浙江省杭州市西湖高级中学2012届高三3月月考数学（理）试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共50分）参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
球的体积公式 其中表示棱柱的底面积， ( http: / / www. )表示棱柱的高
棱台的体积公式其中R表示球的半径
棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积， h表示棱台的高
其中 ( http: / / www. )表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 如果事件互斥，那么
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．在复平面内,复数对应的点的坐标在
A. 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“”是“直线垂直于直线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数则不等式的解集是
A. B.
C. D.
5．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项， 为的前项和, ，则的值为
A．－110 B．－90 C．90 D．110
6．执行如右图所示的程序框图，输出的的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
7．展开式中不含项的系数的和为
A. B. 0 C. 1 D. 2
8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个
点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则
所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
A. B. C. D.
9．设双曲线的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点在
A．圆内 B．圆上
C．圆外 D．以上三种情况都有可能
10．已知函数，则方程（为正实数）的根的个数不可能为
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
非选择题部分（共100分）．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．已知随机变量的分布列如下表所示，的期望，则的值等于 ▲ ；
0 1 2 3
P 0．1 0.2
12．已知，若与的夹角为钝角，则的取值范围为 ▲ ；
13．已知中，，，则面积的最大值为 ▲ ；
14．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积
为 ▲ ；
15．将这9个数学填在如图的9个空格中，要求每一行 从左到右，每列从上到下分别依次增大，当4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为 ▲ 种（用数字作答）；
16．已知，则的最大值为 ▲ ；
17．设函数，其中对于任意的正整数（），如果不等式在区间有解，则实数的取值范围为 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.（本小题满分14分）在钝角三角形ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，
，，且∥.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域．
19.（本小题满分14分）已知数列是递增数列，且满足
（Ⅰ）若是等差数列，求数列的通项公式；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中，令 ，求数列的前项和．
20．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，是的中点.
（1）求与平面所成的角的正弦值；
（2）若点在线段上，二面角所成角为，
且，求的值.
21．（本小题满分15分）
已知椭圆： （）的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.
（i）求点的轨迹的方程；
（ii）若为点的轨迹的过点的两条相互垂直的弦，求四边形面积的最小值．
22.（本小题满分15分）已知函数的图像过点，且在该点的切线方程为.
（Ⅰ）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数恰好有一个零点，求实数的取值范围.
参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. D 9. A 10. A
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
11. 12. 13. 14.
15. 12 16. 17.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
综上，所求函数的值域为.··············14分
19．（本小题满分14分）解：（1）根据题意：，又，
所以是方程的两根，且，
解得，所以， . ……………………………6分
（2） ，则
①
②
②，得，
所以. …………………………………………14分
20.（本小题满分14分）解：
（1）如图，建系，则：
令：与平面所成角为 （2分）
令：面法向量：
则：，
取 （2分）
所以：与平面所成角的余弦值为 （3分）
（2）令：，则： （2分）
令：面法向量：
则：
取 （2分）
而：
而：，所以：
即： （3分）
21.（本小题满分15分）解：
（1）∵，∴＝＝＝，∴. （2分）
∵直线与圆相切，∴，，∴.
∴椭圆的方程是. （2分）
（2）（i）∵
∴动点到定直线的距离等于它到定点的距离，
∴动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线．
∴点的轨迹的方程为：. （4分）
（ii）由题意可知：直线的斜率存在且不为零， （1分）
令：，
则：
由韦达定理知：
由抛物线定义知：
（2分）
而：
同样可得： （2分）
则：
（当且仅当时取“”号）
所以四边形面积的最小值是：8 （2分）
即 ……………………………………………………5分
（2） 和恰好有一个交点
①当时在区间单调递减，在上单调递增，
极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴上方，并且无限接近于轴）
所以或………………………8分
②当时：(ⅰ)当，即时，
在区间单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）
当即时 ，或
当时，即时，或……………………………………11分
(ⅱ)当时，即 时在区间单调递增，在上单调递减，极小值为，极大值为
P
B
C
A
D
E