最小发射速度，其大小为
（2）11.2
km/s≤v发<16.7
km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动
（3）v发≥16.7
km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间
随堂练习
13.关于三个宇宙速度,以下说法错误的是( )
A.第一宇宙速度是人造地球卫星的最大绕行速度
B.第一宇宙速度是人造地球卫星的地面最小发射速度
C.在地球发射绕月球运动的月球探测器,需要达到地球的第二宇宙速度
D.飞船的地面发射速度达到第三宇宙速度,它会飞到太阳系以外
14.某行星的质量是地球的6倍,半径是地球的1.5倍,地球的第一宇宙速度约为8
km/s,则该行星的第一宇宙速度约为( )
A.4
km/s
B.16
km/s
C.32
km/s
D.48
km/s
15.物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度,第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=v1。已知某星球半径是地球半径R的,其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的,不计其他星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为( )
A.
B.
C.
D.
16.2019年春节上映的科幻电影《流浪地球》,讲述了因太阳急速膨胀,地球将被太阳吞没,为了自救,人类提出一个名为“流浪地球”的大胆计划,倾全球之力在地球表面建造上万座发动机,推动地球离开太阳系,奔往另外一个栖息之地。“流浪地球”计划中地球的逃逸速度是地球逃离太阳系的速度,此速度等于地球绕太阳运行速度的倍。已知太阳的质量约为2.0×1030
kg,地球和太阳之间的距离约为1.5×1011
m,引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2,不考虑其他天体对地球的作用力,则地球要想逃离太阳系需要加速到的最小速度约为( )
A.11.2
km/s
B.30
km/s
C.16.7
km/s
D.42
km/s
17.宇航员站在某一星球上,将一个小球从距离星球表面h高处由静止释放,使其做自由落体运动,经过t时间后,小球到达星球表面。已知该星球的半径为R,引力常量为G,则下列选项正确的是(深度解析)
A.该星球的质量为
B.该星球表面的重力加速度为
C.该星球的第一宇宙速度为
D.通过以上数据无法确定该星球的密度
18.我国计划在2030年左右实现长征九号运载火箭首飞,从而实现载人登月。假设宇航员记录了登陆舱在月球表面附近做圆周运动的周期T,登陆舱在月球表面着陆后,宇航员用弹簧测力计称量一个质量为m的砝码,读数为F。已知引力常量为G,试求:
(1)月球的半径R;
(2)月球的密度ρ;
(3)月球的第一宇宙速度v。
19.用一弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,半径为R,自转周期为T,引力常量为G,将地球视为质量均匀分布的球体,不考虑空气的影响。
(1)在地球北极地面和上空高出地面h处称量,得到弹簧测力计的读数分别为F0、F1,且它们的比值为=0.49,求h的值;
(2)若在赤道地面称量,弹簧测力计的读数为F2,求比值的表达式;
(3)设想地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r、地球的半径R二者均减小为现在的,而地球的密度不变,仅考虑地球和卫星间的相互作用,该同步卫星的运动周期将变为多长?
课后巩固
1.可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道(
)
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆
C．与地球表面上赤道线是共面的同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，但卫星相对地球是运动的
2.火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为7小时39分．火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（
）
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大
D．火卫二的向心加速度较大
3.已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面的高度为h，求卫星的运行周期T
4.某星球直径为d，宇航员在该星球表面以初速度竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为
5.用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加程度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受到的地球对它的万有引力的大小是(
)
A．等于0
B．等于
C．等于
D．以上结果均不对
6.如图所示是嫦娥三号奔月过程中某阶段的运动示意图，嫦娥三号沿椭圆轨道Ⅰ运动到近月点处变轨进入圆轨道Ⅱ，嫦娥三号在圆轨道Ⅱ做圆周运动的轨道半径为，周期为，已知引力常量为，下列说法中正确的是（
）
A．由题中（含图中）信息可求得月球的质量
B．由题中（含图中）信息可求得月球第一宇宙速度
C．嫦娥三号在处变轨时必须点火加速
D．嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到P处时的加速度大于沿圆轨道Ⅱ运动到处时的加速度
7.一行星探测器从所探测的行星表面垂直升空，探测器的质量是1500kg，发动机推力为恒力，升空途中发动机突然关闭。如图所示为探测器速度随时间的变化图象，其中A点对应的时刻tA=9s，此行星半径为6×103km，引力恒量G=6.67×10－11N·m2/kg2。求：
(1)探测器在该行星表面达到的最大高度；
(2)该行星表面的重力加速度；
(3)发动机的推力；
(4)该行星的第一宇宙速度。
1第九讲
万有引力与航天
知识讲解
一、卫星运行的规律
1、各物理量之间的关系
（1）只要中心天体M与轨道半径r确定，其他运行参数都是确定的。（一定而四定）
（2）统一轨道上的卫星不会相撞，因为速度相等。
（3）轨道越靠近中心天体，转的越快，周期越小。
2、人造卫星
（1）所有人造卫星轨道的圆心（或焦点）都在地心上。
（2）极地卫星与近地卫星
①极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
②近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9
km/s.
③上述两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
（3）同步卫星
①轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24
h＝86400
s.
③角速度一定：与地球自转的角速度相同．
④高度一定：据G＝mr得r＝
≈4.24×104
km，卫星离地面高度h＝r－R≈3.6×104
km(为恒量)．
⑤速率一定：运行速度v＝≈3.08
km/s(为恒量)．
⑥绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
（4）人造卫星的两个速度
①发射速度：将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度．
②环绕速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度．
由于发射过程中要克服地球的引力做功，所以发射速度越大，卫星离地面越高，实际绕地球运行的速度越小．向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难得多．
3、变轨问题
（1）第一次变轨
点火加速：v2>v1
在椭圆轨道上运行：v2>v3
（2）第二次变轨
点火加速：v4>v3
在圆形轨道上稳定运行：v1>v4
结果：v2>v1>v4>v3
随堂练习
1.如图中的四种虚线轨迹,可能是人造地球卫星轨道的是( )
【答案】ACD
2.“奋进”号宇航员斯蒂法尼斯海恩·派帕在2008年11月18日进行太空行走时,丢失了一个工具包。关于工具包丢失的原因,
下列说法可能的是( )
A.宇航员松开了拿工具包的手,在万有引力作用下工具包“掉”了下去
B.工具包太重,因此宇航员一松手,工具包就“掉”了下去
C.宇航员不小心碰了一下“浮”在空中的工具包,使其速度发生了变化
D.由于惯性,工具包做直线运动而离开了圆轨道
【答案】C
3.近年来,我国航天事业不断创新发展,已成为人造卫星大国。我国发射的某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,由于实际需要实施变轨,变轨后卫星仍做匀速圆周运动,但卫星的线速度减小到原来的一半,则( )
A.卫星的周期增大
B.卫星的角速度增大
C.卫星离地球更近了
D.卫星的向心加速度增大
【答案】A
4.我国发射的“天宫二号”绕地球运行的轨道比“天宫一号”绕地球运行的轨道高约50
km。假设“天宫二号”和“天宫一号”均绕地球做匀速圆周运动,则( )
A.“天宫二号”绕地球运行的线速度比“天宫一号”绕地球运行的线速度大
B.“天宫二号”与“天宫一号”绕地球运行的线速度大小相等
C.“天宫二号”绕地球运动的周期比“天宫一号”绕地球运动的周期大
D.“天宫二号”与“天宫一号”绕地球运动的周期相等
【答案】C
5.在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星,它到地面的距离等于地球半径R,地面处的重力加速度为g,则( )
A.卫星运动的线速度大小为
B.卫星运动的周期为2π
C.卫星运动的角速度为
D.卫星运动的向心加速度为
【答案】C
6.关于“亚洲一号”地球同步通信卫星,下列说法正确的是( )
A.已知它的质量是1.24
t,若将它的质量增为2.50
t,其同步轨道半径变为原来的2倍
B.它的运行速度为7.9
km/s
C.它可以绕过北京的正上方,所以我国能利用其进行电视转播
D.它距地面的高度约为地球半径的5倍,卫星的向心加速度约为其正下方地面上物体的重力加速度的
【答案】D
7.有a、b、c、d四颗人造地球卫星,a还未发射,在地球赤道上随地球一起转动,b在地面附近的近地轨道上正常运动,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,各卫星排列位置如图所示,则有( )
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.b在相同时间内转过的弧长最长
C.c在4
h内转过的圆心角是
D.d的运动周期有可能是20
h
【答案】B
8.嫦娥工程分为三期,简称“绕、落、回”三步走。我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器,经变轨成功落月。如图所示为其飞行轨道示意图,则下列说法正确的是( )
A.嫦娥三号的发射速度应该大于11.2
km/s
B.嫦娥三号在环月轨道1上P点的加速度等于在环月轨道2上P点的加速度
C.嫦娥三号在动力下降段一直处于完全失重状态
D.嫦娥三号在环月轨道2上运行周期比在环月轨道1上运行周期小
【答案】BD
9.在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动的三颗卫星A、B、C,它们的轨道半径分别为r1、r2、r3,且r1>r2>r3,其中B为地球同步卫星。若三颗卫星在运动过程中受到的向心力大小相等,则( )
A.相同的时间内,A通过的路程最大
B.三颗卫星中,C的质量最大
C.三颗卫星中,A的线速度最大
D.C绕地球运动的周期小于24小时
【答案】D
10.a、b、c是在地球大气层外的圆形轨道上匀速运行的三颗人造地球卫星,其中a、b的轨道半径相同,b、c的轨道在同一平面内。某时刻a处于a、b运行轨道的交点,c处于b的正上方,如图所示,则下列说法正确的是( )
A.a、b在此后有可能相撞
B.a、b的加速度大小相等,且小于c的加速度
C.a、b的线速度大小相等,且大于c的线速度
D.下一次c处于b的正上方一定仍在图示位置处
【答案】C
11.发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点(如图)。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是( )
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
【答案】D
12.如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ωo，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行周期．
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】（1）（2）
二、宇宙速度
1、第一宇宙速度（环绕速度）
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，其大小为
（1）第一宇宙速度的推导
根据万有引力提供向心力可得：
所以
若已知地球表面的重力加速度，则由万有引力和重力近似相等有
所以
（2）特点
①是人造卫星的最小发射速度，最大环绕速度。
②周期最短
③v发＝7.9
km/s时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)
2、第二宇宙速度（逃逸速度）
（1）在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去所必须的最小发射速度，其大小为
（2）7.9
km/skm/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆
（3）对于任何中心天体，其第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，及
3、第三宇宙速度（脱离速度）
（1）在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必须的最小发射速度，其大小为
（2）11.2
km/s≤v发<16.7
km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动
（3）v发≥16.7
km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间
随堂练习
13.关于三个宇宙速度,以下说法错误的是( )
A.第一宇宙速度是人造地球卫星的最大绕行速度
B.第一宇宙速度是人造地球卫星的地面最小发射速度
C.在地球发射绕月球运动的月球探测器,需要达到地球的第二宇宙速度
D.飞船的地面发射速度达到第三宇宙速度,它会飞到太阳系以外
【答案】C
14.某行星的质量是地球的6倍,半径是地球的1.5倍,地球的第一宇宙速度约为8
km/s,则该行星的第一宇宙速度约为( )
A.4
km/s
B.16
km/s
C.32
km/s
D.48
km/s
【答案】B
15.物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度,第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=v1。已知某星球半径是地球半径R的,其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的,不计其他星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
16.2019年春节上映的科幻电影《流浪地球》,讲述了因太阳急速膨胀,地球将被太阳吞没,为了自救,人类提出一个名为“流浪地球”的大胆计划,倾全球之力在地球表面建造上万座发动机,推动地球离开太阳系,奔往另外一个栖息之地。“流浪地球”计划中地球的逃逸速度是地球逃离太阳系的速度,此速度等于地球绕太阳运行速度的倍。已知太阳的质量约为2.0×1030
kg,地球和太阳之间的距离约为1.5×1011
m,引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2,不考虑其他天体对地球的作用力,则地球要想逃离太阳系需要加速到的最小速度约为( )
A.11.2
km/s
B.30
km/s
C.16.7
km/s
D.42
km/s
【答案】D
17.宇航员站在某一星球上,将一个小球从距离星球表面h高处由静止释放,使其做自由落体运动,经过t时间后,小球到达星球表面。已知该星球的半径为R,引力常量为G,则下列选项正确的是(深度解析)
A.该星球的质量为
B.该星球表面的重力加速度为
C.该星球的第一宇宙速度为
D.通过以上数据无法确定该星球的密度
【答案】A
18.我国计划在2030年左右实现长征九号运载火箭首飞,从而实现载人登月。假设宇航员记录了登陆舱在月球表面附近做圆周运动的周期T,登陆舱在月球表面着陆后,宇航员用弹簧测力计称量一个质量为m的砝码,读数为F。已知引力常量为G,试求:
(1)月球的半径R;
(2)月球的密度ρ;
(3)月球的第一宇宙速度v。
【答案】(1) (2) (3)
19.用一弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,半径为R,自转周期为T,引力常量为G,将地球视为质量均匀分布的球体,不考虑空气的影响。
(1)在地球北极地面和上空高出地面h处称量,得到弹簧测力计的读数分别为F0、F1,且它们的比值为=0.49,求h的值;
(2)若在赤道地面称量,弹簧测力计的读数为F2,求比值的表达式;
(3)设想地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r、地球的半径R二者均减小为现在的,而地球的密度不变,仅考虑地球和卫星间的相互作用,该同步卫星的运动周期将变为多长?
【答案】(1)R (2)=1- (3)仍为地球的自转周期T
课后巩固
1.可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道(
)
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆
C．与地球表面上赤道线是共面的同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，但卫星相对地球是运动的
【答案】C、D
2.火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为7小时39分．火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（
）
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大
D．火卫二的向心加速度较大
【答案】AC
3.已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面的高度为h，求卫星的运行周期T
【解析】(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面处物体的质量为m′，
在地球表面附近满足，
则GM＝R2g，
①
卫星受到的万有引力提供做圆周运动的向心力，则，②
将①式代入②式，得到．
(2)结合①式卫星受到的万有引力为，③
由万有引力提供向心力得，
④
③④两式联立解得．
4.某星球直径为d，宇航员在该星球表面以初速度竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为
【答案】D
5.用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加程度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受到的地球对它的万有引力的大小是(
)
A．等于0
B．等于
C．等于
D．以上结果均不对
【答案】B、C
6.如图所示是嫦娥三号奔月过程中某阶段的运动示意图，嫦娥三号沿椭圆轨道Ⅰ运动到近月点处变轨进入圆轨道Ⅱ，嫦娥三号在圆轨道Ⅱ做圆周运动的轨道半径为，周期为，已知引力常量为，下列说法中正确的是（
）
A．由题中（含图中）信息可求得月球的质量
B．由题中（含图中）信息可求得月球第一宇宙速度
C．嫦娥三号在处变轨时必须点火加速
D．嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到P处时的加速度大于沿圆轨道Ⅱ运动到处时的加速度
【答案】A
7.一行星探测器从所探测的行星表面垂直升空，探测器的质量是1500kg，发动机推力为恒力，升空途中发动机突然关闭。如图所示为探测器速度随时间的变化图象，其中A点对应的时刻tA=9s，此行星半径为6×103km，引力恒量G=6.67×10－11N·m2/kg2。求：
(1)探测器在该行星表面达到的最大高度；
(2)该行星表面的重力加速度；
(3)发动机的推力；
(4)该行星的第一宇宙速度。
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
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