第七讲
开普勒三定律与万有引力
知识讲解
一、行星的运动
1、地心说与日心说
（1）地心说
地球是宇宙的中心，并且静止不动，一切行星围绕地球做圆周运动
（2）日心说
①宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动．
②地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动．
③天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象．
④与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多．
2、开普勒三定律
(1)开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。不同行星椭圆轨道则是不同的．
开普勒第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中心．不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一椭圆轨道，再有，不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内．
(2)开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上．
如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3如，那么SA＝SB，由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大．
(3)开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，即
(其中，比值k是一个与行星无关的常量)
3、对开普勒三定律的理解
(1)开普勒第二定律可以用来确定行星的运行速率．如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积A＝面积B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率就越大．
(2)开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如对于木星的所有卫星来说，它们的一定相同，但常量k的值跟太阳系各行星绕太阳运动的k值不同．以后将会证明，开普勒恒量k的值只跟(行星运动时所围绕的)中心天体的质量有关．
(3)要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳的距离不同．
(4)由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究可以按圆周运动处理，这样开普勒三定律就可以这样理解：
①大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动；
③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即．如绕同一中心天体运动的两颗行星的轨道半径分别为R1、R2，公转周期分别为T1、T2，则有．
随堂练习
1.下列说法中错误的是
A．德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律
B．牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律
C．英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】D
2.关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星的运动周期越长
D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
【答案】D
3.关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是
A．所有行星围绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
C．表达式R3/T2=k,k是一个与行星无关的常量
D．表达式R3/T2=k,
T代表行星运动的自转周期
【答案】ABC
4.开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，且火星的半长轴大于木星的半长轴。根据开普勒行星运动定律可知（
）
A．太阳位于火星和木星运行轨道的中心
B．火星绕太阳运动的周期大于木星绕太阳运动的周期
C．对于火星或木星，离太阳越近，运动速率就越大
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】BC
5.2018年
2
月
6
日，马斯克的
SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆樱红色特斯拉跑车发射到太空。图1是特斯拉跑车和Starman（宇航员模型）的最后一张照片，它们正在远离地球，处于一个环绕太阳的椭圆形轨道（如图2）。远太阳点距离太阳大约为
3.9亿公里，地球和太阳之间的平均距离约为
1.5
亿公里。试计算特斯拉跑车的环绕运动周期（可能用到的数据：，）（
）
A．约
15
个月
B．约
29
个月
C．约
36
个月
D．约
50
个月
【答案】B
6.某行星绕恒星运行的椭圆轨道如下图所示，E和F是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，行星在A点的线速度比在B点的线速度大．则恒星位于
A．A点
B．E点
C．F
点
D．O点
【答案】B
7.将冥王星和土星绕太阳的运动都看做匀速圆周运动。已知冥王星绕太阳的公转周期约是土星绕太阳公转周期的8倍。那么冥王星和土星绕太阳运行的轨道半径之比约为
A．2∶1
B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
【答案】B
8.地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。已知哈雷彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，由此可知
A．地球质量与哈雷彗星质量之比为18∶1
B．地球的公转周期与哈雷彗星的公转周期之比为
C．由椭圆的对称性，哈雷彗星在近日点和远日点的速率相等
D．地球绕太阳转，月球绕地球转，它们的是一样的
【答案】B
9.如图所示，在地球利用天文望远镜观测水星，测得观测者与水星、太阳的连线夹角的最大正弦值为k.
已知地球绕太阳的公转周期为T0，各星球均绕太阳做匀速圆周运动，则水星的公转周期为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
二、万有引力
1.内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。
2.公式
，其中G为万有引力常量，
3.适用条件
适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可以用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
4.重力与万有引力的关系
在地球(质量为M)表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力，其中，而。
（1）当物体在赤道上时
F、mg、三力同向，此时达到最大值，重力加速度达到最小值
（2）当物体在两极的极点时，，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为。
（3）因地球自转角速度很小，，所以在一般情况下进行计算时认为。
随堂练习
10.关于质量为M和质量为m的两个物体间的万有引力表达式,下列说法正确的是（
）
A．公式中的G是万有引力常量，它是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间
D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
【答案】C
11.下列说法正确的是（）
A．开普勒进行了“月一地检验”，得出天上和地上的物体都遵从万有引力定律的结论
B．哥白尼提出“日心说”，发现了太阳系中行星沿椭圆轨道运动的规律
C．第谷通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律
D．牛顿发现了万有引力定律
【答案】D
12.关于万有引力定律，以下说法正确的是（ ）
A．牛顿在前人研究基础上总结出万有引力定律，并计算出了引力常数为G
B．德国天文学家开普勒对他导师第谷观测的行星数据进行了多年研究，得出了万有引力定律
C．英国物理学家卡文迪许测出引力常数为G，并直接测出了地球的质量
D．月﹣﹣地检验表明地面物体和月球受地球的引力，与太阳行星间的引力遵从相同的规律
【答案】D
13.关于引力常量G，下列说法中正确的是( )
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，可用万有引力定律进行定量计算
B．引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G的物理意义是，两个质量都是10
kg的物体相距1m时相互吸引力为6.67×10－11
N
D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制的选择无关
【答案】AC
14.对于万有引力定律的表述式，下面说法中正确的是(
)
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当m1与m2一定时，随着r的减小，万有引力逐渐增大，当r→0万有引力F→∞
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
【答案】
AD
15.1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度和地球相同，已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为
A．
B．400g
C．20g
D．
【答案】A
16.已知某星球的质量是地球质量的，直径是地球直径的。一名宇航员来到该星球，宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的（
）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
17.2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量和半径的关系为，其中为光速，为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为，轨道半径为，则可知（ ）
A．该黑洞的质量
B．该黑洞的质量
C．该黑洞的半径
D．该黑洞的半径
【答案】C
18.2020年12月1日嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量为m的钻尖进入月球表面以下h深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
19.如图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为的球形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上，与球心相距d的质点m的引力是多大？
【答案】把整个球体对质点的引力F看成是挖去的小球体对质点的引力和剩余部分对质点的引力之和，即
填补上空穴的完整球体对质点m的引力
挖去的半径为的小球体的质量为，则
挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力
20.如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R．如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?
(1)从球的正中心挖去；
(2)从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
【答案】根据匀质球的质量与其半径的关系，两部分的质量分别为
，．
(1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为
．
(2)如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算．为此，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为
．
由于填补空心球而增加的引力为
，
所以，这时M′与m之间的引力为
，
当d远大于R时，M′可以视为质点．这时，引力变为
．
即这时两种计算结果相同．
课后巩固
1．对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．m1和m2所受引力总是大小相等的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．当有第3个物体m3放入m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大
D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同
【答案】A
2．在万有引力定律的公式中，r是（
）
A．对星球之间而言，是指运行轨道的平均半径
B．对地球表面的物体与地球而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个均匀球而言，是指两个球心间的距离
D．对人造地球卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
【答案】D
3．关于行星绕太阳运动的原因，有以下几种说法，正确的是（
）
A．由于行星做匀速圆周运动，故行星不受任何力作用
B．由于行星周围存在旋转的物质造成的
C．由于受到太阳的吸引造成的
D．
除了受到太阳的吸引力，还必须受到其他力的作用
【答案】C
4.如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．G
B．G
C．G
D．G
【答案】D
5.两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，那么它们之间万有引力的大小变为（ ）
A．F/9
B．9F
C．F/3
D．3F
【答案】A
6.(多选)下列关于万有引力的说法正确的是（ ）
A．牛顿测出了万有引力常量G
B．对于质量分布均匀的球体，公式
中的r指两球心之间的距离
C．虽然地球质量远小于太阳质量，但太阳对地球的引力大小等于地球对太阳的引力大小
D．只有当物体的质量大到一定程度时，物体之间才有万有引力
【答案】BC
7.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天．利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为
( )
A．0.2
B．2
C．20
D．200
【答案】B
8.某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A．G
B．G
C．G
D．G
【答案】B
9.火星的半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为50
kg的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量物体受火星引力的多少倍？
【答案】设火星质量为m1，地球质量为m2，火星半径为r1，地球半径为r2，则由万有引力定律可知F∝，则有＝·，代入数据得＝＝2.25.
10.已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月球的质量为m2，设月亮到太阳的距离为a，地球到月亮的距离为b，则当发生日全食时，太阳对地球的引力F1和对月亮的吸引力F2的大小之比为多少？
【答案】由太阳对行星的吸引力满足F＝知：
太阳对地球的引力大小F1＝
太阳对月亮的引力大小F2＝
故＝
11.如图所示，阴影区域是质量M半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心O′和大球心间的距离是,求球体剩余部分对球体外与球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.
【答案】将挖去的球补上,则完整的大球对球外质点P的引力为：
半径为的小球的质量：
补上的小球对质点P的引力
因而挖去小球的阴影对质点P的引力为：
2第七讲
开普勒三定律与万有引力
知识讲解
一、行星的运动
1、地心说与日心说
（1）地心说
地球是宇宙的中心，并且静止不动，一切行星围绕地球做圆周运动
（2）日心说
①宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动．
②地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动．
③天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象．
④与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多．
2、开普勒三定律
(1)开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。不同行星椭圆轨道则是不同的．
开普勒第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中心．不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一椭圆轨道，再有，不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内．
(2)开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上．
如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3如，那么SA＝SB，由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大．
(3)开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，即
(其中，比值k是一个与行星无关的常量)
3、对开普勒三定律的理解
(1)开普勒第二定律可以用来确定行星的运行速率．如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积A＝面积B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率就越大．
(2)开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如对于木星的所有卫星来说，它们的一定相同，但常量k的值跟太阳系各行星绕太阳运动的k值不同．以后将会证明，开普勒恒量k的值只跟(行星运动时所围绕的)中心天体的质量有关．
(3)要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳的距离不同．
(4)由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究可以按圆周运动处理，这样开普勒三定律就可以这样理解：
①大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动；
③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即．如绕同一中心天体运动的两颗行星的轨道半径分别为R1、R2，公转周期分别为T1、T2，则有．
随堂练习
1.下列说法中错误的是
A．德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律
B．牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律
C．英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2.关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星的运动周期越长
D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
3.关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是
A．所有行星围绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
C．表达式R3/T2=k,k是一个与行星无关的常量
D．表达式R3/T2=k,
T代表行星运动的自转周期
4.开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，且火星的半长轴大于木星的半长轴。根据开普勒行星运动定律可知（
）
A．太阳位于火星和木星运行轨道的中心
B．火星绕太阳运动的周期大于木星绕太阳运动的周期
C．对于火星或木星，离太阳越近，运动速率就越大
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
5.2018年
2
月
6
日，马斯克的
SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆樱红色特斯拉跑车发射到太空。图1是特斯拉跑车和Starman（宇航员模型）的最后一张照片，它们正在远离地球，处于一个环绕太阳的椭圆形轨道（如图2）。远太阳点距离太阳大约为
3.9亿公里，地球和太阳之间的平均距离约为
1.5
亿公里。试计算特斯拉跑车的环绕运动周期（可能用到的数据：，）（
）
A．约
15
个月
B．约
29
个月
C．约
36
个月
D．约
50
个月
6.某行星绕恒星运行的椭圆轨道如下图所示，E和F是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，行星在A点的线速度比在B点的线速度大．则恒星位于
A．A点
B．E点
C．F
点
D．O点
7.将冥王星和土星绕太阳的运动都看做匀速圆周运动。已知冥王星绕太阳的公转周期约是土星绕太阳公转周期的8倍。那么冥王星和土星绕太阳运行的轨道半径之比约为
A．2∶1
B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
8.地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。已知哈雷彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，由此可知
A．地球质量与哈雷彗星质量之比为18∶1
B．地球的公转周期与哈雷彗星的公转周期之比为
C．由椭圆的对称性，哈雷彗星在近日点和远日点的速率相等
D．地球绕太阳转，月球绕地球转，它们的是一样的
9.如图所示，在地球利用天文望远镜观测水星，测得观测者与水星、太阳的连线夹角的最大正弦值为k.
已知地球绕太阳的公转周期为T0，各星球均绕太阳做匀速圆周运动，则水星的公转周期为（
）
A．
B．
C．
D．
二、万有引力
1.内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。
2.公式
，其中G为万有引力常量，
3.适用条件
适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可以用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
4.重力与万有引力的关系
在地球(质量为M)表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力，其中，而。
（1）当物体在赤道上时
F、mg、三力同向，此时达到最大值，重力加速度达到最小值
（2）当物体在两极的极点时，，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为。
（3）因地球自转角速度很小，，所以在一般情况下进行计算时认为。
随堂练习
10.关于质量为M和质量为m的两个物体间的万有引力表达式,下列说法正确的是（
）
A．公式中的G是万有引力常量，它是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间
D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
11.下列说法正确的是（）
A．开普勒进行了“月一地检验”，得出天上和地上的物体都遵从万有引力定律的结论
B．哥白尼提出“日心说”，发现了太阳系中行星沿椭圆轨道运动的规律
C．第谷通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律
D．牛顿发现了万有引力定律
12.关于万有引力定律，以下说法正确的是（ ）
A．牛顿在前人研究基础上总结出万有引力定律，并计算出了引力常数为G
B．德国天文学家开普勒对他导师第谷观测的行星数据进行了多年研究，得出了万有引力定律
C．英国物理学家卡文迪许测出引力常数为G，并直接测出了地球的质量
D．月﹣﹣地检验表明地面物体和月球受地球的引力，与太阳行星间的引力遵从相同的规律
13.关于引力常量G，下列说法中正确的是( )
A．G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，可用万有引力定律进行定量计算
B．引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量G的物理意义是，两个质量都是10
kg的物体相距1m时相互吸引力为6.67×10－11
N
D．引力常量G是不变的，其值大小与单位制的选择无关
14.对于万有引力定律的表述式，下面说法中正确的是(
)
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当m1与m2一定时，随着r的减小，万有引力逐渐增大，当r→0万有引力F→∞
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
15.1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度和地球相同，已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为
A．
B．400g
C．20g
D．
16.已知某星球的质量是地球质量的，直径是地球直径的。一名宇航员来到该星球，宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的（
）
A．
B．
C．2
D．4
17.2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量和半径的关系为，其中为光速，为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为，轨道半径为，则可知（ ）
A．该黑洞的质量
B．该黑洞的质量
C．该黑洞的半径
D．该黑洞的半径
18.2020年12月1日嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量为m的钻尖进入月球表面以下h深处，则此时月球对钻尖的万有引力为（ ）
A．0
B．
C．
D．
19.如图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为的球形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上，与球心相距d的质点m的引力是多大？
20.如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R．如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?
(1)从球的正中心挖去；
(2)从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
课后巩固
1．对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．m1和m2所受引力总是大小相等的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．当有第3个物体m3放入m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大
D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同
2．在万有引力定律的公式中，r是（
）
A．对星球之间而言，是指运行轨道的平均半径
B．对地球表面的物体与地球而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个均匀球而言，是指两个球心间的距离
D．对人造地球卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
3．关于行星绕太阳运动的原因，有以下几种说法，正确的是（
）
A．由于行星做匀速圆周运动，故行星不受任何力作用
B．由于行星周围存在旋转的物质造成的
C．由于受到太阳的吸引造成的
D．
除了受到太阳的吸引力，还必须受到其他力的作用
4.如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．G
B．G
C．G
D．G
5.两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，那么它们之间万有引力的大小变为（ ）
A．F/9
B．9F
C．F/3
D．3F
6.(多选)下列关于万有引力的说法正确的是（ ）
A．牛顿测出了万有引力常量G
B．对于质量分布均匀的球体，公式
中的r指两球心之间的距离
C．虽然地球质量远小于太阳质量，但太阳对地球的引力大小等于地球对太阳的引力大小
D．只有当物体的质量大到一定程度时，物体之间才有万有引力
7.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天．利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为
( )
A．0.2
B．2
C．20
D．200
8.某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A．G
B．G
C．G
D．G
9.火星的半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为50
kg的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量物体受火星引力的多少倍？
10.已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月球的质量为m2，设月亮到太阳的距离为a，地球到月亮的距离为b，则当发生日全食时，太阳对地球的引力F1和对月亮的吸引力F2的大小之比为多少？
11.如图所示，阴影区域是质量M半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心O′和大球心间的距离是,求球体剩余部分对球体外与球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.
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