2012年高考专题复习——空间角(教师）

2012年高考专题复习——空间角
1.异面直线所成的角的范围：
2．异面直线的判定方法：
3．异面直线所求的角的求法：①平移法→构造三角形→解三角形→余弦定理
⑵平移→
二、线面成角的问题：
1.直线与平面成角的范围：[0o，90o].
2求直线与平面所成的角常用方法:(1)几何法：作垂线找射影
（2）用最小角定理：cos =cos １ cos２
（3）向量法：是平面的斜线，为
三、二面角平面角的问题：
1. 二面角的平面角的范围：
2求二面角的平面角的常用方法
①定义法(图1)
②三垂线(逆)定理法:（图2）
③垂面法(图3)
④投影法（图4）
⑤向量法：（图5）
例题1．⑴空间四边形ABCD中，AB=CD，且异面直线AB和CD成300的角，E,F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成角等于
A．150　　B．750　　C．300　　D．150或 750
⑵．棱长为 的正方体中，与其中一条棱所在直线异面且距离为 的棱共有（ ）．
　　A．4条　　B．5条　　C．6条　　D．7条
⑶．已知异面直线a与b成800的角，p为空间一定点，则过点p与a,b所成的角都是500的直线有且仅有（ ）．A．1条　　B．2条　　C．3条　　D．4条
⑷正方体中． ①正方体棱所在的直线中与直线是异面直线有几条？②方体棱所在的直线中与直线CC/垂直的直有几条？
（5）.右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60 角；
④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）
（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④
（6）设异面直线a与b所成的角为50o,,O为空间已定点，试讨论过点O与a,b所成的角都是的直线L的条数
（7）PA,PB,PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,那么直线PC与PAB所成角的余弦值是（ ）
A, B C D
(8)设斜线和平面所成的角为，那么斜线和此平面内过谢足的所有直线的夹角中，最大的角是 ，最小的夹角是
例2、如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600.
求异面直线DA与BC所成的角；
求异面直线BD与AC所成的角；
求D到BC的距离；
求异面直线BD与AC的距离.
解析：（1）DA与BC成600角
（2）设BE中点为O，DE中点为F，连OF，则OF//BD，求∠AOF即为
异面直线BD与AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF =arccos
（3）∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距离
在△DMN中，DM=a，MN=a ∴ DN=a
（4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF
∴ AC∥平面BDF； 又BD平面BDF
∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离
∵ ，
∴
，
即异面直线BD与AC的距离为
◆评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法.
例3、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2.
（I）证明：AB1⊥BC1；
（II）求点B到平面AB1C1的距离.
（III）求二面角C1—AB1—A1的大小
5、（1）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），因为，所以AB1⊥BC1.
（2）设是平面AB1C1的法向量，
由得
所以令，则，
因为，所以，B到平面AB1C1的距离为.
（3）设是平面A1AB1的法向量.由
令=1，则
因为所以，二面角C1—AB1—A1的大小为60°
例4、四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知,,,．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．
解:（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，．
又，作，垂足为，则平面，连结．为直线与平面所成的角．
∴直线与平面SBC所成的角为
例5在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点
(1)求证 ( http: / / www. / wxc / ) 四边形B′EDF是菱形；
(2)求直线A′C与DE所成的角；
(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；
(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角
命题意图 ( http: / / www. / wxc / ) 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强
知识依托 ( http: / / www. / wxc / ) 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角
错解分析 ( http: / / www. / wxc / ) 对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面
技巧与方法 ( http: / / www. / wxc / ) 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 ( http: / / www. / wxc / )
(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，B′EGA′是平行四边形 ( http: / / www. / wxc / )
∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形 ( http: / / www. / wxc / )
(2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角 ( http: / / www. / wxc / )
在△A′CP中，
易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C与DE所成角为arccos
另法（向量法） ( http: / / www. / wxc / ) 如图建立坐标系，则
故A′C与DE所成角为arccos
(3)解 ( http: / / www. / wxc / ) ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示 ( http: / / www. / wxc / )
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a
则cosADB′=
故AD与平面B′EDF所成的角是arccos
另法（向量法） ( http: / / www. / wxc / )
∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示 ( http: / / www. / wxc / )
又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，
如图建立坐标系，则
，
故AD与平面B′EDF所成的角是arccos
(4)解 ( http: / / www. / wxc / ) 如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心
作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，
再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，
故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角 ( http: / / www. / wxc / )
在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,
则由面积关系得OM=a
在Rt△OHM中，sinOMH=
故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin
另法（向量法） ( http: / / www. / wxc / ) 如图建立坐标系，则
，
所以面ABCD的法向量为
下面求面B′EDF的法向量 ( http: / / www. / wxc / )
设，由
∴
∴ ( http: / / www. / wxc / )
故面B′EDF与面ABCD所成的角为
例6：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF平面PAB；
（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小.
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), .得，，. 由，得，即，
同理，又， 所以，EF平面PAB.
（Ⅱ）解：由，得，即.
得，，.
有，，.
设平面AEF的法向量为，
由，
解得. 于是.
设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为.
则.
得.
所以，AC与平面AEF所成角的大小为.
点评：设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为。
例7、 已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.
（1）确定D的位置，并证明你的结论；
（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；
（3）若AB∶AA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.
分析：本题结论不定，是“开放性”的，点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，则平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决.
（1）解：如下图，将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点.
（2）证明：连结B1D，则B1D⊥A1C1;从直三棱柱定义知AA1⊥底面A1B1C1，
∴AA1⊥B1D, 又A1D∩AA1=A1，
∴B1D⊥平面AA1D，又B1D平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面AA1D.
（3）解：因为平面AB1D∩平面AA1D=AD，所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1F⊥AB1.
故∠A1FH是二面角A1—AB1—D的平面角.
设侧棱AA1=1，侧棱AB=.
于是AB1== .
在Rt△AB1A1中，A1F===，
在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，
AD== .
　∴A1H==.
在Rt△A1FH中，sin∠A1FH==，∴∠A1FH=45°.
因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或1350.
例8在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.
解析1.定义法　过D作DE ⊥PC于E，
过E作EF ⊥PC，交BC于F，连接
FD，则 是所求二面角B-PC-D
的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解△DEF即可.所求角为
解析2.垂面法　易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN.设面AMN交PC于Q，
则为二面角B-PC-D的平面角；
∠MAN为它的补角，在三角形AMN中可解.计算较繁.
解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D.
易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD
于F，显然PF ⊥面PDC，在面PCE内，
过E作EG ⊥PC于G，连接GF，
由三线得GF⊥ PC 即为二面角E-PC-D的平面角，
只需解△EFG即可.
解析4. 射影面积法。由解析3知，△PFC为△ PEC
在面PDC上的射影，由射影面积公式得 ，所求角为
解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于E，BF ⊥PC于F，连接EF即可.利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可.
例9（ 江西高考）如图,在三棱锥A－BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD＝,BD＝CD＝1,另一个侧面是正三角形
(1)求证：ADBC
(2)求二面角B－AC－D的大小
(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角？若存在,确定E的位置；若不存在,说明理由.
分析：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，考查了余弦定理尤为突出的是本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。
解析： (1)方法一:作面于,连
又,则是正方形.
则
方法二:取的中点,连、,
则有
(2)作于,作交于,
则就是二面角的平面角.
是的中点,且∥
则
由余弦定理得
(3)设为所求的点,作于,连.则∥
就是与面所成的角,则.
设,易得
解得
故线段上存在点,且时,与面成角.
解法二:
（1）作面于,连、、,则四边形是正方形,且,
以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,
则
(2)设平面的法向量为
则由知:;
同理由知:
可取
同理,可求得平面的一个法向量为
由图可以看出,三面角的大小应等于<>
则<>,即所求二面角的大小是.
(3)设是线段上一点,则
平面的一个法向量为
要使与面成角,由图可知与的夹角为,
所以
则,解得,,则
故线段上存在点,且,时与面成角.
拓展提升：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.联想平面几何命题，运用类比猜想得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。
【变式训练】
1. （ 湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.
（Ⅰ）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.
点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。
解法１：（１）
故.所以.
又.
故
在△,即.
故当时,直线与平面所成的角的正切值为.
（Ⅱ）依题意,要在上找一点,使得.
可推测的中点即为所求的点.
因为,所以
又,故.
从而
解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系,则
A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),
D1(0,0,1).
所以
又由知为平面的一个法向量.
设与所成的角为,
则
依题意有：,
解得.
故当时,直线与平面所成的角的正切值为.
（２）若在上存在这样的点,设此点的横坐标为,
则.
依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等价于
即为的中点时,满足题设的要求.
2．( 安徽·文) 如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．
（I）求证：平面平面；
（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．
解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，
，又底面．．于是平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角．
依题意，所以
在中，；
在中，，
． ，．
故当时，直线与平面所成的角为．
解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即．
同理，
即．又，平面．
又平面．
平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由．
得
可取，又，
于是，
即，．
故交时，直线与平面所成的角为．
解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．
从而，即．
同理，即．
又，平面．
又平面，
平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由，得
可取，又，
于是，
即．
故交时，即直线与平面所成角为．
l
P
A
B
A
P
l
图3
A
B
l
P
图1
图6
D
C
P
A
B
图4
图2
E
A
F
B
C
M
N
D
D
C
B
A
F
O
M
D
E
C
N
B
A
D
B
C
A
S
E
A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
C1
_
B1
_
A1
_
B
C
A
A
E1
B1
C1
B
C
E
D
A1
B
D
P
C
A
E
F
解析一
B
D
P
C
A
Ｍ
Ｎ
Ｑ
解析二
B
D
P
C
A
解析三
E
F
G
B
D
P
C
A
解析四
E
F
G
B
D
P
C
A
解析五
Ｅ
Ｆ
Ｖ
A
Ｃ
Ｄ
Ｂ
A
D
B
C
V
x
y
z
A
D
B
C
V
x
y